典型例题与解答

1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

九章算术典型例题
《九章算术》是中国古代的数学著作，其中包含了大量的问题和解答，下面是一些典型的例题及其解答。

例题1：今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。

欲以钱数多少衰出之，问各几何？
答曰：甲出五十五钱，乙出八十五钱，丙出一钱。

例题2：今有北乡算（算：西汉的人头税）八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六。

凡三乡，发徭三百七十八人。

欲以算数多少衰出之，问各几何？
答曰：北乡遣一百三十三人，西乡遣一百一十二人，南乡遣一百二十七人。

例题3：今有女子不善织布，逐日减损，月一成一匹，四月不满匹半。

问日织几何？
答曰：一日中分五分匹之，又减半两分两之。

数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。

下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。

例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。

解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。

当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。

所以，当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。

例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。

解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。

当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。

接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。

我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。

由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。

我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。

考点：分数的性质
18、41.4；39.33 解析： 今年二月,张叔叔把 1000 元存入银行,存期一年,年利息 4.14%。 应得利息=1000*4.14%*1=41.4 元 缴纳 5%的利息税后，实得利息=41.4*(1-5%)=39.33 元。 考点： 实际应用，计算利息
19、90.1% 解析：
小学数学 50 道典型例题
填空
1. 2019 年全国人口普查，中国人口已达 1367827006 人，这个数读作（
省略亿位后面的为数是（
）。
2. 48 分=（ ）时 7.08 升=（ ）毫升
42600 平方米=（
）公顷 50 平方米=（ ）平方分米= （
3. 一个长方形长 5cm,宽 3cm,按 3: 1 扩大后的长方形的面积是（
3、135 考点： 长方形正方形的面积，图形的放大与缩小。
4、15 考点： 分数的复合应用题，平年瑞年的考察。
5. 17.7%、1.07、1.7、1.707 考点： 百分数化小数以及小数的比较。
5、6;420 解析： 12=2×2×3;18=2×3×3 最大公因数是 2×3=6. 20 和 21 是互为质数,最小公倍数是 20×21=420.
所以假分数的倒数都比原数小说法错误．
31、解：原式=3.97
32、解：原式=3
33、解：原式=0
= − = = 17 1
34、解：原式= −
102
10
92 23
10 6
60
60
60 15
∗ + = ∗ + = 13 28 8
1
26 8
1
35 、 解 ： 原 式 = ∗
对众数和中位数的理解，中位数：按顺序，有奇数个时中位数就是最中间的数；