高一数学知识点归纳大全第一章

高一数学知识点归纳大全第一章

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应当特别注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌控三种表示法——列表法、解析法、图象法，能够根实际问题谋求变量间的函数关系式，特别就是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的通常步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式算出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

特别注意①：对于分段函数的反函数，先分别算出在各段上的反函数，然后再分拆至一起.

②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数源自于一个实际问题，这时自变量x存有实际意义，谋定义域必须结合实际意义考量;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母严禁为零;

②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正弦函数y=tanx(x∈r，且k∈z)，余切函数y=cotx(x∈r，x≠kπ，k∈z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)未知一个函数的定义域，谋另一个函数的定义域，主要考量定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式通常存有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设得出函数特征，求函数的解析式，可以使用未定系数法.比如说函数就是一次函数，entitledf(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为未定系数，根据题设条件，列举方程组，算出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若未知f(x)满足用户某个等式，这个等式除f(x)就是未知量外，还发生其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据未知等式，再结构其他等式共同组成方程组，利用求解方程组法求出来f(x)的表达式.

【(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域依赖于定义域和对应法则，不论使用何种方法求函数值域都应当先考量其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将Rewa的繁杂函数转化成另一种直观函数Ploudalm值域，若函数解析式中所含根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里就是二次式时，用三角换元. (3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)分体式方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可以考量用分体式方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”谋值域.其题型特征就是解析式中所含根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所则表示的几何意义，借助几何方法或图象，谋出来函数的值域，即以数形融合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上就是相同的，事实上，如果在函数的值域中存有一个最轻(小)数，这个数就是函数的最轻(小)值.因此求函数的最值与值域，其实质就是相同的，只是回答的角度相同，因而答题的方式就有所雷同.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用领域

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，必须特别注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点等距就是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)就是定义域上的恒等式.(奇偶性就是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式： 特别注意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别就是定义域d1、d2上的奇函数，那么在d1∩d2上，f(x)+g(x)就是奇函数，f(x)·g(x)就是偶函数，相似地存有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数就是偶函数，偶函数的导函数就是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件就是它的图象关于原点等距;一个函数为偶函数的充要条件就是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处为意义，则f(0)=0设立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点等距，则f(x)=f(x)+f(-x)就是偶函数，g(x)=f(x)-f(-x)就是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都存有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a等距，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都存有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的认知，必须特别注意以下三点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. (2)单调性就是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具备任意性，无法用特定值替代.

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)特别注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上就是增函数;

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上就是增函数.

在[a、b]上是减函数.

须要表示的就是：①的几何意义就是：减(减至)函数图象上任一两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或大于)零.

(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1>x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、无机函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常须要先将函数化简，转变为探讨一些津津乐道函数的单调性。因此，掌控并记诵一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的推论过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义展开证明.其步骤为：①余因子x1、x2∈m且x1(或<)f(x2);③根据定义，得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)为减至函数.

【(六)、函数的图象】

函数的图象就是函数的直观彰显，应当强化对作图、Arracourt、用图能力的培育，培育用数形融合的思想方法解决问题的意识. 求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)