北师大版初中数学九年级上册第一章知识点

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结

第一章 证明（二）

一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A

2、等腰三角形的判定

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形

性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一

判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

第一章 特殊的平行四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。（对边）

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）

（3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线）

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边）

（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边）

（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边）

（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角）

（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线）

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意： 平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行。 （边）

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角）

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线）

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边）

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线）

（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线）

九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）

一、平行四边形

、平行四边形的性质定理：

平行四边形的对边相等。

平行四边形的对角相等（邻角互补）。

平行四边形的对角线互相平分。

2、平行四边形的判定方法：

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

二、矩形

、矩形的性质定理：

矩形的四个角都是直角。

矩形的对角线相等。

2、矩形的判定方法：

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 三、菱形

、菱形的性质定理：

菱形的四条边都相等。

菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。

2、菱形的判定方法：

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。）

四、正方形

、正方形的性质定理：

正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2、正方形的判定定理：

l

有一个角是直角的菱形是正方形。

l

有一组邻边相等的矩形是正方形。

l

有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 l

对角线相等的菱形是正方形。

l

对角线互相垂直的矩形是正方形。

l

对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。

l

对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。

五、等腰梯形

九年级第二章

一元二次方程

一、认识一元二次方程

知识点1 ：一元二次方程的意义

1.一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax²＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a不等于0）的形式，这样的方程叫一元一次方程。

2.一元二次方程必须同时满足三个条件：

(1) 是整式方程；

(2) 只含有一个未知数；

(3) 未知数的最高次数是2。

知识点2 ：一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式：ax²＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a不等于0）

其中，ax²、bx、c分别称为二次项，一次项，常数项，a、b分别乘为二次项系数，一次项系数。

2.一元二次方程的特殊形式：

特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项

ax²＋bx=0（a≠0，b≠0） a b 0

ax²＋c=0（a≠0，b≠0） a 0 c

ax²=o（a≠0） a 0 0

3 确定一元二次方程各项系数的一般步骤：

知识点3：根据实际问题列一元二次方程

从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤：

(1) 审清题意，设出合适的未知数； 原方程 化简成一般形式ax²＋bx＋c=0 确定a、b、c（勿漏符号） (2) 找出已知量与未知量之间的等量关系；

(3) 列出一元二次方程，并化为一般形式。

知识点4：一元二次方程的解

1 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解。

2 判断一元二次方程的解得办法

知识点5：用估算法求一元二次方程的近似解

1 当x取某一个值时，代数式ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的值无限接近于0，此时即可近似地将x看成该方程的解。

2 用估算法求二元一次方程的近似解的步骤：

(1) 先列表，再列出几组x的值，并分别计算ax²＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a不等于0）中ax²＋bx＋c=0的值；

(2) 在列表中找出可能使ax²＋bx＋c的值等于0的未知数的取值范围；