初中数学课堂中变式教学的应用研究

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变式教学在初中数学教学中的应用探究

作者：吴继琴

来源：《考试周刊》2013年第21期

长期以来，机械训练、被动接受的教学方式禁锢了学生思维，抑制了学生创新能力的发展。部分教师为了提高所谓的教学效率，人为地割裂了知识之间的联系，问题设计缺乏梯度，忽视了学生学习基础和生活实际，呈现的问题难度过大，超出了学生的能力范围，让学生难以解决。

美国教育家布鲁纳指出：“学生不是被动的知识接受者，而是知识的信息加工者。”教师要为学生提供“脚手架”，实施变式教学，设计有梯度的问题，将知识分割成若干阶梯，将一个问题化解为难度递增的若干个小问题，符合学生的“最近发展区”，让学生“跳一跳”就能“够得着”，有助于学生开启思维，将思维逐步引向深入。变式教学，就是不断地变换已有问题的条件、结论、形式，让学生透过现象看到本质，在变化、联系中寻求规律，掌握解题技巧。

一、问题变式

1.类比变式。在数学教学中，我们会发现许多概念、定理都有类似的特性，如分式与分数、相似与全等、平面直角坐标系与数轴、分式方程与一元一次方程、矩形与平行四边形，仅靠教师讲解学生往往无法理解知识的内涵，而通过类比变式教学，往往会收到意想不到的教学效果。如在“图形的相似”教学中，教师创设情境如下：“若两个图形形状相同、大小相等，则这两个图形有什么关系？是相等。本节课我们来研究图形之间的另一种关系——相似，它和全等有何区别与联系呢？请同学们观察一组图形，看看它们有什么特征？”类比变式，有利于学生联系所学知识构建知识网络，养成反思问题的习惯，从而抓住概念的本质，探索数学问题的内涵和外延。

2.阶梯变式。我们对事物的认识都经历由浅入深、由局部到整体、由现象特殊到一般的过程，数学知识的学习也不例外，由整数到分数、由三角形到多边形、由正比例函数到一次函数都是遵循从特殊到一般的思想。如在二次函数y=a（x-h）+k的图像教学中，教师让学生画出y=-x、y=-x+1与y=-（x-1）+1的图像，提出问题：

