高中数学 3.1不等关系与不等式学案 新人教A版必修5 学案

3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。

2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．

3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

二、教学重、难点

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。差值比较法：作差→变形→判断差

三、教学过程

（一）[创设问题情境]

下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？

1. 限速40km/h的路标，表示汽车的速度v不超过40km/h。

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。

3. a与b的和是非负数。

4. 大圆1O的半径为R，小圆2O的半径为r，两圆的圆心距为d，若两圆相交，则d需要满足什么条件？

5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

6. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

7. 某厂使用两种零件A、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A，2个B；乙需要6个A，8个B。某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。

1 课题： 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）

班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：

一．：自主学习，明确目标

1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；

教学重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来。

教学难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

教学方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想

二．研讨互动，问题生成

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：

三．合作探究，问题解决

1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域.

2、画出不等式组3005xyxyx表示的平面区域。

例1 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元

初中 45 2 26/班 2/人

高中 40 3 54/班 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

例2、画出下列不等式表示的区域

(1) 0)1)((yxyx； (2) xyx2 B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063xy

2 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由xx2，得0x，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。

例3、利用区域求不等式组015530632032yxyxyx的整数解

第三章 不等式

3.1 不等关系与不等式

第1课时 不等关系与比较大小

学习

目标 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)

2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)

3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)

【必备知识·自主学习】

导思 1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?

2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?

1.不等式的相关概念

(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;

(2)不等式:由不等号表示的关系式.

(1)“≤”的含义是什么?

提示:

(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?

提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.

②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a

如果a-b是正数,那么a>b a-b>0⇔a>b

如果a-b等于零,那么a=b a-b=0⇔a=b

如果a-b是负数,那么a

怎样证明a>b?

提示:证明a-b是正数,即a-b>0.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).

(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. ( )(2)不等式5≥5不成立. ( )(3)若>1,则a>b. ( )提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.

(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.

(3)×.如=2>1,但是-2<-1.

2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为 ( )A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60

【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.

3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.

【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,

精 品

第三课 不等式

[核心速填]

1．比较两实数a，b大小的依据

a－b>0⇔a>b.a－b＝0⇔a＝b.a－b<0⇔a

2．不等式的性质

性质1 如果a>b，那么bb，即a>b⇔b

性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.

性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc，

如果a>b，c<0，那么ac

性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

性质7 如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N*，n≥1)．

性质8 如果a>b>0，那么na>nb(n∈N*，n≥2).

3.二元一次不等式表示的平面区域

Ax＋By＋C(B>0) >0<0表示对应直线 上下方区域．

4．二元一次不等式组表示的平面区域

每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域．

5．两个不等式

不等式 内容 等号成立条件

重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R) “a＝b”时取等号

基本不等式 ab≤a＋b2(a>0，b>0) “a＝b”时取等号

[体系构建] 精 品

[题型探究]

一元二次不等式的解法

[探究问题]

1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α

不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？

提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x

x>β}．

2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？

提示：解集为{x|α

3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx

＋c>0的解集是什么？

提示：当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为∅.

若不等式组 x2－x－2>02x2＋2k＋5x＋5k<0的整数解只有－2，求k的取