高考数学专题复习放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为k,于是b a b a b a k a a =-+≥+>)(|ln |例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3221111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++n n nn n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n n a nn a )2111(1⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

高考数学备考-------放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn Λ(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ(2)求证:nn412141361161412-<++++Λ(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++ΛΛ(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n nΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=Λ212,求证:23321<++++nT T T T Λ.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T ΛΛ例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn +++--<++++ΛΛ因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ例9.求证:(1)12ln 3ln 2ln 2≥--<+++≥n n n n ααααααΛ解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结如下，仅供参考：
1. 舍掉（或加进）一些项。

2. 在分式中放大或缩小分子或分母。

3. 应用基本不等式放缩（例如均值不等式）。

4. 应用函数的单调性进行放缩。

5. 根据题目条件进行放缩。

6. 构造等比数列进行放缩。

7. 构造裂项条件进行放缩。

8. 利用函数切线、割线逼近进行放缩。

9. 利用裂项法进行放缩。

10. 利用错位相减法进行放缩。

请注意，使用放缩法时，要确保放缩的方向一致，适度地进行放与缩，且很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

另外，用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。

因此，对放缩法只需了解，不宜深入。

高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。

掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。

下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。

首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。

在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。

一、加减变形。

在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。

这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。

例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。

二、乘除变形。

在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。

这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。

例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。

三、配方。

在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。

例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。

这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。

总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。

希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。

实用文档高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2n5 1例1.(1)求k14k 21的值;(2)求证:k1k3. 2211解析:(1)因为4n21(2n1)(2n1)2n12n1,所以21n4k21112n12n1421111125n214n22n12n1(2)因为,所以k1k21 452n2n133 1121奇巧积累:(1)n24n24n212n2n1(2)Cn11Cn2n1)n(n)n(n1)n(n1) r1!11(3)r1Cnnrr!(nr)!r!r(r)1r2)1n11211)(n213n4)(n1n(5)2n(2n1)2n1n(6)( 1) 12(n1)11(7)(8)2n2n2n(2n) n1 (2n 3) 2n1111(9)k(n1k) n 1k k nn(n 1k)knk(10)(11)(12)n 1 112( 2n 1n )2 22n2n1 2n11 1(n1)! n!(n1)!(11)n n222n2n2n2n1 1(n2)(2n 1)2(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n2) (2n 1)(2n11) 2n1 12n111111n3n n 2n (n 1)(n1)n (n 1)n (n 1) n 1n111n1n 111n 1n 12nn 1n1(13)(14)2 n122n (31)2n33(2n1)2n2n12n12n32n13k2111nn1(n2) k!(k)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n(15)1)文案大全实用文档21j212j2i j1( 15)j ij)(i212)i21j2n2)例2.(1)求证:32521)2(2n2(2n1) 1111(2)求证:416364n24n113135135(2n1)2n1(3)求证:22462462n2(1)1112(n)(4)求证：23111n11111解析:(1)因为(2n1)22n1)(2n1)2n12n1所以i(2i1)21()1()22n132n1,1111111( 2)416364n4(122n2)(11)13(2n1)1(3)先运用分式放缩法证明出后就可以得到答案1n进行裂项,n 22n 最12(n1n)211(4)首先nn,所以容易经过裂项得到2(n11)1n1232(2n12n1)22212n1112n再证nn 而由均值不等式知道这是显然成立的，2 211112( 2n 11)所以23n6n111例3.求证:(n1)(2n 1)9n21411214n 21 2n12n11 11 1125 解析:一方面:因为n 412 2n12n11所以k1k23533,111111 n另一方面:4922334 n(n1)n1n1n6n6n111 1当31(1)当1149n 2n时,nn (2n1)n时,(n)(2n1),6n11,当n2时,(n1)(2n1)49n2n 11所以综上有(n1)(2n1) 49例4.(2021年全国一卷)设函数f(x)xxlnx 数列a n 满足11a n1f (a n )..文案大全实用文档设b(a1，1)，整数k≥a1bb.a1lnb.证明:a k1解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列,故假设存在正整数mk,使a m,那么a k1ak b,kmb(mk)a1a mb1am lna ma1lna ma1lnb0a k1a k a k lna ka1a m lnam假设,那么由知,m1kam lna mk(a1lnb)因为m1,于是ak1a1k|a1lnb|a1(ba1)b例5.n,mN,x1,S1m2m3m n m m1(m1)S(n1)m1.,求证:解析:首先可以证明:(1x)nnxm1n m1(n1)m1(n1)m1(n2)m11m1[k m1(k1)m1]1所以要证nm1(m1)S(n1)m1只要证:nn[ k m1(k1)m1](m1)km(n1)m11(n1)m1nm1nm1(n1)m12m11m1[(k1)m1k m1]k111[ k m1(k1)m1](m1)km[(k1)m1k m1]故只要证k1k11,即等价于k m1(k1)m1(m1)k m k1)m1km,即等价于1m11m11k(1)1k(1而正是成立的,所以原命题成立.例6.a n4n2n,Tn2na n,求证:T1T2T3na122.解析:Tn314(14n)2(12n)4 4422)1412341)2(12 Tn2n2n2n32n2n11n1n12n1)2(12n)4n1422n1432222321所以4n33n312(22n1)(2n1)22n12n11T 1T2T3313Tn3372n12n112从而2n (n2k1,k)1117.x1xn2k,k)x2x34x4x52(n11)(nN*)例n1(n求证4x2n x2n1 1文案大全实用文档证明:因为1111124x2n x2n14(2n1)(2n1)44n2144n22n2n,122) n1,所以2(n1 2n4x2n x2n12n nn1112(n11)(nN*)所以4x2 x3 4x4x5 4x2nx2n1 二、函数放缩ln2ln3ln 4ln3n3n5n6(nN*).例8.求证：2343n6解析:先构造函数有lnxlnx1ln2ln3ln4ln3n n111x11x,从而2343n3133n)11111111111caus e233n234567892n2n1n533993n13n15n669182723n13n6 ln2ln3ln4ln3n15n n5n6所以2343n 362,ln 2ln3lnn2n2n1(n)例9.求证:(1)23n2(n1)解析:构造函数f(x)lnxlnnlnn2lnn21111x得到nn2再进行裂项n2n2n(n1)求和后可以得到答,,,案函数构造形式:lnxx1,lnn1(2)11ln(n1)111例10.求证:232n解析:提示:ln(n1)lnn2nn1nnln2 n11nn1函数构造形式:lnxx,lnxy当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f(x)1ED x,F CA Bilnx|nlnn ln(ni)n-iSABC F首先x,从而,i文案大全实用文档1lnnln (n1),取i1有,n11 l n3 l n211ln(n1)lnn ,相加后可以得到:所以有2 l n2,3 ,⋯,nlnnln(n1),n111ln (n1)3n1S ABD E1,从而有nii另一方面ii1l nn ln(n1),取i1有,n1l nx|nlnnl n(ni)n所以有ln(n1)1 11 1 11 l n(n1)112n,所以上有2 3n 1 2例11.求:1 1)(11)(11)e和1 )(11) (11解析构造函数后即可明2!3!n!98132n.:2n3ln[n (n1)1]3例12.求:(112)1 23)[1 n (n 1)] 解析 2:,以得到答案l n(x1 )31ln(1x)3x)(加命)函数构造形式(x0)x1x1 ln2ln3ln4lnnn(n)(nN*,n1)例13.明:3451解析:构造函数f(x)ln(x1)(x)1(x1)求可以得到:,f'(x)112x''0有x2,x1x1,令f(x)0有1x2,令f(x)所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)2,令xn21有,lnn2n21lnn n1n2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n)所以n12,所以345n14例14.a11,a n1(11n)a n.明a ne2.n2n1)a n111)a n解析:a n1(1n(n1)n(n1),11lna n1ln(1n(n1)2n)lna n然后两取自然数,可以得到文案大全实用文档然后运用ln(1)x和裂项可以得到答案)放缩思路：a nlna n1ln(11lna n(1n2n2n a nn2n nlna n11 22n。

