北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

1 / 7 2.1 二次函数

学习目标

1、能够表示简单变量之间的二次函数关系

2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题

3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

一、【学前提示】

提示1：函数

定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.

提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.

提示4：反比例函数

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

反比例函数的图像为双曲线.

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.

当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数

当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数

提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.

二、【方法点拨】

点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.

点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.

点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意： （1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

2 / 7 没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．

本金：存入银行的钱叫做本金.

利息：取款时银行多付的钱叫做利息.

利率：；利息与本金的百分比叫做利率.

利息计算公式

利息＝本金×利率×时间

三、【思路拓展】

步骤1：迁移导入：

1. 已知函数ymxm()3328是一次函数，求其解析式.

分析： 利用定义求一次函数ykxb解析式时，要保证k0.如本例中应保证m30

解：由一次函数定义知

mm28130

mm33

m3，故一次函数的解析式为yx33

步骤2：本节课知识巩固

1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)

A.y=81x2 B.y=12x C.y=21x D.y=a2x

分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意： 关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

所以答案是A.

2.函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是

A.a≠0，b≠0，c≠0 B.a<0，b≠0，c≠0

C.a>0，b≠0，c≠0 D.a≠0

分析：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意： 关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

3 / 7 所以答案是D.

3．下列函数中，不是二次函数的是（）

A．y=2x2＋2x B．y=－x2 +x3 +1

C．y=－x2 +x1+1 D．y=3－x(2－x)

分析：选项C中含有x1,所以C不是二次函数.

答案是：C

师生互动 共解难题

一、【实例讲解】

例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

（4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？

分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．

解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量.

（2）果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子

（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000

（4）

从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大

例2 (1)对于二次函数y=x2的图象上两点P（x,y）、Q（m,n）：

如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;

如果是仅有x＜m，则能确定y、n的大小吗？

(2)、对于二次函数y=-x2的图象上两点P（x,y）、Q（m,n）：

如果x＜m＜0,则y n; 如果0＜x＜m,则y n;

分析：根据函数y=x2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. x/棵 8 9 10 11 12

y/个 60480 60495 60500 60495 60480 北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

4 / 7 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

所以答案是：(1) y > n， y < n; (2) y < n ，y > n，

二、【学会总结】

总结1：

总结2：二次函数y=ax2的性质

1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；

当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.

3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.

当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

积累运用

学会创新

1.下列不是二次函数的是（ ） 当x=0时,最大值为0.

当x=0时,最小值为0 最值

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

增减性

向下

向上

开口方向

在x轴的下方( 除顶点外)

在x轴的上方(除顶点外)

位置

y轴

y轴

对称轴

（0，0）

（0，0）

顶点坐标

y= -x2

y=x2

抛物线

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5 / 7 A．y=3x2＋4 B．y=－31x2 C．y=52x D．y=（x＋1）（x－2）

2.函数y=（m2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m的值是（ ）

A．m= -3或1 B．m=+1或-1 C．m= -3 D．m=3

3、.若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______.

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，当b=0，c≠0时，函数表达式为______；当b≠0，c=0时，函数表达式为______；当b=c=0时，函数表达式为______.

5.在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm(x<6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是______.

6.小立存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.

7．下列函数不属二次函数的是

A.y=(x－1)(x+2) B.y=21(x+1)2

C.y=2(x+3)2－2x2 D.y=1－3x2

拓展尝新 突破自我

8．已知函数y=(m2－m)x2+(m－1)x+m+1.

(1)若这个函数是一次函数，求m的值;

(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

9．如图，一块草地是长80 m、宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值 范围.

x

x 60 m80m

10.正方形的边长为1 cm，假设边长增加x cm时，正方形的面积增加y cm2.

(1)请写出y与x之间的关系表达式;

(2)当正方形边长分别增加1 cm，3 cm，2 cm时，正方形的面积增加多少？