4-1刚体的定轴转动-力矩-转动惯量-转动定律
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一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
4-1刚体转动定律
2l
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
.
42
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
dt dθ dt d θ ωdω3gsinθdθ
2l
m,l FN
θ mg
O
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ) l
.
43
练习：一个飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，
以0=1000r/min的转速转动。现要制动飞轮， 要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。 求
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
.
41
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
.
39
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
J mR 2(g2t2h) 2h .
mg
40
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
.
49
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2） 任一质点运动 ,, 均相同，
但 v 不同。
.
6
3、一般运动 + 质心的平动 绕质心的转动
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
第四章 刚体的转动讲解
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
物理ppt课件2.91 刚体的定轴转动力 矩转动定律转动惯 量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
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定轴转动和转动定律[优质ppt]
l /2 x2 m d x
l / 2 l m x3 l/2
l 3 l / 2
J 1 ml2 12
例题：转动惯量的计算
例2：求匀质杆绕一端的垂直轴的转动惯量
J r 2 d m l x2 m d x 1 ml2
0l
3
例3：求匀质细圆环绕过圆心的垂直轴的转动惯量
J r2 d m R2 d m R2 d m mR2
2
3
M
1 mgl cos θ 2
例题：转动惯量的计算
例4：求匀质圆盘绕过圆心的垂直轴的转动惯量
将圆盘分成许多同心圆环
细圆环的转动惯量 d J r 2 d m
m
d J r2 2 r d r,
m
R2
J
dJ
R
2
r3
d
r
1
R4
0
2
J 1 mR2 2
r dr R
几种形状规则密度均匀刚体的转动惯量
正负由转轴正向和右手法则确定
• 若力不在转动平面内 —— 只算垂直分量
• 几个力同时作用时 — 各力矩的代数和
M M1 M2 M3 Mi
F sin
F cos
line of action
课堂练习：请说明下图中力对 z 轴的力矩
d
M F1r1 F2r2 F3r3 M Fd Fd 0 M F(r1 r2 )
3、平行轴定理
Z ZC d
m
C
J
JC
J JC md2
• 通过质心的轴线的转动惯量最小
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
刚体定轴转动的转动定律力矩
力矩平衡的条件
静平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩 为零，则刚体保持静止状态。
动平衡
刚体在转动过程中，如果合力矩为 零，则刚体保持匀速转动状态。
平衡状态
无论是静平衡还是动平衡，刚体的 平衡状态都满足合力矩为零的条件。
力矩平衡的应用
机械平衡
在机械设计中，通过调整刚体的质量 分布或添加平衡装置，使刚体在转动 过程中满足力矩平衡条件，以保证机 械设备的稳定性和可靠性。
刚体的定轴转动
定轴转动：刚体绕某一固定轴线作旋 转运动。
在定轴转动中，刚体的角速度和角加 速度是矢量，其方向沿固定轴线，而 力矩是改变刚体转动状态的唯一物理 量。
刚体定轴转动的特点
角速度矢量、角加速度矢量和力 矩矢量都与固定轴线平行。
刚体定轴转动时，其上各点的速 度方向与该点到轴线的垂直线段 相垂直，各点的加速度方向与该
实例三：旋转木马的旋转
总结词
旋转木马的旋转是刚体定轴转动的又一实例，通过外力矩的作用，使旋转木马绕轴转动。
详细描述
旋转木马在外力矩的作用下开始转动，当旋转木马转动时，由于摩擦阻力和空气阻力的作用，旋转木 马会逐渐减速并最终停止。
实例四：陀螺的稳定旋转
总结词
陀螺的稳定旋转是刚体定轴转动的最后一个实例，陀螺通过自转保持稳定的旋转状态。
在日常生活和工业生产中，转动 定律也广泛应用于各种旋转运动
的分析和设计。
04
刚体定轴转动的力矩平衡
力矩平衡的概念
力矩平衡
刚体在转动过程中，受到 的力矩之和为零，即合力 矩为零。
力矩
力对转动轴的力矩等于力 和力臂的乘积，其中力臂 是从转动轴到力的垂直距 离。
转动轴
刚体转动的中心轴，可以 是固定的点或线。
第4章 刚体力学
j
x
i
y
上述关系简记为右图（顺时针取正，逆时针取负）。
讨论 1）若力 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
F
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力矩为
z
k
O
零，故力对转轴的力矩
Fz
F
M z k r F M z rF sin
M M ij 0
二
转动定律 切向力：Fit (mi )at
z
O
ri Fit
Fit
切向力Fit 对转轴的力矩大小 M i ri Fit ri Fit (mi )at ri
质量元mi 受到的 切向力矩(对z轴)
ri
mi
at ri
M i (mi )ri 2
非定轴转动 (转轴位置或方向变化)
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
质心: 质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此 的一个假想点。
二 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 z 1 角速度和角加速度
角坐标 沿逆时针方向转 0 (t ) 沿顺时针方向转 0
式中 m 540r/s， 2.0s . 求：(1) t = 6s 时电动机 的转速．(2) 起动后, 电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数. (3) 角加速度随时间变化的规律． 解: (1) 将 t = 6s 代入得
ω 0.95ωm 513r/s
1 6 1 6 t / ( 2) N dt m (1 e )dt 344 2π 0 2π 0 d m t / （角加速度 t / 2 2 e 540 πe rad s ( 3) 指数衰减） dt
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
第四章刚体的转动_12008
预 习：
4-2，4-3 ，
武警学院教学课件
大学物理学电子教案