放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有 所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC T rr r n r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n af a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln ab k a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m≥,则b a ak k ≥>+1,若)(k m b am≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a ak m m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m mn S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m kkm 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n na24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++n T T TT . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n n n nT -+-=-----=+++-++++= 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T TT 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα2例10.)1ln(ln 1-->-n n n所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n<+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n a aa n n +==+++证明2nae <.解析: nn n n n a n n a n n a)21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

放缩法技巧全总结放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一、它主要是通过对问题进行放大或缩小，从而转换为更简单或更熟悉的形式来解决。

放缩法可以用于各种数学领域，如代数、几何和计算等。

在本文中，我将总结一些常用的放缩法技巧。

一、代数放缩法1.替换变量：通过替换变量，将原始问题转化为更容易求解的问题。

例如，可以通过令一些变量等于另一个变量的一些表达式来简化问题。

2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，可以简化计算过程。

3.移项：将方程中的项移动到一边，可以使问题更加清晰。

4.分式放缩：对于有分式形式的问题，可以通过放缩分母或分子来简化问题。

二、几何放缩法1.类比三角形：如果一个问题中涉及到一个复杂的三角形，可以通过找到类似形状但更简单的三角形来放缩问题。

2.重心放缩：对于一个几何体，可以通过移动几何体的重心来简化问题。

例如，在求解三角形面积时，可以通过将三角形平移到一个更简单的位置来计算。

3.缩放比例：通过按比例缩放一个几何体，可以简化问题。

例如，求解复杂图形的面积时，可以将图形按比例缩小到一个更易计算的大小。

三、计算放缩法1.近似计算：当遇到一个复杂的数学计算时，可以通过近似计算来简化问题。

例如，可以使用泰勒级数近似一个函数的值。

2.递归放缩：将一个复杂的计算问题分解为多个简单的计算问题，并将得到的结果组合起来。

例如，在求解一个复杂的积分时，可以将其拆分为多个简单的积分来计算。

3.迭代放缩：通过迭代计算的方式，逐步接近问题的解。

例如，在求解方程的根时，可以逐步逼近根的值。

四、实例分析以以下问题为例，展示放缩法在实际问题的应用。

假设有一个需要排队购买电影票的场景，共有n个人等待购票，每个人需要等待的时间为ti，求解n个人等待时间的平均值。

使用放缩法求解该问题的步骤如下:1. 将n个人的等待时间求和得到总的等待时间sum。

2. 将总的等待时间sum除以n，得到平均等待时间average。

通过放缩法求解，可以将原始问题转化为简单的求和和除法操作，从而简化了计算过程。

放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的数学技巧，用于将数学问题转化为更简单、更易解决的形式。

这种技巧广泛应用于数学竞赛和问题求解中。

以下是放缩法的几个常见技巧和应用总结。

1.强化不等关系：放缩法的核心思想是通过比较大小来改变问题的形式。

如果已知a>b，那么可以通过加减乘除等操作将问题转化为a的形式，从而简化计算过程。

例如，要求证明a+2b>0，可以通过乘法得到2a+4b>0，进一步可得3a+6b>0。

这样可以将问题转化为证明3a+6b>0的形式，而这个不等式更容易证明。

2. 运用恒等变形：放缩法还可以通过变换等式或不等式的形式来简化问题。

常用的恒等变形包括平方恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和倒数恒等式1/(ab)=(1/a)(1/b)等。

