2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴
|4x 0－3|42＋(－3)2
＝1，解得x 0＝2或x 0
＝－1
2(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.
3．(2010年广东汕头调研)已知D 是由不等式组⎩⎨
⎧
x －2y ≥0
2x ＋y ≥0，所确定的平面区
域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．
答案：π
4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆
C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．
解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，
b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0
对称，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
b －1a ＋1＝－1，
a －12－
b ＋12－1＝0，
解得
⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝－2，
圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.
5．(原创题)圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB ＝90°，则实数c的值是________．
解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的
2
2
倍．由
于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝
2
2
×5－c，解得c＝－3.
6．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l2是此圆的切线，连结CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|
2
＝42，
此时|QM|的最小值为32－16＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，
易证四边形M1CM2Q是正方形，∴l2的方程是x＝1或y＝－4.
B组
1．(2010年福州质检)圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为________________．
解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x
＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.
2．(2010年扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，
OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．
解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝1
2，又OA ＝a 2＋b 2，
∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.
3．(2009年高考上海卷改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．
解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，
y )，
则⎩⎨
⎧
2x ＝x 0＋4，
2y ＝y 0－2，⇒⎩⎨
⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，
代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2
＋(y ＋
1)2＝1.
4．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.
解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点
P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1.
5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．
解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为
AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝252－12＝46，四边形ABCD 的面积为20 6. 6．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外
