人教版数学九年级下册教案：27.2.1 相似三角形的判定 第一课时

27.2.1 相似三角形的判定 第一课时

一、教学目标

1.核心素养

通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力.

2.学习目标

掌握平行线分线段成比例定理和推论、相似三角形判定的预备定理；并且会进行简单应用.

3.学习重点

平行线分线段成比例定理和推论的应用，相似三角形判定的预备定理及其应用.

4.学习难点

平行线分线段成比例定理及推论、相似三角形判定的预备定理的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1. 阅读教材P29-30，思考：什么是平行线分线段成比例定理？如何得到此定理？

任务2. 阅读教材P30，思考：什么是平行线分线段成比例定理的推论？此定理是如何得来的？

任务3. 阅读教材P30-31，思考：相似三角形判定的预备定理是什么？怎么证明呢？

2.预习自测

1.在△ 与CBA中，如果 ∠∠A，∠∠B，∠∠C，且

kACCACBBCBAAB，那么△与CBA，记作 ，其中k 就是两个相似三角形的 ； 如果 k = 1，那么这两个三角形.

【知识点：相似三角形定义，相似比，三角形全等】

2.已知△∽△，若∠70°，∠60°，则∠度.

【知识点：相似三角形性质】

3.如图，，且6，12，10，则.

【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

（二）课堂设计

1.知识回顾

1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似.

2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

3.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a：：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段.

2.问题探究

问题探究一 什么是相似三角形？

●活动1 阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念

回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？相似比为1的两个三角形有怎样的关系？

归纳 如图，在△和△A′B′C′中，如果∠∠A′，∠∠B′，∠∠C′，==,ABBCACkABBCAC

即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△与△A′B′C′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △与△A′B′C′相似记作 “△∽△A′B′C′”.相似比为1的两个三角形全等.

说明：(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例；

（2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形.

(3)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上.

(4)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性.若当△∽△A′B′C′时，==,ABBCACkABBCAC则△A′B′C′∽△时，1==.ABBCACABBCACk

（5）相似三角形具有传递性：即若△∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△∽△A″B″C″；

●活动2 例题讲解，相似三角形定义的应用

例 如图，△∽△，其中＝6，＝9，

指出对应边、对应角，并求出相似比.

解：对应边分别是：与，与，与.

对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.

∵∶＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.

点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上.

问题探究二 什么是平行线分线段成比例定理？ 重点、难点知识★▲

●活动1 探究定理 应用多媒体展示问题，让学生自主去探索.

问题：如图，任意画两条直线m、n，再画三条与m、n都相交的平行线1l、 2l、3l，分别度量1l、 2l、3l在m上截得的两条线段，和在n上截得的两条线段，的长度，ABDEBCEF与相等吗？任意平移3l，ABDEBCEF与 还相等吗？

探究：如图，小方格的边长都是1，直线 1l∥2l∥3l ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 .

问题1：计算 12122323,AABBAABB，你有什么发现？

问题2：将2l向下平移到如图的位置，直线m，n与2l的交点分别为2A，2B，问题1中的结论还成立吗？计算试一试.

问题3：还可以得到那些对应线段的比值相等？

学生讨论，通过计算12122323,AABBAABB可以发现： 将2l平移到其他位置，上述结果一样.还可得到下面的比例式：

于是有，平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

可简记为：===.上上上上下下，，下下全全全全

说明：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；

(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；

(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等.

●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用

例：如图，已知∥∥，交于点H，下列结论中错误的是( )

A.BHAHHCHD B.ADBCDFCE C.HCHDHEDF D.AFBEDFCE

详解：根据∥∥，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解.

∵∥∥，

故选项A，B，D正确.

∵∥，∴ ,HCHDHEHF故选项C错误.

点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断.在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之

间的关系，即平行线分线段成比例.

●活动3 应用练习

1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则.

【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

2.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.

已知，则的值为（ ) A.23 B.32 C.52 D.53

【知识点：平行线分线段成比例定理；数学思想：数形结合】

解：D

问题探究三 平行线分线段成比例定理有怎样的推论呢？ 重点、难点知★▲

●活动1 利用多媒体演示，引导学生得出行线分线段成比例定理的推论.

把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况.

在图 (1)中，把4l看成平行于△的边的直线；在图 (2)中，把3l看成平行于△的边的直线，那么我们可以得到结论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

数学表达式：

如图，∵∥，

●活动2 例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用

例1.如图，在△中，E、F分别是和上的点，且 ∥，

（1）如果 = 7，5， = 4，那么的长是多少？

（2）如果 = 10，6， = 5，那么的长是多少？

【知识点：平行线分线段成比例定理推论；数学思想：数形结合】

详解：(1)∵∥，

∴＝.

∵＝7，＝5，＝4，

∴＝＝＝.

(2)∵∥ ，

∴＝.

∵＝10，＝6，＝5，

∴＝＝＝，

∴＝－＝－5＝.

点拨：写比例式时，注意线段的对应关系. A

B C E F

ABCDEF例2：如图，F是平行四边形的边上一点，连接，并延长交的延长线于点E.

求证：.DEDFAEDC=

【知识点：平行线分线段成比例定理推论】

解析： 先根据平行四边形的性质得出∥，∥，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论.

证明：∵四边形是平行四边形，

∴∥，∥.

∴EBEFAEDE（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.

同理可得.EFDFEBDC=

点拨：本题是证明等积式的典型题.要证明 acbd=， 经常要把它转化为两个等式：.aeecbffd==和我们通常把ef叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式.

●活动3 应用练习

1.如图，已知∥，与交于点O，则下列比例式中不成立的是( )

∶＝∶ ∶＝∶

∶＝∶ ∶＝∶

【知识点：平行线分线段成比例定理的推论】

解：B

2.如图，已知∥∥，若＝6 ，＝9 ，＝7 .则＝.

【知识点：平行线分线段成比例定理定理的推论；数学思想：数形结合】

解：17.5

问题探究四 相似三角形判定的预备定理是什么？ 重点、难点知识★▲

●活动1 分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理

提出问题：在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所得的三角形与原三角形相似吗？

如图，在△中，∥，且分别交，于点D，E，△与△有什么关系？

分析引导：直觉告诉我们，△与△相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠＝∠B，∠＝∠C，＝＝.

由前面的结论可得，＝.而中的不在△的边上，不能直接利用前面的结论.但从要证的＝可以看出，除外，，，都在△的边上，因此只需将平移到边上去，使得＝，再证明＝就可以了.只要过点E作∥，交于点F，就是平移所得的线段.

师生活动：先证明两个三角形的角分别相等.

如图，在△与△中，∠A＝∠A.

∵∥，

∴∠＝∠B，∠＝∠C.

再证明两个三角形的边成比例.

过点E作∥，交于点F.

∵∥，∥，

∴＝，＝.

∵四边形是平行四边形，∴＝，

∴＝，∴＝＝.

这样，我们证明了△和△的角分别相等、边成比例，所以△∽△，

追问：若点D、E分别在、的反向延长线上，△与△是否还相似呢？

因此，我们有如下判定三角形相似的定理.

相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(定理的证明由学生独立完成)

定理的几何语言表述：

∵∥，

∴△∽△.

●活动2 例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用

例1：如图，D，E分别是△的边，上的点，∥，＝7，＝5，＝10，求的长.

【知识点：相似三角形判定的预备定理；数学思想：数形结合】