人教版数学高一A版必修3 3.1随机事件的概率(第3课时)
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精心校对 课堂探究
1．若事件A与事件B不互斥，则P(A∪B)≠P(A)＋P(B)
剖析：否定一个等式不成立，只需举出一个反例即可．
例如：抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A，且A＝B，则A∪B表示向上的点数是1或2或3或4或5或6，则P(A)＝P(B)＝P(A∪B)＝1，P(A)＋P(B)＝1＋1＝2，
所以此时P(A∪B)≠P(A)＋P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．
上例中P(A∪B)≠P(A)＋P(B)的原因是事件A与事件B不是互斥事件．
其实对于任意事件A与B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求证明也不要求会用)，那么当且仅当A∩B＝，即事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)成立．
2．事件与集合之间的对应关系
剖析：事件与集合之间的对应关系如下表：
事件 集合
必然事件 全集
不可能事件 空集()
事件B包含于事件A(B⊆A) 集合B包含于集合A(B⊆A)
事件B与事件A相等(B＝A) 集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A) 集合B与集合A的并集(B∪A)
事件B与事件A的交事件(B∩A) 集合B与集合A的交集(B∩A)
事件B与事件A互斥(B∩A＝) 集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝) 高中数学-打印版
精心校对 事件A的对立事件 集合A的补集(∁UA)
题型一 判断互斥(对立事件)
【例题1】判断下列各事件是否是互斥事件，如果是互斥事件，那么是否是对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是女生．
解：(1)是互斥事件．理由是在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
不是对立事件．理由是当选出的2名同学都是女生时，这两个事件都没有发生，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果，当选出的是1名男生、1名女生时，它们同时发生．
这两个事件也不是对立事件．理由是这两个事件能同时发生，所以不是对立事件．
(3)是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．
是对立事件．理由是这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，所以是对立事件．
反思 判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断．当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件．
题型二 概率加法公式的应用
【例题2】某射箭运动员在一次训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28，计算这个射箭运动员在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
分析：(1)利用互斥事件的概率加法公式解决；(2)转化为求对立事件的概率． 高中数学-打印版
精心校对 解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，
则P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
题型三 易错辨析
【例题3】抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
错解：设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.
P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝16.
则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝16＋16＋16＝12.
P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝16＋16＋16＝12.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝1.
错因分析：错解的原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．
正解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4. 高中数学-打印版
精心校对 故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝16＋16＋16＋16＝23.