应用这些恒等变形，可以将问题转化为更简单的形式，进而解决问题。

3.递推放缩：递推放缩是一种通过递推关系来简化问题的方法。

通过找到问题的递推关系，可以将问题规模进行放缩，从而降低问题的复杂度。

例如，要求证明一些等式成立，可以通过将等式两边代入等式左边或右边的形式，利用递推关系将问题简化。

4.红蓝染色：红蓝染色是一种通过对元素染色来放缩问题的方法。

通过给问题中的元素染色，可以将问题转化为简化的形式，从而解决问题。

例如，在一个n×n的方格中，要求选择一些相互不在同一行、同一列的方格，并使这些方格能够覆盖所有的行和列。

可以将行和列分别染成红色和蓝色，问题转化为在红色和蓝色方格中选择不同行和列的方格并覆盖所有的红色和蓝色方格的问题。

5.数学归纳法：数学归纳法是一种通过递推关系来证明数学性质的方法。

通过对问题进行归纳假设，可以按照递推步骤逐步证明问题的性质。

例如，要证明对于任意正整数n，都有n(n+1)(n+2)能被6整除，可以通过数学归纳法来证明：当n=1时，1×2×3=6能被6整除；假设当n=k时成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除；则当n=k+1时，(k+1)(k+2)(k+3)=(k(k+1)(k+2))+(k+1)(k+2)也能被6整除，即对于任意正整数n都有n(n+1)(n+2)能被6整除。

