四川省新津中学2014届高三4月月考数学(文)试题

四川省新津中学2014届高三4月月考数学（文）试题考试时间120分钟 满分150分第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设复数i i z (1--=是虚数单位），z 的共轭复数为-z ，则=⋅--z z )1(（ ）A ．10B ．2C ．2D ．1 2.已知集合{}{}b a B A a ,,2,1==,若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，则B A 为（）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧b ,1,21B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1 C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21 D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1,21,13.已知直线a 和平面βα,，βαβα⊄⊄=a a l ,, ，且a 在βα,内的射影分别为直线c b ,，则直线c b ,的位置关系为（ ）A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面 4.对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算规则如下图的程序框图所示，则4)23(⊗⊗的值是（ ） A ．0 B ．21 C ．23D ．9 5. }{n a 为各项都是正数的等比数列，n S 为前n 项和，且70,103010==S S ，那么=40S （ ）A ．150 B ．200- C ．150或200- D ．400或50- 6、已知函数1cos 22sin )(2-+=x x x f ，将)(x f 的图像上各点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移4π个单位，得到函数)(x g y =的图像。

则函数)(x g y =的解析式为（）A 、x x g sin 2)(=B 、x x g cos 2)(=C 、)434sin(2)(π-=x x g D 、x x g 4cos 2)(= 7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．2103 B ． 4 C ． 29D ． 5 8.已知)23(21)4(21log log -+++<y x y x ，若λ<-y x 恒成立，则λ的取值范围是（）A 、()+∞,9B 、[)+∞,9C 、()+∞,10D 、[)+∞,109.设n m ,分别是先后投一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程02=++n mx x 有实根的概率是（ ） A ．3611 B ．117 C ．367 D ．10710.若实数a,b,c,d 满足0)2()ln 2(223=--++-d c a a b ，则22)()(d b c a -+-的最小值为（） A 、2 B 、2 C 、22 D 、8第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）11. 已知α为锐角，且53)2cos(-=+πα，则αcos =______________12.将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于______________ 13.已知向量)2,(),1,2(-=-=→→λb a ，若→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是14. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为15. 给出以下五个命题：①对于任意的a>0,b>0，都有a b b a lg lg =成立； ②直线b x y +⋅=αtan 的倾斜角等于α③已知异面直线a,b 成︒60角，则过空间一点P 且与a,b 均成︒60角的直线有且只有两条。

④在平面内，如果将单位向量的起点移到同一个点，那么终点的轨迹是一个半径为1的圆。

⑤已知函数)(x f y =，若存在常数M>0，使x M x f ⋅<)(对定义域内的任意x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”。

对于函数11)(2--=x x f ，该函数是倍约束函数。

其中真命题的序号是_________________三、解答题（请把解答过程详细书写在答题卡上，共75分）16.已知函数2()cos 2cos =⋅++f x x x x m 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2． （Ⅰ）求常数m 的值；（Ⅱ）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，若()1=f A ，sin 3sin =B C ，∆ABCa ．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知2log n n n b a a =⋅，求数列{b n }的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查（若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”），就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：0.05． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）已知y ≥657，z ≥55，求本次调查“失效”的概率． 19．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD//FE ，∠AFE=60º，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF=FE=AB=12AD =2，点G 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：EG//平面ABF ；（Ⅱ）求三棱锥B-AEG 的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y 轴截得的弦长为，圆C 的面积小于13． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．21.（本题满分14分） 已知函数)0()1(21ln )(2>+-+=x x a x x a x f ， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≥x f 在),0(+∞内恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若,*N n ∈求证：1)1ln(13ln 12ln 1+>++++n nn 。

