2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 12
142
的值; (2)求证:35112
<∑
=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-
<1211212144
4
11
1222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n
k Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=12112121444412
22n n n n n (2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T r r
r n r
(4)2
5
)1(12311
2111)11(<-+
+⨯+⨯++<+n n n
n Λ
(5)
n
n n
n 2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21
)1(2--<<
-+n n n n n
(8)
n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
(9)⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
)1(1!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11
123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=
n n n n n n n n n n n n 1111211111
1
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n
(13) 3
212132122)12(332)13(2221
n n n n
n
n
n
n
n <
-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k (15) )2(1)
1(1≥--<+n n n n n
(15) 11
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i
例2.(1)求证:)2()12(21
67)
12(1513112
22≥-->-++++
n n n Λ (2)求证:n n
412141361161412-<++++Λ
(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n ΛΛΛ
(4) 求证：)112(2131211)11(
2-+<+
+++
<-+n n
n Λ
解析:(1)因为⎪⎭⎫
⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)
12(12
n n n n n ,所以
)
1
2131(211)12131(211)
12(1
1
2
--+>+-+>-∑=n n i n
i (2))1
11(41)1211(41413611614
1222n n
n -+<+++=++++
ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出1
212642)12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ΛΛ,再结合
n
n n -+<+22
1进行裂项,最后就
可以得到答案
(4)首先n
n n n n
++=
-+>12)1(21
,所以容易经过裂项得到