放缩法技巧全总结放缩法是数学问题解决中常用的一种方法，它通过缩小问题的范围或改变问题的形式来简化解决过程。

在数学建模、优化问题以及算法设计中，放缩法经常被应用于求解复杂的问题。

本文将对放缩法的原理、应用以及常见的技巧进行全面总结。

1. 放缩法的原理及基本思想放缩法的基本思想是通过限制问题的变量范围或者构造合适的上下界，从而将原问题转化为一个可以更容易解决的子问题。

主要包括以下步骤：首先，确定问题的数学模型和目标函数。

根据问题的特点，选择合适的变量和约束条件，明确问题的求解目标。

其次，根据问题的特点，通过观察和分析将问题进行简化。

可以通过限制变量范围、引入新的限制条件或者改变问题的形式等方式进行问题的放缩。

然后，进行放缩求解。

根据问题的特点，选择合适的求解方法和算法来求解放缩后的子问题。

最后，将子问题的解进行扩展和还原，得到原问题的解。

2. 放缩法的应用领域放缩法是一种通用的方法，可以应用于多个领域，如数学建模、优化问题以及算法设计等。

以下列举几个应用场景：2.1 数学建模放缩法在数学建模中经常用于减少问题的复杂性，简化模型的求解过程。

通过放缩变量的范围，可以缩小求解空间，提高求解效率。

2.2 优化问题放缩法在优化问题中的应用非常广泛。

通过引入适当的上下界限制，可以将原问题转化为一个更容易求解的子问题。

例如，在整数规划中，可以通过放缩法来将问题转化为一个线性规划问题，然后使用线性规划算法求解。

2.3 算法设计在算法设计中，放缩法可以用于改进算法的时间复杂度和空间复杂度。

通过限制算法中的某些变量范围，可以减少算法的搜索空间，提高算法的效率。

3. 放缩法的常见技巧3.1 二分搜索二分搜索是放缩法中常用的技巧之一。

通过确定问题的上下界，不断将问题的搜索空间缩小一半，直到找到满足条件的解。

二分搜索可以应用于各种离散问题，如查找有序数组中的元素、搜索图中的路径等。

3.2 引入辅助变量引入辅助变量是放缩法中常用的技巧之一。

解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。

学习札记钻研数学钻研数学5种放缩方法汇总放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.放缩方法众多，各有优劣，黑猫花猫能抓住耗子就是好猫……放缩法大致分为以下几类:.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小Ⅰ;Ⅱ.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;Ⅲ.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;Ⅳ.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:.Ⅰ切线不等式①e x ≥x +1;②ln x ≤x -1;③e x ≥ex ;④ln x ≤e 1x ;⑤ln x ≥1-x1.xyy =x +1y =x -11=y e xy =lnxy =exy =exⅡ.与三角有关的一些不等式①当x ≥0时,sin x ≤x ,cos x ≥1-x 22;2时,cos x ≤1-x 24②当0≤x ≤π③当0<x <;π2时,sin x <x <tan x ;学习札记④当0<x ≤钻研数学钻研数学π2时,sin x x ≥π2.Ⅲ.一些常见不等式(稍微提高)①当x >1时,x 2-x +2121<(x -1)x +1<ln x <x -1x<21 x -x 1;②当0<x <1时,21 x -x 1 <x -12x<ln x <(x -1)x +1<x 2-x +211;1x ③对数平均不等式:∀x 1>x 2>0,x 1x 2<ln 2x x -1-ln x 2x 1<+x 22.Ⅳ.一些不常见的不等式①当x >0时,e x >1+x +21x 2;+②当0<x <1时,ln1x 1-x >2x +32x 3;+ 当-1<x <0时,ln 1x 1-x <2x +32x 3.Ⅴ.偶尔用上的不等式1≤1+n1x .当n >1,n ∈N ∗,x >-1时,则:(1+x )n≥1+nx ,(1+x )n(当且仅当x =0时等号成立.)在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号),e x ≥x +1(当且仅当x =0时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要注意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论.在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于e x ，ln x 有关的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果．典例1.已知函数f (x )=ae x +2x -1(其中常数e =2.71828⋯,是自然对数的底数).ⅰ讨论f (x )的单调性;ⅱ证明:对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .典例剖析指数放缩学习札记钻研数学钻研数学解析：ⅰ求导,得f(x )=ae x+2.当a ≥0时,f (x )>0,f (x )在R 上单调递增;当a <0时,令f (x )=0,得x =ln -a2.2当x ∈ -∞,ln -a 时,f (x )>0,f (x )单调递增;当x ∈ ln - a2,+∞时,f (x )<0,f (x ) 单调递减.综上,当a ≥0时,f (x )在R 上单调递增;2当a <0时,f (x )在 -∞,ln -a上单调递增 ,2,+∞ 上单调递减.在 ln -aⅱ解法1:指对处理技巧exx 型当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,x 2-(2即ae x -x 2+(2-ae )x -1≥0，即1--)x +ae 1ae x≥0,x 2-(2令g (x )=1--)x +ae 1x,ae x (x -1则g (x )=)(+ae -3)ae x,①当a ≥e3时,令g (x )=0,得x =1,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .②当1≤a <e3吋,令g (x )=0,得x =1,或x =3-ae .当x ∈(0,3-ae ),(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(3-ae ,1),g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=1-a1≥0,g (1)=0,故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .解法2:指对处理技巧e xx+主元放缩 当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x -ex -(x -1)2≥0,即证e x x -x a -ax 1+a2-e ≥0，令g (x )=e x x -x a -ax 1+a2-e ,(x -1)-x -ae 则g (x )=x1ax 2,学习札记当a ≥1时,ae x -x -1≥e x -x -1,当且仅当a =1时等号成立,令ℎ(x )=e x-x -1,则ℎ(x )=e x-1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x )单调递增,ℎ(x )>ℎ(0)=0,g (x )=0,则x =1,所以x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )钻研数学钻研数学单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x x -x a -ax 1+a2-e ≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .解法3:直接讨论法当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x -ex -(x -1)2≥0,令g (x )=ae x -x 2+(2-ae )x -1,则g (x )=ae x -2x -(ae -2),因此g (x )=ae x -2在(0,+∞)上单调递增.