如何规避一元二次方程的根的判定错误

根公式解一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要知识点，解一元二次方程的方法有多种，其中根公式是一种较为常用的方法。

根公式是由意大利数学家Cardano在16世纪发现的，经过多年的发展和完善，现在已经成为解一元二次方程的基本方法之一。

根公式的表述是：“对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

”在根公式中，√代表的是开根号，b²-4ac的部分称为判别式。

根据判别式的不同取值，可以判断一元二次方程的解的情况。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有且仅有一个实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

下面我们来通过一个例子来演示如何使用根公式解一元二次方程。

假设我们要求解方程x²-4x+3=0的根。

首先，我们可以根据根公式求出判别式的值为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=4，发现判别式大于0，因此该方程有两个不相等的实根。

接下来，我们可以将根公式套入方程中，得到x=(-(-4)±√4)/2(1)，即x=(4±2)/2。

进一步简化可得到x=3或x=1。

因此，该方程的两个实根分别为3和1。

需要注意的是，当判别式小于0时，方程的解为共轭复根，可以用符号±i来表示。

其中，i表示虚数单位，满足i²=-1。

例如，方程x²+2x+5=0的解为x=(-2±√-16)/2=(-1±2i)。

根公式是解一元二次方程的一种常用方法，但需要注意的是，由于其中涉及到开根号的操作，因此在实际运用中需要注意判别式的正负，避免出现错误的结果。

此外，还可以结合其他方法如配方法、图像法等来解决一元二次方程的问题，以便更好地掌握和应用这一知识点。

学习一元二次方程应注意的几个问题一元二次方程是初中数学的重要内容之一，应用十分广泛。

为了帮助同学们学好这部分内容，现将一元二次方程的考点内容归类分析，谈谈学习一元二次方程时应注意的几个问题。

一、注意隐含条件一元二次方程中除了隐含着二次项系数a≠0 和一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）外，其他相关隐含条件也不能忽视。

例1 关于 x 的方程 a2x2+（2a-1）x+1=0 的两根互为倒数，求 a 的值。

错解：设已知方程的两根为α，β。

∵α与β互为倒数，∴αβ=1，即 1a2=1。

∴ a=±1。

剖析：上述解法中忽视了隐含条件“二次项系数a≠0”和“一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）”，因而答案错误。

正确答案应为 a=-1。

例2 已知关于 x 的方程（ 1-2a）x2+2[]a+1x-1=0有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围。

错解：由 1-2a≠0 得 a≠12。

由=（2[]a+1）2-4（1-2a）（-1）=-4a+8>0，得a<2。

故答案为 a<2 且 a≠12。

剖析：错解中忽略了被开方数非负这个条件，即a+1≥0，解得 a≥-1，所以正确答案为 -1≤a<2 且 a≠12。

二、注意方程“有实数根”和“有两个实数根”的区别方程“有实数根”说明该方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程；方程“有两个实数根”说明该方程一定是一元二次方程。

例3 若关于 x 的方程 ax2-4x+3=0 有实数根，则 a 的非负整数值是（）A 。

1 [WB]B 。

0，1C。

0，1，2[DW]D 。

1，2，3错解：由题意，得a≠0 且=（-4）2-4×3a≥0，解得 a≤43 且 a≠0。

故选 A 。

剖析：此题应分 a=0 和 a≠0 两种情况来考虑。

（1）当 a=0 时， x=43，方程有实根。

（2）当 a≠0 时，由 =（-4）2-4×3a≥0，得 a≤43 且 a≠0。

《一元二次方程根的判别式》知识清单一元二次方程是数学中的重要内容，而根的判别式更是解决一元二次方程相关问题的关键工具。

下面就让我们一起来详细了解一下一元二次方程根的判别式。

一、什么是一元二次方程根的判别式对于一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），其根的判别式用符号“＄＼Delta$”表示，＄＼Delta ＝ b^2 4ac$ 。

二、根的判别式的作用1、判断方程根的个数当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。

当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根。

当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

通过判别式的值，我们可以快速确定方程根的情况，为后续的计算和推理提供重要依据。

2、求方程中字母系数的取值范围在一些题目中，会已知方程根的情况，让我们求方程中字母系数的取值范围。

这时，我们就可以根据根的判别式来列出不等式，从而求解出字母系数的取值范围。

例如，已知方程$x^2 ＋2x ＋k ＝0$有实数根，求$k$的取值范围。

因为方程有实数根，所以$＼Delta ＝2^2 4k ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。

3、证明方程根的性质利用根的判别式可以证明一些关于方程根的性质。

比如证明一个方程一定有两个不相等的实数根，或者证明一个方程没有实数根等。

三、根的判别式的计算在计算根的判别式时，要先将一元二次方程化为一般形式$ax^2 ＋bx ＋ c ＝ 0$（＄a≠0$），然后确定$a$、＄b$、＄c$的值，再代入$＼Delta ＝ b^2 4ac$进行计算。

例如，对于方程$2x^2 3x ＋ 1 ＝ 0$，其中$a ＝ 2$，＄b ＝－3$，＄c ＝ 1$，则$＼Delta ＝（－3)＾2 4×2×1 ＝ 9 8 ＝ 1 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。

四、根的判别式与韦达定理的综合应用韦达定理是一元二次方程中两根之和与两根之积与系数的关系。

一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是例题分析易错点梳理5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2+=可转化为两个一元一次方x616+=，则另一个一元一次方程是（）程，其中一个一元一次方程是x64A．x64+=-+=D．x64 -=-B．x64-=C．x64例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820--=，配方后可形为（）x xA．()2418x-=x-=B．()2414C．()2864x-=x-=D．()241考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220+--=的根的情x mx m况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m，n是一元二次方程220210+-=的两个x x实数根，则代数式22++的值等于（）m m nA．2019 B．2020 C．2021 D．2022考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．±3C ．3D ．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（ ）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 微练习6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（ ）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（ ）A ．2181x x ++=B ．()2181x += C ．()21181x x +++= D ．()()211181x x ++++= 11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（ ）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定 二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________． 16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。