2015步步高高中数学理科文档第三章_3.1导数的概念及运算

高考专题突破一高考中的导数应用问题■Ｉ考点自测快速解答自查自纠1.(2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()A.(—I —1)U(O,1)B.(-1,O)U(1, +oo)C.(—8, -1)U(-1,O)D.(O,1)U(1, +8)答案Afix' 解析因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(￥金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0<x<l时，g(x)> g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当x<-l时，g(x)<g(—l)=0o￥<0o/(x)>0.?A综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.2.若函数^x)=kx~\wc在区间(1, +呵上单调递增，则￡的取值范围是()A.(—8, —2]B.( —8, — 1]C.[2, +8)D.[l, +8)答案D 解析由于.广(x)=?—￡心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—￡三0在(1, + oo)上恒成立.由于&丄,而0<丄<1,所以k2\.X X即k的取值范围为[1, +-).3.函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是()A.O B」 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +-),_ . , 1 6x2—2x+l且./ (x)=6x+~— 2= - ,由于x>0, 中/ = 一20<0,所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a答案1解析 / (X)=3?X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.(1, XI))处的切线方程为j-(a+2)=(l+3a)(x-l).将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a,解得a=l.2 °25. ____________________ 设函数y(x)=e "Ji，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护w誓吟恒成立，则正数k的取值范围是.答案［1, +°)解析因为对任意X］,兀2丘(0, +°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦k k /(X2)min因为g(x)=亍，所以g‘ w=e2_x(l—x).当0<x<l 时，g‘ (x)>0；当x>l 时，g‘ (x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.X/(x)=e2x+丄N2c(x>0).X当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.Ji V所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'又￡>0,所以kM\.题型分类对接高考深度剖析题型一利用导数研究函数性质例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r).⑴讨论/(X)的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/?的定义域为(0, +-), f (x)=g—a?即心X2+2Xx+1(兀+1)2—x+1若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(￡　+oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单调递增，在+?>)上单调递减.(2)由(1)知，当G WO时，./(X)在(0, +8)无最大值；当Q>0时，.几￥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I￡+Q(1—￡)=—lno+a—1.因此层>2a~2等价于\na+a-i<0.令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，g(l)=0.于是，当0GV1 时，g(a)<0；当时，g(a)>0.因此，G的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式f (x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.跟踪训练1已知Q GR,函数f[x)=(—x2+ax)c x (xR, c为自然对数的底数).(1)当。

平行的切线方程分别为
y −1 =
1 ( x − 1), 3

y +1 = 1 ( x + 1) 3
即 x − 3y ± 2 = 0
性质3.3
设 f ( x ) 在点 x0 可导，且 f ' ( x0 ) > 0.
∪ 则存在 x0 的去心邻域 U = ( x0 − δ , x0） （x0 , x0 + δ )， 当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时，f ( x ) < f ( x0 ); 当 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时，f ( x ) > f ( x0 ).
所以函数 y = f ( x) 在点 x 连续 .
y= x
y
注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: y = x 在 x = 0 处连续 ,但不可导.
o
x
导数的几何意义 曲线 y = f ( x)在点 ( x0 , y0 ) 的切线斜率为 tan α = f ′( x0 ) 切线方程: y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ) 经过曲线的切点，垂直于切线的直线称在该点的法线。 1 ( x − x0 ) ( f ′( x0 ) ≠ 0 ) 法线方程: y − y0 = − ′ f ( x0 )
y
y = f (x)
C
M
y
T
M
o
α
x0
x
o
x0
α x
例 求曲线 y = x 在点 ( 4, 2) 处的切线与法线方程
1 , 在点 ( 4, 2) 处切线的斜率为 y' | x =4 = 解: y' = 2 x 4 1 则切线方程为 y − 2 = ( x − 4), 4 即 x − 4 y + 4 = 0.

∴所求切线有两条,方程分别为
y-1=2(x-1)或y-5=10(x-25),
即y=2x-1或y=10x-245.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别,在点P处的切 线,点P必为切点;求过点P的切线,点P未必是切点,点P也不一定在 已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体 会.若点P在曲线上,要分点P是切点和不是切点两种情况解决.
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
பைடு நூலகம்
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对 应着一个确定的导数f'(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成 了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f'(x).
(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0处的 函数值,即f'(x0)=f'(x)|������=������0 .
化率������(������0+Δ������)-������(������0)趋近于一个常数
������
l,则数
l
称为函数
f(x)在点
x0
的瞬
时变化率.用趋近于符号“→”记作当 Δx→0 时,������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)→l.这时,

§3.1 导数的概念及运算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝__0__ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．(理)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( × ) (6)(理)函数y ＝x 3的导数是y ′＝3x 2.( × )2．(2013·某某)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.3．(2013·某某模拟)已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3 答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案 D解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．(理)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案1 3解析y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(23，2 3)，所以三角形的面积S＝12×1×23＝13.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx. (1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝0. (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)(理)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)(理)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)(理)y ＝sin 2(2x ＋π3)＝12－12cos(4x ＋23π) 故设y ＝12－12cos uu ＝4x ＋23π，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin(4x ＋23π)．(4)(理)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)(理)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；(3)(理)y ＝ln(x 2＋1)．解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)(理)y ′＝ln(x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝2xx 2＋1.题型三 导数的几何意义例3已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x －3相切，某某数a、b、c的值．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在点Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵点P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值． 审题路线图C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规X 解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防X1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(理)复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2. 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x3； (3)y ＝sin x xn ； (4)(理)y ＝log a sin x (a >0且a ≠1)．解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x3)′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)y ′＝(sin x x n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin x x n ＋1. (4)(理)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 2．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图象是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ， 由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b 2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。