①当a ≥2时,g (x )>0在(0,+∞)上恒成立,故g (x )单调递增,又g (1)=0,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .当1≤a <2时,令g (x )=0,得x =ln a2∈(0,1).当x ∈ 0,ln a 2,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈ ln a 2,+∞,g (x )>0,g (x )单调递增.2②当e -1≤a <2时,g (0)=a (1-e )+2≤0,又g (1)=0,g ln a2<g (1)=0,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .2③当1≤a <e -1时,则g (0)=a (1-e )+2>0,又g ln a 2<g (1)=0,故存在唯一x 0∈ 0,ln a2,使得ℎ x 0=0,当x ∈ 0,x 0,(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈ x 0,1时,g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=a -1≥0,g (1)=0.故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .学习札记钻研数学钻研数学解法4:主元放缩+指数放缩法当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x-ex -(x -1)2≥0,令g (x )=e x -ex ,则g (x )=e x -e ,令g (x )=0,得x =1.当x ∈(-∞,1),g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x -ex ≥0,当且仅当x =1时等号成立,故a e x -ex ≥e x -ex ,当且仅当a =1,x =1时等号成立;要证a e x -ex -(x -1)2≥0,只需要证e x -ex -(x -1)2≥0.策略一:直接讨论法令ℎ(x )=e x -ex -(x -1)2(x >0),则ℎ (x )=e x -e -2(x -1),ℎ (x )=e x -2,令ℎ (x )=0,得x =ln2.当x ∈(0,ln2)时,ℎ (x )<0,ℎ (x )单调递减;当x ∈(ln2,+∞)时,ℎ (x )>0,ℎ (x )单调递增.又ℎ (0)=3-e >0,ℎ (1)=0,ℎ (ln2)<0,因此存在唯一x 0∈(0,ln2),使得ℎ x 0=0.当x ∈ 0,x 0时,ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增;当x ∈ x 0,1,ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减.又ℎ(0)=0,ℎ(1)=0,故此时ℎ(x )≥0恒成立,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .策略二:指数处理,同解法 1ex 即证1-+(-1)x 2e x ex ≥0,令g (x )=1-+(-1)x 2e x ,(x -1则g (x )=)(+e -3x )e x，令g (x )=0,得x =1,或x =3-e .当x ∈(0,3-e ),(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(3-e ,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=0,g (1)=0,故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .策略三:指对处理,同解法2即证e x x -x -x1+2-e ≥0，令g (x )=e x x -x -x (x -1)-x -e 1+2-e ,则g(x )=x 1 x 2.令ℎ(x )=e x -x -1,则ℎ (x )=e x -1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x )单调递增,从而ℎ(x )>ℎ(0)=0,令g (x )=0,则x =1.当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;学习札记当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )钻研数学钻研数学单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x x -x -x1+2-e ≥0,从而f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .点评：本题的第ⅱ问是一道开放性较强的试题,可以从多角度入手分析.当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即ae x -x 2+(2-ae )x -1≥0,观察此时含有指数项ae x ,也含有二次项,直接讨论至少要求两次导数才便于探究(解法2),结合指对处理技巧,可考虑同时除以ae x ,这样求导后就只需要讨论二次型函数即可.x 2-(2即证g (x )=1--)x +ae 1ae x≥0,求导后是可因式分解的二次函数，且两根易求,分别为x =1与x =3-ae .但对于x =3-ae 是否在区间(0,+∞)内不能确定,因此需要进行讨论.解法1采用的是整理为ex x 型函数,解法2则是整理为e xx 型的函数,解法2采用的是直接讨论.对于解法4,观察到所证不等式中含有e x 与ex ,即可联想到e x ≥ex ,为此将待证式整理成a e x -ex -(x -1)2≥0, 借助e x ≥ex ,只需要证明e x -ex -(x -1)2≥0即可.接下来的证明与前述含参讨论的情形大同小异,可直接讨论,也可采用指对处理.1.已知函数f (x )=e x -x (e 为自然对数的底数)．ⅰ求函数f (x )的最小值；ⅱ若n ∈N *，证明： n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n + n n en <e -1．解析：ⅰ∵f (x )=e x -x ，∴f (x )=e x -1，令f (x )=0，得x =0．∴当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0．∴函数f (x )=e x -x 在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增．∴当x =0时，f (x )有最小值1．ⅱ由(1)知，对任意实数x 均有e x -x ≥1，即1+x ≤e x ．令x =-nk(n ∈N *，k =1，2，n -1)，则0<1-n k ≤e -k n ，∴ 1-nk n≤ e -n k n =e -k (k =1,2,n -1)．典例精练学习札记钻研数学钻研数学即n n -k n ≤e -k(k =1,2,n -1)．∵ n n n =1 ，∴ n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n +n n n ≤e -(n -1)+e -(n -2)+⋯⋅+e -2+e -1+1．∵e -(n -1)+e -(n -2)+⋯+e -2+e -1+1=1-e -n 1-e -1<1-1e-1=e e -1，∴ n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n + n n e n <e -1．典例1.已知函数f (x )=x ln -x1.ⅰ求函数f (x )的单调区间;ⅱ证明:在x >21且x ≠1时,f (x )<x 2+43恒成立.解析：f (x ⅰ)=1ln x -1+x(ln x )2(x >0,且x ≠1),令g (x )=ln x -1+x 1,则g (x )=x 1-x 12=x x -21,当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;故g (x )>g (1)=0,即f (x )>0恒成立,故f (x )在(0,1),(1,+∞)上单调递增.综上,f (x )的单调递增区间为(0,1),(1,+∞),无单调递减区间.