2.3.2第2课时抛物线方程及性质的应用

第2课时抛物线的标准方程及性质的应用一、学习目标1.了解抛物线的简单应用;2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．二、导学指导与检测导语一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？（一）、直线与抛物线的位置关系问题1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．（二）、知识点梳理课前预习课本（135-137）页一、直线与抛物线相交问题设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；①当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点;②当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．课内探究例1已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．跟踪训练1已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．二、弦长问题问题2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图．如何求弦AB 的长度？提示: 1.利用弦长公式．2.根据抛物线的定义|AB |＝x 1＋x 2＋p .知识点梳理设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 注意点：(1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．反思感悟 求弦长问题的方法(1)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .跟踪训练2 已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求实数m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．三、抛物线的轨迹问题例3 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．三、巩固诊断 1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( ) A ．16 B ．12 C ．10 D ．8 2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( ) A ．8 B.2852 C.3052 D.3352 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85 D ．3 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．12 6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________． 8.过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 过定点．。

第二课时 直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0，(1)若a ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？ 提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 有唯一一组实数解．消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ， 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0， 解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax (a ≠0)相交”，如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax (a ≠0)，消去x 并化简，得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0， ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a ≠－1时， 由Δ＝(－a )2＋4a (a ＋1)≥0，得 5a 2＋4a ≥0，结合a ≠0， 解得a ≤－45或a >0.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－45∪(0，＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点．1.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离． 即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0， ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝12(x 1－x 2)，弦长为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ 54(x 1－x 2)2＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15， 即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y .(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2，⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 将④代入，得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证，此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并满足OA ⊥OB ，求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0，设直线AB 方程为my ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy ＋2pb ＝0. 由Δ＝(－2pm )2－8pb >0，又∵y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pb ，OA ⊥OB ， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0. ∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p . ∴y 1y 2＝－4p 2，x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p ， 所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B ，求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p ，y 2＝－p ， ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得， y ＝k ·y 22p －kp2，∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p＝－p 2.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上，存在P ，Q 两点，并且P ，Q 关于直线y －1＝k (x －1)对称，求k 的取值范围．[解] 法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 又∵⎩⎨⎧y 1－y 2＝－1k (x 1－x 2)，y 1＋y 22－1＝k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k .∴－k 2－1＝k ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k [k 2－2y 1(－k －y 1)－2]．∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0.∴Δ＝4k 4－8k (k 3－k ＋2)>0. ∴k (－k 3＋2k －4)>0. ∴k (k 3－2k ＋4)<0. ∴k (k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P Q 的中点M (x 0，y 0)， 由题意可知直线y －1＝k (x －1)的斜率存在，且k ≠0. 不妨设直线P Q 的方程为x ＋ky ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ， 得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k . 即y 0＝－k 2，x 0＝12－1k .又∵中点M (x 0，y 0)在抛物线的内部， ∴y 20<x 0，∴k 3－2k ＋4k<0， 即(k ＋2)(k 2－2k ＋2)k <0， ∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p . ∵直线过抛物线的焦点， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1)， 代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ， 整理得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1， ∴|AB |＝(1＋k 2)|x 1－x 2|＝ 5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝215. 