用定积分求椭球体的体积

第六章 定积分的应用

§6-1 微元法

用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.

若某量在[a，b]上的变化率f(x)，求它在[a，b]上的总累积量S：

因为分割区间、取i都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：

在微段[x，x+x]上，S累积的微量S，代之以微分dS=f(x)dx，(dx=x)，则还可简化成：

再简化一下，则变成：

用以上所表示的形式，来解决求累积总量的方法，称为微元法，dS称为微元．

以求曲边梯形面积A问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x，x+dx]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA=f(x)dx，所以A=badxxf

)(．

§6－2定积分在几何中的应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积

(1)X－型与Y－型平面图形的面积

把由直线x=a，x=b(a

化整为微

[a,b]=niiixx11],[

xi=xi-xi-1 微量近似

Sif(i)xi

i[xi-1,xi] 积微为整

Sniiixf1)( 极限求精

S=0||||limxniiixf1)(

=badxxf

)(

分割区间,任取

一微段[x,x+x] 在微段[x,x+x]

中微量近似

Sf()x 近似累积总量

Sxf)( 实际累积总量

S=badxxf

)(

在[a,b]上任取

一微段[x,x+dx] 在微段[x,x+dx]上 S的累积微量 dS=f(x)dx 累积总量 S=badxxf

)(

若在[a,b]的微段[x,x+dx]上，

S累积的微量是dS=f(x)dx S=badxxf

)(

x y

O x x+dx S y=f(x)

单元7： 企业定价策略分析

常用软件课程设计

4.2定积分的简单应用(二)

复习：

（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？

（2） 定积分的几何意义是什么？

（3） 微积分基本定理是什么？

引入：

我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

1. 简单几何体的体积计算

问题：设由连续曲线()yfx和直线xa，xb及x轴围成的平面图形（如图甲）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，如何求V？

分析：

在区间[,]ab内插入1n个分点，使0121nnaxxxxxb，把曲线()yfx（axb）分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示。设第i个“小长条”的宽是1iiixxx，1,2,,in。这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是ix的小圆片，如图乙所示。当ix很小时，第i个小圆片近似于底面半径为()iiyfx的小圆柱。因此，第i个小圆台的体积iV近似为2()iiiVfxx

该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：

2221122[()()()]nnVfxxfxxfxx

这个问题就是积分问题，则有： 单元7： 企业定价策略分析

常用软件课程设计 22()()bbaaVfxdxfxdx

归纳：

设旋转体是由连续曲线()yfx和直线xa，xb及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()baVfxdx

2. 利用定积分求旋转体的体积

（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数

（2） 分清端点

（3） 确定几何体的构造

（4） 利用定积分进行体积计算

3. 一个以y轴为中心轴的旋转体的体积

若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为2()baVgydy

定积分在几何上的应用2——求立体的体积

有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是

(1)平行截面面积已知的立体

选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，由此得到立体体积

⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．

(2)旋转体．

由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为

因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．

解 取z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－c≤z≤c，椭球与在z处垂

所求椭球的体积为

例8 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．

解 取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建立坐标系如图1．

被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为

其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．

例9 设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此楔形的体积．

解 取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x

所求楔形体积为

例10 求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．

解 摆线在0≤t≤2π上有

0≤x≤2πa，y≥0．

且dx＝a(1－cost)dt．

故由旋转体体积公式得

例12 求由曲线y＝2x－x2和y＝0分别绕x轴和y轴旋转所成曲面包围的体积．

第六章 定积分的应用

定积分是求某种总量的一种数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等多方面

都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 因此，我们在学习的过程中，不仅要掌握计算某

些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和分析方法

——元素法，不断积累和提高数学的应用能力.本章中我们将应用上一章学过的定积分理论

来分析和解决一些几何、物理中的问题。

第一节 定积分的元素法

复习引入：前一章讨论过的曲边梯形的面积问题，步骤是：（1）分割（2）近似代替（3）

求和（4）求极限。

分析：主要是第二步，应用上为简便起见,省略下标i，用A

表示任一小区间[x，x+dx]

上的窄曲边梯形的面积,A=∑A

.A

≈f(x)dx，记面积元素为dA=f(x)dx，于是A≈∑f(x)dx ,

则

A=lim∑f(x)dx=b

adxxf)(

.

一般地，如果某一实际问题中的所求量U

符合下列条件：

(1) U

是与一个变量的变化区间有关的量；

（2）所求总量U

关于区间],[ba

应具有可加性，即如果把区间],[ba

分成许多部分区间,

则U

相应地分成许多部分量, 而U

等于所有部分量U之和. 这一要求是由定积分概念本

身所决定的;

（3）部分量U的近似值可表示为)(

if

ix

.

将所求量U

（总量）表示为定积分的方法通常叫做元素法，这个方法的主要步骤如下：

（1） 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x

为积分变量，并确

定它的变化区间],[ba

，任取],[ba

的一个区间微元],[dxxx

，求出相应于这个区间微元上

部分量U

的近似值，即求出所求总量U

的微元（元素）

dxxfdU)(

；

(2) 由微元写出积分 根据dxxfdU)(

写出表示总量U

的定积分



b

ab

adxxfdUU)(

.

注意：

使用元素法的关键是正确给出部分量

U的近似表达式

dxxf)(，即使得

UdUdxxf)(. 在通常情况下，要检验