ⅱ解法1:放缩法今ℎ(x )=x -1-ln x (x >0),则ℎ (x )=x -x1,当x ∈(0,1),ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减;当x ∈(1,+∞),ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增.故ℎ(x )≥ℎ(1)=0,即x -1≥ln x ,当且仅当x =1时等号成立.因此,当x ∈2 1,1,x -1>ln x ,则x ln -x 1<1,而此时x 2+43>1,所以x ln -x 1<x 2+43;另一方面,x ∈(1,+∞),由(1)可知ln x >1-x 1,对数放缩典例剖析学习札记因此x ln -x 1钻研数学钻研数学<x -1-x 11=x ,而x 2+4故x 2+43-x >0在(1,+∞)恒成立,3>x >x ln -x1成立.3在x >2综上,不等式x ln -x 1<x 2+4解法2:1,且x ≠1时恒成立.等价变形当x ∈ 21,1时, 即证x -2x +431>ln x ;当x ∈(1,+∞),即证x -31<ln x x 2+4;令F (x )=x -3x 2+41-ln x x >21,且x ≠1 ,x 2+则F (x )=43-2x (x -1) x 2+43 2-x 11=-x 4+x 3-22x -43x 9+1632x +4x 2,令G (x )=x 4+x 3-21x 2-43x +169,3则G (x )=4x 3+3x 2-x -4=4x 2 x +4 33- x +4= x +434x 2-1>0,故G (x )单调递增,G (x )>G 2 1=41>0,故F (x )<0,所以F (x )单调递减,而F (1)=0,故当x ∈ 2 1,1时,F (x )>0,即x -2x +431>ln x ;当x ∈(1,+∞)时,F (x )<0,即x -31<ln x x 2+4.综上,不等式x ln -x 1<x 2+43在x >21且x ≠1时成立.典例精练1.已知函数f (x )=a ln x +x 2，其中a ∈R ．ⅰ讨论f (x )的单调性；ⅱ当a =1时，证明：f (x )≤x 2+x -1；ⅲ求证：对任意的n ∈N *且n ≥2，学习札记钻研数学钻研数学都有：2 1+2 2 1+3 1+4 2⋯ 1+n 2<e．(其中e ≈2.7183为自然对数的底数)．解析：ⅰ函数f (x )的定义域为(0,+∞)，f(x )=x a +2x =a +x2x 2，①当a ≥0时，f (x )>0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，-②当a <0时，令f (x )=0，解得x =a 2．-当0<x <a 2时，a +2x 2<0，所以f (x )<0，0,-所以f (x )在a 2上单调递减；-当x >a 2时，a +2x 2>0，所以f (x )>0，-所以f (x )在a 2 ,+∞ 上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；0,-当a <0时，函数f (x )在a 2 上单调递减，-在a 2,+∞ 上单调递增．ⅱ当a =1时，f (x )=ln x +x 2，要证明f (x )≤x 2+x -1，即证ln x ≤x -1，即ln x -x +1≤0．即ln x -x +1≤0．设g (x )=ln x -x +1则g (x )=1-xx，令g ′(x )=0得，x =1．当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0．所以x =1为极大值点，也为最大值点所以g (x )≤g (1)=0，即ln x -x +1≤0．故f (x )≤x 2+x -1．ⅲ证明：由(2)ln x ≤x -1，(当且仅当x =1时等号成立)2，则ln 1+n 1 2<n 12，令x =1+n 1所以ln 1+21 2+ln 1+31 22+⋅⋅⋅+ln 1+n1<212+312+⋅⋅⋅+n 121<1×12+2×3+⋯+n (n 1-1)=11-21+21-31+⋯+n 1-11-n=1-n 1<1=ln e ，2 2 1+31 1+41 22⋯ 1+n 1 1+2即ln 1<ln e ，学习札记钻研数学钻研数学2所以 1+2 2 1+3 1+4 2⋯ 1+n 2<e．典例1. 已知函数f (x )=e x .ⅰ讨论函数g (x )=f (ax )-x -a 的单调性;ⅱ证明:f (x )+ln x +x 3>4x .解析：ⅰg (x )=f (ax )-x -a =e ax -x -a ,g (x )=ae ax -1,①若a ≤0时,g (x )<0,g (x )在R 上单调递减;②若a >0时,当x <-a 当x >-a1ln a 时,g (x )<0,g (x )单调递减;1ln a 时,g (x )>0,g (x )单调递增;综上若a ≤0时,g (x )在R 上单调递减;若a >0时,g (x )在 -∞,-a1ln a 上单调递减 ;在 -a1ln a ,+∞上单调递增;ⅱ证明:要证f (x )+ln x +x 3>4x,只需证x ln x +e x -4x +3>0,由(1)可知当a =1时,e x -x -1≥0,即e x ≥x +1,当x +1>0时,上式两边取以e 为底的对数,可得ln (x +1)≤x (x >-1),用x -1代替x 可得ln x ≤x -1(x >0),又可得ln x 1≤x所以ln x ≥1-x1-1(x >0),1(x >0),所以x ln x +e x -4x +3>x 1-x1+x +1-4x +3=x 2+2x +2-4x=(x +1)2-4x +1≥(2x )2-4x +1=(2x -1)2≥0,指对混合放缩典例剖析学习札记从而不等式f (x )+ln x +钻研数学钻研数学x 3>4x成立. 典例2. 已知函数f (x )=e x -ax 2,g (x )=x ln x -x 2+(e -1)x +1,且曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =bx +1.ⅰ求a ,b 的值;ⅱ求函数f (x )在[0,1]上的最小值;ⅲ证明:当x >0时,g (x )≤f (x ).解析：ⅰa =1,b =e -2.ⅱf (x )min =1;ⅲ即证:e x +(1-e )x -x ln x -1≥0,因为f (0)=1,且曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =(e -2)x +1,故可猜测:当x >0且x ≠1时,f (x )的图象恒在切线y =(e -2)x +1的上方.下面证明:当x >0时,f (x )≥(e -2)x +1.解法1:设φ(x )=f (x )-(e -2)x -1(x >0),则φ (x )=e x -2x -(e -2),令F (x )=φ (x ),F (x )=e x -2,当x ∈(0,ln2)时,F (x )<0,φ (x )单调递减;当x ∈(ln2,+∞)时,F (x )>0,φ (x )单调递增.又φ (0)=3-e >0,φ (1)=0,0<ln2<1,φ (ln2)<0所以,存在x 0∈(0,1),使得φ x 0=0.当x ∈ 0,x 0∪(1,+∞)时,φ (x )>0;当x ∈ x 0,1,φ (x )<0;故φ(x )在 0,x 0上单调递增,在 x 0,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又φ(0)=φ(1)=0,所以φ(x )=e x -x 2-(e -2)x -1≥0,当且仅当x =1 时取等号.e x +(2-e )x -故1x≥x (x >0).由(2)知,e x ≥x +1,故x ≥ln (x +1),所以x -1≥ln x ,当且仅当x =1时取等号.e x +(2-e )x -所以1x≥x ≥ln x +1,e x +(2-e )x -即1x第１１／２０页≥ln x +1.所以e x +(2-e )x -1≥x ln x +x ,即e x +(1-e )x -x ln x -1≥0成立(当x =1时等号成立).学习札记故当x >0时,g (x )≤f (x )钻研数学钻研数学.