答案：B3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时，直线x ＝0符合题意，斜率存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0， k ＝0时，符合题意， k ≠0时，由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形，其中|OA |＝|OB |，若A ，B 两点在抛物线y ＝14x 2上，则△OAB 的周长是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2<0<x 1，由|OA |＝|OB |及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴，y 1＝x 1，又y 1＝14x 21，所以x 1＝y 1＝4，故|OA |＝|OB |＝42，|AB |＝8，△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，(4k ＋8)2－16k 2>0⇒k >－1且k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得： x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． 由弦长公式得： |AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置，当AB ⊥x 轴时，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)， 当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]． 答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎨⎧y ＝bax ，x ＝－p2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2a，x ＝－p2.由题得知⎩⎨⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2)D.⎝⎛⎭⎫18，－12 解析：连接PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值为|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －12，与y 2＝2x 联立可得x ＝2，y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0，x 2>0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p 24＝2px .即x 2－3px ＋p 24＝0， 又|AB |＝8，即⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p . 即3p ＝8－p ，∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形AP Q B 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|B Q |＝2或|B Q |＝10，|AP |＝2，所以|P Q |＝8，所以梯形AP Q B 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF ―→＝3FB ―→，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意，设直线AB 的方程是x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又AF ―→＝3FB ―→，AF ―→＝(1－x 1，－y 1)，FB ―→＝(x 2－1，y 2)，于是有－y 1＝3y 2，y 22＝43， (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163， 弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：易知k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA ―→·OB ―→＝0，所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2| ＝12×|ON |×(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10， 解得k 2＝136，所以k ＝±16.10.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为－k .故直线AB 的方程是y －2＝k (x －4)，与y 2＝x 联立得，y －2＝k (y 2－4)，即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解，∴2y B ＝－4k ＋2k ，y B ＝1－2k k， x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝⎛⎭⎫1－4k ＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k ，以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k ＋4k 2k 2，1＋2k －k ， ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线和简单几何性质》教案一､教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析､归纳､推理等能力.(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解,这样才能解决抛物线中的弦､最值等问题.二､教材分析1.重点:抛物线的几何性质及初步运用.(解决办法:引导学生类比椭圆､双曲线的几何性质得出.)2.难点:抛物线的几何性质的应用.(解决办法:通过几个典型例题的讲解,使学生掌握几何性质的应用.)3.疑点:抛物线的焦半径和焦点弦长公式.(解决办法:引导学生证明并加以记忆.)三､活动设计提问､填表､讲解､演板､口答.教学过程【情境设置】由一名学生回答,教师板书.问题抛物线的标准方程是怎样的?答为:抛物线的标准方程是 .与椭圆､双曲线一样,通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质.下面我们根据抛物线的标准方程:来研究它的几何性质.【探索研究】1.抛物线的几何性质(1)范围因为,由方程可知,所以抛物线在轴的右侧,当的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性以代,方程不变,所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当时,因此抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得,教师用小黑板给出来表让学生填写.再向学生提出问题:与椭圆､双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有什么特点?学生和教师共同小结:(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点､一个焦点､一条准线;(4)抛物线的离心率是确定的,为1.【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.求标准方程,请一名学生演板,教师予以纠正.画图可由教师讲解,步骤如下:由求出的标准方程 ,变形为 ,根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标,得0 1 2 3 4 ……0 1 2.8 3.5 4 ……描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分(如图 ).然后说明利用抛物线的通性,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图.例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为 ,灯深 ,求抛物线的标准方程和焦点位置.解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,轴垂直于灯口直径.抛物线的标准方程为 ,由已知条件可得点的坐标是(40,30)且在抛物线上,代入方程得:,所以所求抛物线的标准方程为 ,焦点坐标是 .(三)随堂练习1.求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点,关于轴对称,并且经过点②顶点在原点,焦点是 [来源:学｡科｡网]③顶点在原点,准线是④焦点是 ,准线是2.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 m,跨度是m,求拱形的抛物线方程答案:1.①②③④2. (要选建立坐标系)(四)总结提炼抛物线的性质和椭圆､双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点､一个顶点､一条对称轴､一条准线;它没有中心,也没有渐近线.(五)布置作业1.顶点在原点､焦点在轴上,且过点的抛物线方程是( )A. B. C. D.2.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8,则焦点到准线的距离为( )A.1B.2C.4D.63.若垂直于轴的直线交抛物线于点 ,且 ,则直线的方程为__________.4.抛物线形拱桥,当水面宽时,水面离拱顶为 ,若水下降 ,则此时水面宽为___________.5.抛物线的顶点是双曲线的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线方程.6.若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6,求的横坐标及抛物线方程.答案:1.B 2.C 3. 4. 5. 6.9,(六)板书设计教案点评:本节课首先设置情境,让学生利用类比的思想,探索､归纳､总结出与椭圆､双曲线类似的性质,并与椭圆､双曲线的性质比较,便于学生掌握这三种曲线的性质｡通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用｡。