刚体的转动(1) 第七讲 刚体的转动
4－1 刚体的定轴转动 － 4－2 力矩 转动定律 转动惯量（上） 转动惯量（ －
第四章
刚体的转动 刚体的转动
在外力的作用下， 在外力的作用下，物体的形状和大小不发生变化 的模型就叫做刚体。
说明 1) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 2) 理想化模型；
情况3： 情况 ：
若力F不在垂直与转轴的平面内 若力 不在垂直与转轴的平面内 只有分力F 只有分力 2才对刚体的转动状态有 影响。 影响。
z
F
F1
4、合力矩 、
o
M＝∑ M i
结论： 结论：合力矩对于每个分力的力矩
之和。 之和。
p p r
F2
Pபைடு நூலகம்
二、转动定律
1、一个质点的情况 、
Fn=man， Ft=mat=mrα M= Ft r= mr2α
z ω,α v r •P
θ
r 刚体 O× 定轴
二、刚体转动的角速度和角加速度
角坐标： 大小θ 角坐标： 大小 、方向逆时针 角位移： 角位移：∆θ= θ2- θ1
o
转动平面
ω
r
·
θ
p
∆ θ dθ ω＝lim = dt ∆t → 0 ∆ t
∆ω dω d 2θ α＝lim = = 2 dt dt ∆t → 0 ∆ t
dr r
3
R
dm = ρ ⋅ 2πrdr ⋅ l
dJ = r dm = ρ ⋅ 2πlr dr
2
J =
∫ dJ
=
∫
R 0
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
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mvx 0 m v2 x 2 0 m v1 y m v2 y 2 2 1 gt 2 h v1 y t 2
y h v2 y t ' 1 gt ' 2
2
x s v2 xt '
习题 3-15
o
y
(mg N ) dt d[ (l y )v]
y v
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
d
F
*
P
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
k
O
Fz
F
F
r
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150
t
2
N 3 10
4
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
Hale Waihona Puke xxm'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
O
l 2
r
dr
ml
2
O
l 2
r
dr
1 3 ml
2
O´
J 1 12
O´
J
l
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
dr
m
R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
at
et v
例1：
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0 t
1 2
x x0 v 0t
v
2 2 0
at
2
0 0t t
1 2
2 2
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
mR
2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
d
ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
NO.4-1
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
g
v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
）
B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
dy
y h v2 y t ' 1 gt ' 2
2
x s v2 xt '
习题 3-15
o
y
(mg N ) dt d[ (l y )v]
y v
F 对转轴 Z 的力矩 MrF
M
M
z
说明：
O
r
d
F
*
P
（1）当外力平行于转轴或力的 作用线通过转轴时，力对转 轴的力矩为 零； （2）对定轴转动来说，只有参 考平面内的力对转动轴有力矩;
z
k
O
Fz
F
F
r
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque ）
高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过 中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω 0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000 r· -1 ．转 min 子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内， 转子转过多少转？
150
t
2
N 3 10
4
二. 刚体转动定律
1. 力矩（Torque， moment of force ）
2
y
由于 a a 'a R
a sin aR cos a' a cos aR sin
y
FN
G
Hale Waihona Puke xxm'
N'
G'
a R a a' 2 2 2 g sin m' (2mm' m ) sin a 2 m' m sin
O
l 2
r
dr
ml
2
O
l 2
r
dr
1 3 ml
2
O´
J 1 12
O´
J
l
d
C
m
O
J O J C md
2
——平行轴定理
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
m
R
J mR
2
RR
O
r
dr
m
R1 R2
J 1 2 m( R1 R2 )
习题 3 - 9
O
由质点动量定理
Fdt p2 p1
F
原 长 平衡 位置
(mg F ) t 0 mv
F mg mv t
y
G
v
2 gh
习题 3-12
y
v2 v1
h=19.6m
o
100m
x
2 h 1 gt 2 s vxt
爆炸前后系统动量守恒定律
3. 刚体的定轴转动
（1）状态参量 角坐标 θ
角速度 ω=d /dt
角位移 d
z
(t )
x
参考轴
刚体的角速度方向与其 转动方向遵循右手定则！ 参考平面 角加速度
=d /dt
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
3.刚体的定轴转动
（2）匀加速转动的运动方程 （Rotation with constant angular acceleration）
3.刚体的定轴转动
（3）角量和线量的关系（Relationship between angular quantity and linear quantity）
ds rd v ret
2 a ret r en
a
an r
at
et v
例1：
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v 0 at
0 t
1 2
x x0 v 0t
v
2 2 0
at
2
0 0t t
1 2
2 2
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
2 2
J
1 2
mR
2
例5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀球壳，求当以一 直径为转轴的转动惯量 .