新津中学高2011级高三（下）4月月考试题数学（文史类） 参改答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：16.解：（1）2()cos 2cos =⋅++f x x x x m 2(1cos 2)=+++x x m2sin(2)16π=+++x m ∵ 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣x ∴72,666πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎦⎣x∵ 函数sin =y t 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣ 上是增函数，在区间7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎦⎣上是减函数 ∴当262ππ+=x 即6π=x 时，函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取到最大值． 此时，max ()()326π==+=f x f m 得1=-m ……………………6分（2）∵ ()1=f A ∴ 2sin(2)16π+=A ，解得0=A （舍去）或3π=A (8)分∵ sin 3sin =B C ，sin sin sin ==a b cA B C∴ 3=b c ①∵ ∆ABC 11sin sin 223π∆===ABC S bc A bc 即3=bc …………②由①和②解得3,1==b c …………………………10分∵222222cos 31231cos3π=+-⋅=+-⨯⨯⨯a b c bc A∴ =a ……12分17．解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1= 12，又∵ S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列，∴ 2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，变形得S 2-S 1+2a 2=a 1+S 3-S 2+a 3，即得3a 2=a 1+2a 3， ∴ 32 q=12 +q 2，解得q=1或q=12 ， …………………………………4分又由{a n }为递减数列，于是q=12 ，∴ a n =a 11-n q =( 12 )n ． …………………………………………………6分（Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ∙( 12 )n ，∴ ()211111[1+2++1]2222n nn T n n -=-⋅⋅-⋅+⋅ （）（）（）， 于是()211111[1++1]2222n n n T n n +=-⋅-⋅+⋅ （）（）（），两式相减得：2111111[()++()]22222n n n T n +=--⋅ +()111[1()]122=1212n n n +⋅--+⋅-()，整理得222n n n T +=-． …………………………………………………18．解：（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴ 3600120x +=0.05，解得x=60． …………………………………………2分∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600 =72人． …………………… 6分 （Ⅱ）∵ y+z=720，y≥657，z ≥55，故满足条件的(y ，z)有：(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)共9种． …………………………… 8分 记本次调查“失效”为事件A ，若调查失效，则2100+120+y<3600×0.8，解得y<660．∴ 事件A 包含：(657，63)，(658，62)，(659，61)共3种．∴ P(A)= 39 =13 ． …………………………………………………… 12分 19．（I ）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM∵ G 为对角线AC 的中点，∴ GM ∥AD ，且GM=12 AD ，又∵ FE ∥12 AD ， ∴ GM ∥FE 且GM=FE ．∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM ． 又∵ EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF∴ EG ∥平面ABF ．……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）解：作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED=AD ，得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60º，由EF//AD知∠EAD=60º，∴EN=AE∙sin60º∴三棱锥B-AEG的体积为11122332B AEG E ABG ABGV V S EN--∆==⋅=⨯⨯⨯．……………………8分（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE．∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且60AFE∠=°，∴=120FAD∠°．又在△AED中，EA=2，AD=4，60EAD∠=°，由余弦定理，得ED=．∴EA2+ED2=AD2，∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，又AE⊂面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．…………………………………………12分20．解：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知RR=⎩，，解得a=1 或a=138，………………………………3分又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． (6)分（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立223(1)4y kxx y=+⎧⎨-+=⎩，，消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， (9)分∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，解得1k<-1k>+x1+x2=2621kk--+，y1+ y2=k(x1+x2)+6=2261kk++，121211()()22OD OA OB x x y y=+=++，，(13)MC=-，，假设OD ∥MC，则12123()x x y y -+=+，∴ 226226311k k k k -+⨯=++，解得3(1(1)4k =∉-∞-⋃+∞，，假设不成立． ∴ 不存在这样的直线l ． ………………………………………………13分21.解：xa x x x a x a x x f ))(1()1()(2--=++-=' （1）当0≤a 时，)(x f 在)1,0(递减，在),1(+∞递增；当10<<a 时，)(x f 在)1,(a 递减，在),1(),,0(+∞a 递增； 当1=a 时，)(x f 在),0(+∞递增；当1>a 时，)(x f 在递增递减，在),(),1,0(),1(+∞a a 。