复合函数的定义域1

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. 求复合的定义域、值域、解析式（集锦）

一、 基本类型：

1、 求下列函数的定义域。

（1）12)(xxxf （2）xxxxf0)1()(

（3） 111xy （4）3()28xxfx

二、复合函数的定义域

1、 若函数y＝f (x)的定义域是[－2, 4], 求函数g(x)＝f

(x)＋f (1－x)的定义域

2（江西卷3）若函数()yfx的定义域是[0,2]，求函数(2)()1fxgxx的定义域

2、 函数y＝f (2x＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y＝f (x)的定义域

3、 函数f (2x－1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x)的定义域是

求函数的值域

一、二次函数法

（1）求二次函数232yxx的值域

（2）求函数225,[1,2]yxxx的值域.

二、换元法：

（1） 求函数41yxx；的值域

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. 分分式法

求21xxy的值域。

解：（反解x法）

四、判别式法

（1）求函数22221xxyxx；的值域

2）已知函数21axbyx的值域为[－1，4]，求常数ba,的值。

五：有界性法：

（1）求函数1e1eyxx的值域

六、数形结合法---扩展到n个相加

（1）|1||4|yxx（中间为减号的情况？）

求解析式

换元法

已知(1)23,fxx 求 f(x).

解方程组法

设函数f（x）满足f（x）+2 f（x1）= x （x≠0），求f（x）函数解析式.

一变：若()fx是定义在R上的函数，(0)1f，并且对于任意实数,xy，总有2()()(21),fxfxyxyy求()fx。

令x=0，y=2x

待定系数法

设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). .

. 课堂练习：

1 求复合函数的定义域

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、例题剖析：

(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域

思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为fgx()的定义域。

例1. 设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。

解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx

解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）

例2. 若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由fxx()11，知x1

即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用

所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应满足xfx11()

即xx1111，解得xx12且

故函数ffx()的定义域为xRxx|12且

（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域

思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。

例3. 已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。

解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，

所以f的作用范围为15，，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，

高考数学知识点之复合函数

在学习过程中，专门多同学在遇到如此的问题时容易犯错误：

例 f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域

答案怎么说是[1,2]依旧[3,4]呢?专门多同学会在那个问题上犹豫。有些时候一些小问题弄不明白事实上反映的是知识体系上的一个大缺漏。在那个问题上犹豫说明同学对复合函数的定义还并没有明白得透彻，因此顺着如此一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。

一、复合函数的概念

从映射的角度来说，复合函数f(g(x))确实是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行运算得到的结果。

实际显现的比较容易让人混淆的复合函数，其特点要紧是f()括号内部类似x，却不是x。例如f(-x)、f(x+1)等，事实上差不多上复合函数。请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。

二、复合函数的定义域

第一我们必须明确定义域那个概念指的是什么。在那个地点，专门多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范畴这两个概念。定义域指的是自变量能够取值的范畴。而使对应关系f有意义的范畴则代表f()那个括号里头能够代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。例如f(x)=1/x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范畴与之相同。然而关于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量能够取值的范畴，而自变量x=-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范畴依旧是(-∞,0)∪(0,+∞)。

区分清晰这两点之后，我们便能够解决本文开头的问题。题目所给对应关系f有意义的范畴是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，因此解得x∈[1,2]。 一样地，复合函数f(g(x))定义域的求法应遵循如下两条步骤：

一、复合函数的概念

如果y是u的函数的函数，，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。间变量。间变量。 注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。层。 另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = 

u2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。。 二、求复合函数的定义域： （1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义的定义域为域为[ 0 ， 1 ]，求，求f ( 2x + 1 )的定义域。的定义域。