第十一章 两变量关联性分析

简称X和Y不相关。
样本相关系数r
协方差(covariance)的定义、含义
X的样本方差 =
n
(Xi X)2
i 1
n 1
Y的样本方差 =
n
(Yi Y )2
i1
n 1
X和Y的样本协方差 =
n
(X i X )(Yi Y )
i1
n 1
图11-3 双变量协方差示意图
n
r lXY
( X i X )(Yi Y )
trs
rs 0 Srs
Srs
1 rs2 n2
第三节 分类变量的关联性分析
对两个定量变量的关联性，我们可用Pearson积矩相 关系数或秩相关系数来描述；对两个分类变量，通常是 先根据交叉分类计数所得的列联表进行两种属性独立性 的检验，然后计算关联系数。
一、交叉分类2×2表的关联分析
例11-6: 研究吸烟方式与患慢性气管炎是否有关，某研究者 随机调查了200例年龄相仿的吸烟者，对每个个体分别观察慢 性气管炎与否和吸烟方式两种属性，2×2种结果分类记数如 表11-3所示。试分析两种属性的关联性。
二、相关系数的意义及计算
线性相关系数 (linear correlation coefficient)
又称 Pearson积矩相关系数(Pearson product moment coefficient)
相关系数 =
X和Y的协方差
( X的方差)(Y的方差)
总体相关系数ρ：若ρ≠0, 称X和Y线性相关, 简称相关；若ρ＝0, 则
：H吸0 烟方式与慢性气管炎有无之间互相独立
：H吸1 烟方式与慢性气管炎有无之间有关联 α=0.05 将表中各数据代入公式（9-7）

二、秩相关
Pearson积差相关要求X,Y均服从正态分布。 对不服从正态分布、总体分布未知或原始数据用等 级表示的资料采用秩相关（等级相关）来度量两变 量间相关的程度与方向。称为Spearman秩相关。 利用两变量的秩次大小作线性相关分析。 以两变量对应的秩次代替变量值本身带入Pearson 积差公式得到Spearman秩相关系数。 例11－4
一、线性相关
正相关：X,Y同时增减（同向） 负相关：X,Y此增彼减（逆向） 零相关：X,Y互不影响或者无直线相关关系 完全正相关：当所有的点都集中在一条直线上并且变 化趋势相同 完全负相关：当所有的点都集中在一条直线上并且变 化趋势相反
一、线性相关
一、线性相关
因为散点图能够直观的反映两变量间有无关系， 所以在研究两变量间的关系时都应该先绘制散点图， 之后再确定它们之间的量化关系。
二、秩相关
二、秩相关
秩相关系数的统计推断 由样本的秩相关系数不为零，推断总体的相关 系数是否为零。
ρs 因：① 由于抽样误差引起，ρs=0
② 存在相关关系，
ρs≠0
二、秩相关
秩相关系数统计推断步骤： （与Pearson相关系数统计推断的步骤相同） 统计量为rs ，通过查rs界值表（附表14）得到P值。
积差相关与秩相关的联系与区别
联系： 两者均刻画了两变量间线性相关的方向与密切程度， 取值范围与数值大小的统计学意义解释相同 Spearman秩相关系数可用对秩次的Pearson积差 相关系数计算来实现 区别： Pearson积差相关要求数据服从正态分布，属于参 数统计量；而Spearman秩相关不要求正态分布， 属非参数统计量 两者总体参数的检验方法不完全相同
(ad − bc) 2 n χ2 = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

r无度量单位 -1 ≤r≤ 1 r 值为正：正相关
为负：负相关 |r|=1：完全相关
❖ r的正负号表示线性相关的方向 ❖ r绝对值的大小表示线性相关的密切程度，越接近±1， 其线性密切程度越高；越接近0，线性密切程度越低
例11.2 计算例11.1中基础代谢Y与体重X之间样本 相关系数。
由例11-1得
三、相关系数的统计推断
(一)假设检验方法： 查表法
按自由度υ=n-2查r界值表，如果样本相关系数r大于界值，
则具有统计学意义，线性相关关系存在
t检验法
tr
r0 sr
υ=n-2
sr
1 r2 n2
例11-3 继例11-2中算得r=0.964后,试检验相 关是否具有统计学意义
H0 : 0 ，H1 : 0 ， =0.05
(x x)2 1144.5771 (y y)2 4645447.0121 (x x)(y y) 70303.2329
r
(x x)(y y)
(x x)2 (y y)2
70303.2329
1144.5771 4645447.0121
0.964
即基础代谢与体重之间的相关系数为0.964，呈正相关， 说明基础代谢随体重的增加而升高
查表法
本例 n=14，r=0.964，按υ=14-2=12，查r界值表，得 r0.05,12=0.532
因此P<0.05，即相关系数有统计学意义，可以认 为基础代谢与体重之间存在线性正相关，且相关系 数为0.964
t检验法
本例 n=14，r=0.964，代入公式
t 0.964 12.559 1 0.9642 14 2
正相关（positive correlation) 散点呈直线变化趋势 Y随X的增加而有增加的趋势 当散点全部在一条直线上时， 为完全正相关

=n-2=10-2=8，查附表 2,得 P<0.01，按α = 0.05 水准拒绝 H0，
接受 H1，可认为三岁儿童体表面积与体重间存在直线相关关系。
四、相关分析中应注意的问题
（1） 进行相关分析的资料应有实际意义。 （2）相关系数的计算适用双变量正态分布资料 （3） 进行相关分析前应先绘制散点图。
SStotal
计算公式
r
X x Y y X x Y y
2
2
lXYΒιβλιοθήκη lXX lYY2lXX = X－x =
2
X X－
2
2
lYY = Y－y =
2
Y Y－
2
n
lXY = X－x Y－y = XY－
第十一章 两变量间相关与回归分析
对一个变量的每个可能取值，另一个变量 都有完全确定的值与之对应，则称这两个变量 之间的关系呈现函数关系，称确定性关系。若 两变量之间确实存在着某种关系，但这种关系 不是一一对应的函数关系，称非确定性关系。
第一节 直线相关
一、直线相关的概念 描述两个变量相互关系最简单的统计方法 就是直线相关分析：两个变量是否有直线相关 关系?如果有直线相关关系，那么它们之间的 关系是正相关还是负相关? 相关程度如何？
计算步骤如下：
1、绘制散点图：
0.66 0.64 0.62 0.60 0.58 0.56 0.54 0.52 11 12 13 14 15 16
Y
X
2、相关系数的计算
lXX ( X x )2 X 2 ( X ) 2 n 134.42 1831.24 24.904 10
散点图
图11-1 两变量相关关系示意图