２０１１年７月８日　懿课例交流　箱上刷油漆，刷油漆的面积是多少”的（就是算上、下、前、左、右５　个面并且去掉投信口的面积）；有问“放在地上并背面贴在墙上，　刷油漆的面积是多少”的（就是算上、前、左、右４个面并且去掉投　信口的面积）；有问“放在角落的地上，刷油漆的面积是多少”的　（就是算上、前、左３个面并且去掉投信口的面积）……学生的想　法层出不穷，其实这些问题也是我们教师所要归纳的，只是现在　教师完全放手，让学生自己提出问题，通过小组合作的方式来解　决问题，并用“当回小老师”的方式来交流问题，每位学生的思维　和表达能力都得到了锻炼。在此过程中课堂气氛非常的活跃，教　师在一旁观察着每位学生的表现，我们可以发现学生的设想其实　是丰富多彩的，即使学生的话有一点点小瑕疵，其他学生也能理　解他的意思，所以课堂上我们应该相信我们的学生，让他们来主　宰我们的课堂，他们能让我们的课堂更加精彩。　通过这次“生本”教学，虽然学生的表达不是很流利，语言表　达不是很到位，但是学生愿意听，学生很有自己的想法，在同学们　面前学生敢于提问，敢于表达自己的想法。我在思考，我们的课堂　真的应该放手，把课堂真正地交给学生，只有学生能说出学生听　得懂的话，老师的反复强调不如学生的结结巴巴，老师想得再好，　那也是老师的想法，学生讲得再不好，那也是学生的心声，我们应　该尊重学生。　总之，要想提高课堂教学质量必须不断在教学中贯彻生本教　育理念，切实转换教师的教学方式，顺应学生学习方式的变革，倡　导自主学习、探究学习、合作学习的全新的学习方式，使课前研究　更有效，把数学与生活融为一体，让我们的学生真正成为课堂的　主人。我将继续践行生本理念，追寻充盈智慧和灵气的数学课堂，　使学生的数学学习充满激情和多彩！　（作者单位江苏省太仓市科教新城南郊小学）　变式教学在初中数学中的运用与思考　文，严昌宝　变式教学是指引导学生在解答某些数学题后，对题目条件和　结论作进一步探索，以寻求更多解决方法，或从不同侧面深入思　考数学题各种变化，并对这些变式题进行解答，从而培养学生灵　活、深刻、广阔发散的数学思维能力。教材中例题习题都具有典型　性与深刻性，充分利用课本例题、习题、中考题，揭示其深刻性，并　对其进行适当剖析研究演变，以旧问题解决来激活新问题诞生。　使老师与学生通过问题表象看到问题本质，并作进一步思考，达　到触类旁通的效果，这样不仅可以减轻学生作业负担，达到以少　胜多的教学和学习目的，更重要的是可以激活学生强烈的求知欲　和学习积极性，从而进一步培养学生思维的灵活性、深刻性和创　造性。下面从四方面谈变式教学在数学中的运用与思考。　一、概念变式教学——提高学生思维深刻性　概念是思维细胞，是浓缩的知识点。有些学生在学习过程中　认为只要记住定义定理或公式就可以了，一到运用时就会产生错　误，究其原因是学生没有真正掌握概念的本质，没有理解概念内　涵和外延。教师在概念教学中要运用事例、图形、教具等直观教学　帮助学生掌握概念本质，经过讨论分析讲解，理解概念内涵和外　延，再通过运用和变式训练，培养学生的思维品质。数学思维深刻　性表现在学生能全面深入钻研与思考问题，运用逻辑思维方法。　善于从复杂事物中寻找规律，把握本质，做到思维深刻，在概念教　学中要分清一些容易混淆的概念。　如，苏教版七年级３．４节合并同类项中，在同类项的概念教　学中可设计如下变式练习：若下列每组都是同类项，请在括号内　填上合适的数或字母。　