高中数学人教A版选修2-2 第一章1.3.1函数的单调性与导
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1.3.1函数的单调性与导数
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：
教学环节 师生活动 设计意图
一、回顾与思考
提
问
1．判断函数的单调性有哪些方法？
（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2．比如，要判断 y=x2+1的单调性，如
何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）
3．还有没有其它方法？如果遇到函数：
y=x3－x判断单调性呢？（让学生短时
间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）
4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的导数法。
以问题形式复习相关旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
二、观察与表述
（探索函数的单调性和导数的关系） 问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
函数及图象 单
调
性 切线
斜率
k的
正负 导数
的正
负
1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。
2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它y y = x2
o x
y y = f(x)
y y = f(x) a b
a b o x
x o
问：有何发现？（学生回答）
问：这个结果是否具有一般性呢？
我们来考察两个一般性的例子：
（教师指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）
问：能否得出什么规律？
让学生归纳总结，教师简单板书：
在某个区间(a，b)内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
教师说明：
要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。
必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。
4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。
基础训练
1．函数y=2x+3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。函数y=2x+3在R上为______函数(填“增”或“减”)。（学生口答）
2．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为______函数，在[1,2]上为______函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 为加强学生对结论的理解与记忆，设计了两个基础训练题。由于思维定势，学生可能仍用以前的方法，这里教师要引导学生用导数法求解。
三、知
识
应
用
1．
应
用
导
数
求
函
数
的
单
调
区
间
理
解训练
例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。
（引导学生得出解题思路：求导 →
令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）
变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。
（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）
求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：
设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
巩
固提高
变式2：求函数y=3ex －3x单调区间。
（学生上黑板解答）
变式3：求函数2yxx的单调区间。 设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。
设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性
例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领
会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。
学生
小
结 1、什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？
2、试总结用 “导数法” 求单调区间的步骤？（教师强调第一步应求定义域）
通过这一总结，让学生明确导数法求单调区间的适用类型及解题步骤。
强化训练
1、函数y=xcosx－sinx在下列哪个区间内
是增函数( B )
3.(,).(,2)2235.(,).(2,3)22ABCD
选用了此高考题可以进一步加强学生对用“导数法”求单调区间的掌握。同时由于此题难度不太大，对基础中下的学生可起到激发信心的作用。
2．
应
用
导
数
例师：利用导数的正负可以判断函数的增减性，求函数的单调区间，同样，利用导数的正负还可以绘制函数的大致图象。
例2．已知导函数的下列信息：
当2 当x>3或x<2时，f ' (x)>0； 当x=3或x=2时，f ' (x)=0。 试画出函数 f ( x )图象的大致形状。 （分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案进行投影分析。） 1．本题有一定的抽象性，是本节的难点，这正是将课本两个例题调换顺序讲解的原因。 2．本题是一道开放性的题目，学生的答案也许是“百花齐放”，图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线。教师就学生中主要出现的两类答案进行投影分析，提出“折点”问题， 解决办法： 信 息 确 定 函 数 大 致 图 象 题讲解 问：两图有何异同？ (引导学生得出：) 相同：都满足在(2,3)上递减，在(－∞,2)和(3,+∞)上递增；主要不同：在A、B处即在x=2和x=3处，左图是平滑的，右图是折点。 追问：是否都行呢？ 师分析：由于在A、B两点处f ' (x)=0，根据前面的学习，我们知道，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而右图在这两处升降变化很大，因此，右图不正确。 师：这里A,B两点比较特殊，书上称之为“临界点”，关于“临界点”更深入的知识，我们下节课再讨论。 让学生回顾前面讲过的（如：教材P84例2）导数为零的点附近图象几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，对于基础不是特别好的班级，课堂上也只能这样点到为止。 新课程的学习提出“学会看图是21世纪成年人必须具备的能力。”本课就是个机会，通过此题进一步培养学生看图及数形结合的能力。 2 3 o y x y = f(x) 2 3 o y x y = f(x)