解法2:要证x ln x -x 2+(e -1)x +1≤e x -x 2,等价于证明x ln x +(e -1)x +1-e x ≤0,又x >0,可转化为证明ln x +e -1+x 1-e xx≤0,令F (x )=ln x +e -1+x 1-e xx ,则F(x )=x 1-x 1e x(2-x -1)x 2(x -1=)1-e x x 2,因为x >0,所以当x ∈(0,1)时,F (x )>0,F (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,F (x )<0,F (x )单调递减;所以F (x )有最大值F (1)=0,故F (x )≤0恒成立,即当x >0时,g (x )≤f (x ).典例精练1.已知函数f (x )=ln x -a 2x 2+ax ．ⅰ试讨论f (x )的单调性；ⅱ若a =1，求证：当x >0时，f (x )<e 2x -x 2-2．解析：f (x )的定义域为(0，+∞)ⅰ，当a =0时，当a >0f (x )=ln x 在(0，+∞)上单调递增；时，f ′(x )=x1-2a 2x +a=-2a 2x 2+ax +1x=-(ax -1)(2ax +1)x，当0<x <a 1时，f ′(x )>0，当x >a1时，f ′(x )<0，所以f (x )在 0，a 1上单调递增，在 a1，+∞上单调递减；f ′(x )=-(ax -1当a <0时，)(2ax +1)x，当0<x <-21a 时，f ′(x )>0，当x >-21a时，f ′(x )<0， 所以f (x )在 0，-21a 上单调递增，在 -21a，+∞上单调递减．ⅱ当a =1时，f (x )=ln x -x 2+x ，要证当x >0时，f (x )<e 2x -x 2-2，只需证ln x <e 2x -x -2．学习札记令g (x )=e 2x -2x -1，则g ′(x )=2e 2x -2=2(e 2x -1)钻研数学钻研数学，当x >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，+∞)上单调递增，所以g (x )>g (0)=0，所以，当x >0时，e 2x >2x +1，所以e 2x -x -2>x -1．令h (x )=x -1-ln x ，x >0，则h ′(x )=1-x1，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以h (x )min =h (1)=0，所以当x >0时，h (x )≥h (1)=0，即当x >0时，x -1≥ln x ，所以，当x >0时，所以，当x >0时，e 2x -x -2>x -1≥ln x ，即ln x <e 2x -x -2，f (x )<e 2x -x 2-2．典例1. 设a >0,且a ≠1,函数f (x )=sin ax -a sin x .ⅰ若f (x )在区间(0,2π)上有唯一极值点x 0, 证明:f x 0<min {2a π,(1-a )π};ⅱ若f (x )在区间(0,2π)没有零点,求a 的取值范围.解析：f (x )=a cos ax -a cos ⅰx=a (cos ax -cos x )=-2a sin a +21x sin a -21x ,若a >1,则f (x )在区间(0,2π)至多有x 1=a 2π+1,x 2=a 4π+1两个变号零点,故0<a <1,令f (x )=0,得x m =a 2m +π1,x n =a 2n +π1,其中m ,n ∈Z ,仅当m =1时,x 1=a 2π+1∈(0,2π),且在x 1的左右两侧,导函数的值由正变负,故当0<a <1时,f (x )在区间(0,2π)有唯一极值点x 0=a 2π+1,此时f x 0=sin ax 0-a sin x 0.解法1:将x 0=a 2π +1代入得f x 0=sin a 2+a π1-a sin a 2π+1三角函数放缩典例剖析学习札记=sina 2+a 钻研数学钻研数学π1+a sin 2π-a 2π+1=(1+a )sin a 2+aπ1,①当a 2+a 1≤21,即0<a ≤31时,2a π≤(1-a )π,由不等式x >0,sin x <x 知:(1+a )sin a 2+a π1<(1+a )a 2+a π1=2a π;②当a 2+a 1>21,即当31<a <1时,(1-a )π<2a π,(1+a )sin a 2+a π1=(1+a )sin π-a 2+a π1=(1+a )sin (1a -+a 1)π,由不等式x >0,sin x <x知:(1+a )sin a 2+a π1<(1+a )(1a -+a 1)π=(1-a )π.由(1)(2)知f x 0<min {2a π,(1-a )π} .解法2:由x 0=a 2π+1⇒ax 0=2π-x 0,a =2π-1x 0,代入得f x 0=sin ax 0-a sin x 0=sin 2π-x 0- x 02π-1sin x 0 ,即f x 0=- 2πsin x 0x 0. 以下用分析法可证:f x 0<min {2a π,(1-a )π}.ⅱ①当a >1时,fa π-a sin a π=-a sin aπ<0,f 3π 2 2=sin 3a π=sin a ⋅a π+a >0,所以f a πf 3π2<0,π,3π由零点存在性定理知,f (x )在区间 a 2至少有一个零点;②当21<a <1时,π<a π<2π,π2<a π<π,π<2a π<2π,f a π=-a sin aπ>0,f (π)=sin a π>0,f (2π)=sin2a π<0,由零点存在定理可知,f (x )在区间(π,2π)至少有一个零点;③当0<a ≤21时,f (x )=a cos ax -a cos x =a (cos ax -cos x ),令g (x )=cos ax -cos x ,则g (x )=-a sin ax +sin x ,在区间(0,π)上,cos ax >cos x ,f (x )>0,f (x )是增函数;在区间(π,2π)上,g (x )<0,即g (x )递减,即f (x )递减,f (x )<f (2π)<0,故f (x )在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减,学习札记又f (0)=0,f (π)=sin a π>0,f (2π)=sin2a π≥0,即在(π,2π)上,f (x )>0.所以f (x )在区间(0,2π)上没有零点,满足题意.综上所述,若f (x )在区间(0,2π)没有零点钻研数学钻研数学,则正数a 的取值范围是 0,21.典例1. 已知函数f (x )=e x -ax -cos x ,其中a ∈R .ⅰ求证:当a ≤-1时,f (x )无极值点;ⅱ若函数g (x )=f (x )+ln (x +1),是否存在a ,使得g (x )在x =0处取得极小值?并说明理由.解析：ⅰ证明:f (x )=e x -a +sin x ,显然e x >0,-1≤sin x ≤1,当a ≤-1时,e x -a +sin x >0-a -1≥0,即f (x )>0,所以函数f (x )在其定义域上为增函数,故f (x )无极值点;1ⅱg (x )=e x -ax -cos x +ln (x +1),g (x )=e x -a +sin x +x +1,显然x =0是g (x )的极小值点的必要条件,为g (0)=2-a =0,即a =2.1此时g (x )=e x +x +1+sin x -2,显然当x ∈ 0,π2时,1g (x )=e x +x +11+sin x -2>1+x +x +1+sin x -2>sin x >0,当x ∈ -4 1,0时,(1+x ) 1-x +3 2x 2=1+x 22(3x +1)>1,1故1+x <1-x +32x 2,2令m (x )= 1+x +x 2e -x ,则m (x )=-x 22e -x ≤0,故m (x )是减函数,故当x <0时,m (x )>m (0)=1,即e x<1+x +x 22,令ℎ(x )=sin x -21x ,则ℎ (x )=cos x -21,当-1<x <0时,ℎ (x )>cos1-21>0,故ℎ(x )在(-1,0)单调递增,故当-1<x <0时,ℎ(x )<ℎ(0)=0,即sin x <21x ,含三角函数的指对放缩典例剖析学习札记钻研数学钻研数学故当x ∈ -41,0时,g (x )=e x +x 1+1+sin x -22≤ 1+x +x 2+ 1-x + 32x 2-2+x2=2x 2+x2<0,因此,当a =2时,x =0是g (x )的极小值点,即充分性也成立.综上,存在a =2,使得g (x )在x =0处取得极小值.点评：本题第(2)问先由必要性探路可知a =2,再证明当a =2时,x =0是函数g (x )的极小值点,即证明其充分性,由此即可得出结论.典例2. 