（１）３　和８　’　（２）　和　（３）　和蹦　（４）３　和５（　’（ｙ　让学生在变式解答探索中，掌握同类项概念的本质，避免学　生只对概念背诵而不理解概念含义，从而促进学生认知结构内化　过程。　又如：苏教版八年级学习等腰梯形概念后，进行变式提问：　（１）有一组对边平行的四边形是梯形吗？（２）一组对边平行加一组　对边相等的四边形是等腰梯形吗？在概念形成后，教师不应急于　让学生运用概念解决问题，而是引导学生对概念作进一步探讨，　通过反例变式进行反面刺激，克服学生思维表面化，培养学生考　虑问题的全面性，使学生更加明确地掌握和理解“梯形　‘等腰梯　形”的概念。在教学过程中，对每一个数学概念，不管教材是如何　呈现，教师都应有意识变换不同呈现方式加以强化，使学生对每　一个概念既要会用文字表达，也要会用图形、数学表达式等其他　形式直观表达，从而达到对概念本质特征的深刻理解，提高学生　思维的深刻性，培养数学思维广阔性。　二、例题变式教学——学生自主探究，教师适当调控。体现例　题的模仿性与针对性　例题是把知识、技能、思想和方法联系起来的纽带，例题变式　教学是培养学生思维能力的重要途径。在例题教学过程中，教师　可把课本上的例题加以适当变式，学生可从多角度、多层面、多结　论等方面去认识知识，使学生思维活动的质量得到提高，对例题　的理解真正达到融会贯通，从而获得广泛的数学活动经验。　如，苏教版八年级教材中，学习一次函数后，求一次函数的解　析式的例题。　例题：已知一个一次函数，当自变量ｘ＝３时，函数值ｙ＝６；当自　变量ｘ＝５时，函数值ｙ＝８，求这个函数的解析式．　变式１：已知一个一次函数，其图像经过点（３，６）和（５，８），求　这个函数的解析式．　变式２：已知一个一次函数，图像经过点（２，一１），且图像平行　口圈

教苑新秀　２０１２年６月　

中，对概念的掌握是重点，数学知识的建构都以概念为基础．因　此，在课堂教学中加强学生对概念的深化理解将有效地提高学　生解决数学问题的能力．概念深化变式注重引导学生探究概念　的等价形式或变式含义，同时对等价形式及变式含义的应用进　行探究，从而加强对概念的理解．　如在一次函数的教学中，在通过对一次函数的定义（　＝　＋　ｂ，ｋ≠０，且ｋ、６为常数）进行学习后，为让学生充分理解定义中自　变量　，系数ｋ、ｂ的含义，教师引导学生进行如下分类探究：　（１）如果设ｂ＝Ｏ，定义中其他数量不变，函数还是一次函数　吗？如果不是，那是什么函数？　（２）如果ｋ＝Ｏ，定义中其他数量不变，函数还是一次函数吗？　如果不是，那是什么函数？　（３）如果ｋ＝Ｏ，ｂ＝Ｏ，定义中其他数量不变又将是什么函数？　（４）在定义中，　的指数是多少？如果把指数变为２，它又是什　么函数？　通过分类探讨，学生对一次函数有了更清晰的认识，对其中　愚蠢　十・？毒ｉ：－？初中版　教学中，教师可为学生提供多种定理的证　－－　明方法，让学生在思考的基础上去学习他人的证明方法．如“勾　股定理”的证明．定理为在直角三角形中，两条直角边的平方和　等于斜边的平方．已知：直角三角形的两直角边的长分别是ｏ、ｂ，　斜边长为ｃ．求证　＋６ｚ＝：ｃ　６　图１　图２　证明：如图１９，边长为ａ，６的两个正方形连在一起，Ｓ＝　＋　６　图２可由四个全等直角三角形和一个小正方形组成．若把其中　的两个三角形移到图２中，就会得到一个边长为ｃ的正方形，面积　为ｃ　，由此可得到　６　：：ｃ　上述证明方法即我国古代赵爽的证明　方法．