2 3
J
mR
2
R
O
以球壳为质量元，可以很快得到均匀球体（m R）的转动惯量为 2 2 J mR 5
应用刚体转动定律的基本方法和步骤： 隔离物体法 分析力，确定 外力，力矩
列出转动定律和 牛顿定律方程
（3）刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为
零;
in in M Mi 0
i
M ij
O
M
d
ji
i F ji ri F ij
rj
j
（4）合外力矩等于各个分力矩的矢量和。 ex M M M1 M 2 M 3
例2：有一大型水坝高110 m、长1000 m , 水 深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
NO.4-1
第四章 刚体的转动
你能回答下列现象吗?
（1）向前拉绳子，滚轮一定向前滚动吗？ （2）转动的车轮为何不会掉下？ （3）花样滑冰运动员的转速为何会变化？ （4）直升飞机为何要有旋转的尾翼？ （5）走钢丝的杂技演员为何手中要拿一根长杆？
质点模型
质点系模型
刚体模型
从三个方面讨论：
（1）运动学（状态量）； （2）动力学（转动定律）; （3）角动量和能量（角动量守恒定律、 机械能守恒定律）
A
FT 1
FT 2
mA
C
mA mB mA mB mc
1 2
mC
g
2mB gy mA mB 1 mc 2
mA 1 mc mB 2
mA mB mc
1 2
g
v
mB B
例7 一长为 l 质量为 m 匀质细杆，可绕其一端的光 滑水平固定轴转动 . 将杆从水平位置静止释放，求 细杆转动 角时的角加速度和角速度 .
内容目录
1. 2. 3. 4. 5. 刚体 刚体定轴转动的状态量 力矩 刚体的转动定律 转动惯量
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
1. 刚体（Rigid Body）
受力时大小和形状保持不变的物体；
质量连续分布的质量元，受力时各质元之间的 相对位置不变。
2. 刚体的运动（Motion of Rigid Body）
列出线量和角量 之间的关系式
求解联 立方程
例6
质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 mC 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?
2
ex F dt dp
y
2g
N 3yg
质点系的动量定理
3g cos 2l
3g sin l
思考：此时棒受到轴的约束力的大小和方向.
1 5 F mg cos et mg sin en 4 2
Ex8.
关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会 改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩 之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在 相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。
C
今日作业
4－10, 11，14，18
习题 2-26
对于m’
N sin m' a'
m
m'
对于m
mg sin ma' cos maR
N ma' sin mg cos
m
N
Fi
a'
mg sin cos m' m sin
2
N
mm' g cos m' m sin
平动（translation） 转动（rotation） 定轴转动（fixed axis rotation ） 定点转动（fixed point rotation） 滚动（roll）
平面平行运动（planar translation）
一.刚体的运动（ Motion of Rigid Body ）
对上述说法，下列判断正确的是
（A）只有（2）正确 （B）（1）、 （2）正确 （C）（2）、 （3）正确 （D）（1）、 （2）、（3）都正确
（
）
B
Ex9. 均匀细棒OA可绕通过其一段O而与棒垂直 的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从 水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直 位置的过程中，下述说法正确的是 （ ） （A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从大到小，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 O A
y
y
x
r
O
F p0 Lh 1 2
F
dA
h
dy