已知函数f (x )=2ln (x +1)+sin x +1,函数g (x )=ax -1-ln x (a ∈R ,且a ≠0).ⅰ讨论函数g (x )的单调性;ⅱ证明:当x ≥0时,f (x )≤3x +1;ⅲ证明:当x >-1时,f (x )< x 2+2x +2e sin x .解析：ⅰg (x )定义域为(0,+∞),g (x )=a -x 1=ax x-1.当a <0时,g (x )<0,则g (x )在(0,+∞)上单调递减;当a >0时,令g (x )>0,得x >a1,即g (x )在 a1,+∞上单调递增;令g (x )<0,得0<x <a 1,得g (x )在 0,a1上单调递减.综上所述,当a <0时,g (x )在(0,+∞)上单调递减;1,+∞上单调递增,在 0,a1上单调递减.当a >0时,g (x )在 a ⅱ解法1:作差法+直接求导2设函数ℎ(x )=f (x )-(3x +1),则ℎ (x )=x +1+cos x -3.2因为x ≥0,所以x +1∈(0,2],cos x ∈[-1,1],则ℎ (x )≤0,从而ℎ(x )在[0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x )=f (x )-(3x -1)≤ℎ(0)=0,即f (x )≤3x +1.解法2:常用不等式+兵分两路当a =1时,g (x )=x -1-ln x ,由(1)知g (x )min =g (1)=0,学习札记钻研数学钻研数学所以ln x ≤x -1,所以2ln (x +1)≤2x .令φ(x )=x -sin x ,则φ(x )=1-cos x ≥0恒成立,又φ(0)=0,所以当x ≥0时,有φ(x )=x -sin x ≥0,即sin x ≤x .所以f (x )=2ln (x +1)+sin x +1≤2x +x +1=3x +1.ⅲ证明:当a =1时,g (x )=x -1-ln x ,由ⅰ知g (x )min =g (1)=0,所以x ≥ln x +1,当x >-1时,(x +1)2>0,(x +1)2e sin x >0,所以(x +1)2e sin x >ln (x +1)2e sin x +1=2ln (x +1)+sin x +1.从而 x 2+2x +2e sin x >(x +1)2e sin x>ln (x +1)2e sin x +1=2ln (x +1)+sin x +1=f (x ),所以f (x )< x 2+2x +2e sin x .典例精练1.已知函数f (x )=x e +xa(a ∈R )在x =0处取得极值.ⅰ求a ,并求f (x )的单调区间;ⅱ证明:当0<m ≤e ,x ∈(1,+∞)时,xe x -2-m (x -1)ln x >0.解析：f (x )=1-e ⅰx x-a,由题意可得,f (0)=1-a =0,故a =1,f (x )=1e +x x ,f (x )=-exx ,由f (x )>0可得x <0,故函数单调递增区间(-∞,0),由f (x )<0可得x >0,故函数单调递减区间(0,+∞),ⅱ证明:由(1)可知f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)单调递减,故f (x )≤f (0)=1,即x e+x1≤1,故e x ≥x +1,所以e x -2≥x -1,当且仅当x =2时取等号,又因为x >0,所以xe x -2≥x (x -1),所以xe x -2-m (x -1)ln x≥x (x -1)-m (x -1)ln x =(x -1)(x -m ln x ),因为x >1,所以ln x >0,因为0<m ≤e ,所以x -m ln x ≥x -e ln x ,令g (x )=x -e ln x ,则g (x )=1-xe,学习札记由g (x )>0可得,x >e ,故g (x )在(e ,+∞)上单调递增,由g(x )<0可得,x <e ,故g (x )在(-∞,e )上单调递减,所以g (x )≥g (e )=0,即x -e ln x ≥0在x =e 处取得等号,所以xe x -2-m (x -1)ln 钻研数学钻研数学x≥(x -1)(x -m ln x )≥(x -1)(x -e ln x )≥0,由于取等条件不同,所以xe x -2-m (x -1)ln x >0.2.已知函数f (x )=ln x -x e.ⅰ若曲线y =f (x )存在一条切线与直线y =ax 垂直,求a 的取值范围.ⅱ证明:f (x )<x 2-ln x -43sin x .解析：f (x )=ⅰx 1-e 1.因为f (x )的定义域为(0,+∞),所以x 1-e 1>-e1.因为曲线y =f (x )存在一条切线与直线y =ax 垂直,所以-a 1>-e1,解得a <0或a >e ,则a 的取值范围为(-∞,0)∪(e ,+∞).ⅱf (x )=x 1-e 1=e xe-x.当x ∈(0,e )时,f (x )>0;当x ∈(e ,+∞)时,f (x )<0.所以f (x )max =f (e )=ln e -ee=0.设函数g (x )=x 2-ln x ,则g(x )=2x -x 1=2x x2-1.2当x ∈ 0,22时,g (x )<0;当x ∈ 2,+∞时,g(x )>0.2所以g (x )min =g 2=21-21ln 21=21+21ln2.因为ln2>ln e =21,g (x )min >43.因为43,43sin x ∈ -4 3,所以x 2-ln x -43sin x >0.又f (x )≤f (x )max =0,所以f (x )<x 2-ln x -43sin x .3.已知函数f (x )=x ln x +32x 2-(a +1)x +b .ⅰ当a =3时,求f (x )的单调区间;ⅱe 为自然对数的底数,若a ∈ e 3-1,3e +1时,f (x )≥0恒成立,学习札记证明:b -2a +6>0钻研数学钻研数学.解析：ⅰ当a =3时,f (x )=x ln x +32x 2-4x +b ,则f (x )=ln x +3x -3在(0,+∞)上单调递增,又f (1)=0,故当x ∈(0,1)时,f (x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,f (x )单调递增.综上,当a =3时,f (x )的单调咸区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞).ⅱ解法1:对f (x )求导,得f (x )=ln x +3x -a ,知f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为a ∈ e 3-1,3e +1 ,故f e 1= e3-1-a <0,f (e )=3e +1-a >0,故存在唯一x 0∈ e1,e ,使得f x 0=0 ,即ln x 0+3x 0-a =0,所以a =ln x 0+3x 0.当x ∈ 0,x 0时,f (x )<0,f (x )单调递减;当x ∈ x 0,+∞时,f (x )>0,f (x ) 单调递增.又f (x )≥0,故f (x )min =f x 0=x 0ln x 0+ 32-(a +1)x 0+b ≥02x 0,即x 0ln x 0+32x 0 2- ln x 0+3x 0+1x 0+b =-32-x 0+b ≥2x 00在x 0∈ e 1,e 上恒成立.令ℎ(x )=-32x 2-x +b ,则ℎ(x )在 e1,e 上单调递减,故只需ℎ(e )=-3故b -2a +6≥32e 2-e +b ≥0,即b ≥32e 2+e -6e -2+6=32e 2+e ,2e 2-5e +4>0,从而得证.解法2:转化为关于x 0的函数所以b ≥32+x 02x 0,则b -2a +6≥32x 0 2+x 0-2 ln x 0+3x 0+6=32-5x 0-2ln x 0+62x 0,令ℎ(x )=32x 2-5x -2ln x +6 e1<x <e ,则ℎ (x )=3x -5-x 2=3x 2-x (3x +5x -2=1)(x -2)x,令ℎ x 0=0,得x =2.学习札记钻研数学钻研数学当x ∈e1,2,ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减 ;当x ∈(2,e )时,ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增.故ℎ(x )min =ℎ(2)=32×4-10-2ln2+6=2(1-ln2)>0,即b -2a +6>0,从而不等式得证.。