　２０１２年６月　教苑新秀　此外教师也可给学生介绍邹元治证明、美国总统Ｇａｒｆｉｅｌｄ证　明、梅文鼎证明、项明达证明、欧几里得证明等多种证明方法，　让学生在多种证明方法中找到共性，从而获得对“勾股定理”　的理解．　三、数学语言变式教学策略　数学教学是引导学生利用数学语言来描述生活的过程，数　学语言变式是实现概念、命题等文字、图形、符号之间的相互转　化，从而培养学生理解能力的变式教学．在初中数学教学中，教　师一方面根据文字语言来进行图形语言描述，再转化为符号语　言，要将三种语言结合起来，让学生在转化中掌握共性．如平行　线性质的定理：　文字语言描述为：两条直线平行（教师边描述边画两条直线　或幻灯片展示），内错角相等（教师要指着相应的内错角来说　明）；　图形语言描述：如图３；　符号语言描述为：　因为Ａ日／／ＣＤ，所以／＿＿ＡＥＦ＝　Ｃ　ＥＦＤ．　图３　另一方面，教师要引导学生　在做题、练习、课堂讨论中学会不同数学语言之问的转化，如一个　同学以文字语言进行描述，另一个同学进行图形符号语言描述　四、问题解决变式教学策略　问题解决变式教学是数学变式教学中最复杂的，其中包含　的不仅有代数知识，更有几何知识，而且方式多变，随着条件的　改变，变式的形式变化也多样．但从另一个角度来说，这种变化　更有利于对学生解决问题能力的培养．在初中数学中常见的问　题解决变式主要为一题多解（证）变式、一题多变变式、多题～解　（一法多用）变式、一题多用变式四大类．　以一题多用为例，如已知　＝３　，求　．在初中阶段，只要求能　化同底并且合并化简后是二项的指数方程．解题时，两项分居等　号两边，如果它们同号，则取两边的指数相等，解之便得到　＝昙．　化底时，宜取质数的一次幂为底，或其他尽可能小的数为底．这　题的解法可以用于多道同类型的题．　变式一：（　・（　）　＝百４，求　．　变式二：２　＋３＝０，求　．　应该说，在初中数学教学中进行变式教学是大有必要的，特　别是在社会发展中对学生能力要求不断加强的情况下，以变式　来提高学生的能力，对促进其终身发展意义重大．●　（上接第３９页）　由尸（８，ｍ）、Ｄ４（ｍ一６，一２），可得ＰＤ４中点Ｄ５（０．５ｍ＋ｌ，０．５ｍ一１）．　由Ａ（０，６）、Ｄ　（０．５ｍ＋ｌ，０．５ｍ—１），可得　ｈａ关于点Ｄ　的对称　点Ｄ６（ｍ＋２，ｍ一８）．　Ａ（０　图９　图ｌＯ　（３）设Ｄ１（６一ｍ，１４）在直线Ｙ。＝２ｘ＋６ＪＴ＿，￣１４＝１２—２ｍ＋６，２ｍ＝４，　ｍ＝２．此时Ｏ≤ｍ≤６，Ｄ。（４，１４）符合题意要求．　设Ｄ　（６一ｍ，１４）在直线Ｙ　＝２ｘ一６上，则１４＝１２—２ｍ一６，２ｍ＝一８，　ｍ＝４此时ｍ＜０，不符题意要求，舍去．　设Ｄ２（７－０．５ｍ，７＋０．５ｍ）在直线Ｙｌ＝　＋６上，则７＋０．５ｍ＝１４一ｍ＋　６，１．５ｍ＝１３，ｍ：　．１ｌｔｌｔ￣ｍ＞６，不符题意要求，舍去．　设，Ｊ２（７—０．５ｍ，７＋０．５ｍ）在直线Ｙ　＝２ｘ一６上，则７＋０．５ｍ＝１４一ｍ一　６＇１．５ｍ＝１，ｍ＝＿＿２．此时０≤ｍ≤６，Ｄ２（　，　）符合题意要求．　设Ｄ］（１４一ｍ，８＋ｍ）在直线ＹＩ＝２ｘ＋６）Ｚ，￣８＋ｍ＝２８—２ｍ＋６，３ｍ＝　２６，ｍ：　．此时ｍ＞６，不符题意要求，舍去．　设　（１４一ｍ，８＋ｍ）在直线Ｙ】＝２ｘ一６上，￣８＋ｍ＝２８—２ｍ一６，３ｍ＝　１４，ｍ＝　．此时０≤ｍ≤６，Ｄ　ｆ　，萼）符合题意要求．　因为Ｄ　（ｍ一６，一２）的纵坐标小于０，不可能在第一象限，所以　Ｄ　不符合题意要求，舍去．　设Ｄ５（０．５ｍ＋１，０．５ｍ一１）在直线ＹＩ＝２ｘ＋６上，则０．５ｍ一１＝ｍ＋２＋６，　一０．５ｍ＝９，ｍ一１８．此时ｍ＜０，不符题意要求，舍去．　设Ｄ５（０．５ｍ＋１，０．５ｍ一１）在直线Ｙｌ＝２ｘ一６上，，￣１．１０．５ｍ—ｌ＝ｍ＋２—６，　一０．５ｍ＝一３，ｍ＝６．此时０≤ｍ≤６，Ｄ　（４，２）符合题意要求．　设Ｄ６（ｍ＋２，ｍ一８）在直线　＝２ｘ＋６上，则ｍ一８＝２ｍ＋４＋６，—ｍ＝　１８，ｍ＝一１８．此时ｍ＜０，不符题意要求，舍去．　设Ｄ　（ｍ＋２，／ｎ一８）在直线Ｙ　＝２ｘ一６上，则ｍ一８＝２ｍ＋４—６，一ｍ＝６，　ｍ一６此时ｍ＜Ｏ，不符题意要求，舍去．　综上所述，符合题意要求的Ｄ点共有４个，其坐标分别为（４，　４　、（　，　）、（　，莩）、ｃ４，２　．　五、结束语　坐标法是数学中一种重要的方法，坐标法的实质是借助于　点的坐标，运用解析工具将几何图形的位置关系转化为坐标关　系，进而再转化为数量关系．坐标法为我们解决中考压轴题开辟　了一条新的蹊径，必将受到中考试题研究者越来越多的关注．　■　初中版中　擞’７鹚圈暖黧＿

理论研究　新课改下初中数学变式教学探究　文偶毓　摘要：在新课改下，初中数学课堂教学从知识学科本位逐渐过渡到以学生为主的技能教学中。在这一背景下，变式教学在初中数　学中的应用逐渐广泛。因变式教学摆脱了以单纯的知识传授为主的模式，注重以变式来训练学生的问题能力，对提高学生的数学应用　能力具有积极意义。　关键词：初中数学；课堂教学；变式教学　变式教学是在教学中有目的、有计划地对教学内容从不同角　度、不同层面进行整合，从而突出其本质特征，通过多种方式来引　导学生进行学习，从而达到对本质特点认识、理解和应用的目的。　变式教学一改传统单一的教学方式，通过多种方法来呈现知识，让　学生能多角度进行理解，对学生迁移能力、发散能力和实践能力的　培养都具有积极意义。　一、变式教学在概念教学中的应用　在数学学习过程中，概念是基础。很多学生之所以发生解题错　误的原因，就是因为没有正确掌握概念。在概念教学中，教师不仅　需要引导学生掌握概念的本质内涵，还要让学生在此基础上能正　确理解并应用概念来分析和解决问题。因此，在概念教学中，通过　前后知识的对比或是情境的创设，能变抽象为直观，化被动为主　动，让学生更好地掌握概念并应用概念。　案例：一元二次方程根的判别式　教学过程：（１）用公式法解下列方程（　＋　一１＝０；　＋　＋１＝０；　＋　＋２：０）（２）设问：一元二次方程　＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ（。≠０）在什么情况　下有实数根？在什么情况下没有实数根？（３）交流：如果ｂ２－４ａｃ＞０，　这时方程有几个实数根：　ｌ＝　，　＝　。如果ｂ２－４ａｃ＝０，这　时方程有几个实数根，　ｌ＝　：：　。如果ｂ２－４ａｃ＜０，这时方　程有几个实数根，　ｌ＝：＝。（４）设问：从上述分析中可　看出ｂＺ－４ａｃ和一元二次方程似　＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ（０≠０）的根有什么关系？　（学生探究，教师引导，总结归纳）　从这个案例中不难看出，在概念教学中，通过对旧知识的复　习，让学生通过自主探究，从公式法求解引出根的判别式，在判别　式的概念定义中，不是教师给出概念，而是让学生通过对比分析而　得出概念，在探究中生成概念，有助于对概念的理解和应用。其实，　在初中数学中，很多概念都可通过变式引入，如，学梯形中位线，用　ｊ角形中位线的变式来引出；再如，学相似三角形，通过全等三角　形改变条件来引出，因为数学知识间本身就具有很强的联系性，变　式所起到的作用是让学生从旧到新，形成对新知识的构建。　二、变式教学在例题教学中的应用　在初中数学教学中，很多概念、公理、推论都是让学生通过对　例题的分析来获得的，而一道例题不足以让学生融会贯通，尤其是　一些学生在改变了例题中的数量或对象后，就不能理解例题中所　蕴含的知识点。而通过变式教学，让学生从例题出发，举一反三，能　较好地让学生知其然，并知其所以然。　以完全平方差公式的学习为例，学生通过例题认识了“０，２一ｂ　＝　（ａ＋ｂ）（。一ｂ）”后，教师以问题“观察该公式，从左至右是一个什么样　一２一　的过程？”（因式分解的过程）教师接着出示变式引导学生因式分　解：变式～：　一４＝？变式二：４ｎ２　１６ｎ　＝？变式三：Ｘ２ｙ４一／Ｄ￣４ｎ　＝？变式四：　（　＋　）２（　—ｙ）２＝？变式五：ａ２－ｂ　＋２口＋２６＝？再如，教师先给出７９＝８０—　１，８１＝８０＋１，然后变式求解７９ｘ８１＝７　在例题中运用变式教学最大的优点在于不是让学生死记硬背　地去识记概念，而是通过变式来引导学生通过不同的“案例”来找　到相同点，从而掌握本质属性。在教学中，教师可摒弃传统教学那　种讲完例题后再练习的方式，而在引导学生学习了相关的知识点　后，对课后练习进行整合，形成变式，引导学生结合变式来理解知　识点，从而促进学生对知识点的理解，提高其应用能力。　三、变式教学在练习中的应用　传统数学练习中更多的是以“题海战术”来加强学生解题能力　的培养，这种模式容易让学生感觉枯燥，而学生在训练过程中也是　反复的机械训练，效果不佳。而通过变式教学，让学生从一个知识　点出来，从多角度来考查学生对该知识的理解和应用能力。　以正比例函数教学为例，教师出的练习题如：“已知Ｙ与　成　正比例，且当ｘ＝８时，ｙ＝６，求当ｘ＝４，　一３时，Ｙ的值。”学生求解后，　教师以变式来进行训练：　变式一：已知Ｙ与　一１成正比例，且当ｘ＝８时，ｙ＝６，求当ｘ＝４，　一３时Ｙ的值；　变式二：已知ｙ＋２与　成正比例，且当ｘ＝８时，ｙ＝６，求ｘ＝４，　＝一　３时Ｙ的值；　・　变式三：已知ｙ＝ｙ　＋ｙ２，且Ｙ．与　２成正比例，Ｙ　与ｘ－２成正比　例，且当ｘ＝ｌ时，ｙ＝０，当　＝一３时，ｙ＝４，求当ｘ＝３时Ｙ的值。　通过不同的变式来引导学生从多角度理解正比例函数，难度　不断加深让学生更深入地去探究正比例函数中两个变量对函数的　影响关系，也为学生利用正比例函数解决问题奠定了基础。　总之，在初中数学中，要注重渗透新课改理念，以学生的技能　培养为中心，教学中注重采用变式教学来引导学生进行多角度的　学习，这对促进学生的技能发展具有积极意义。　参考文献：　［１］高正龙．初中数学教学变式问题研究［Ｊ］．少年智力开发报，　２０１０（８）．　［２］吴灵波．初中数学变式教学的实践探索［Ｊ］．商情：科学教育　家，２００８（４）．　［３］兰成同．初中数学问题变式教学模式探讨［ＪＪ．中学课程辅　导：教学研究，２０１１，５（１８）：７３—７４．　（作者单位江苏省常州市武进区马杭初级中学）