黑龙江省青冈县一中2017-2018学年高一下学期期中考试A卷数学(理)试题(解析版)
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期中考试（A）理
一.选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 不等式2x＋3－x2＞0的解集是( )
A. {x|－1＜x＜3} B. {x|－3＜x＜1}
C. {x|x＜－1或x＞3} D. {x|x＜3}
【答案】A
【解析】
【分析】
把不等式2x+3﹣x2＞0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．
【详解】∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为
x2﹣2x﹣3＜0，
即（x+1）（x﹣3）＜0；
解得﹣1＜x＜3，
∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
【点睛】解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
2. 已知菱形ABCD的边长为a，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
考点：向量的数量积的运算.
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3. 在等差数列中， ，则（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】A
【解析】
由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.
4. 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
，所以.
5. 已知数列是等差数列， ，其中公差 .若是和的等比中项，则 ( )
A. 398 B. 388 C. 189 D. 199
【答案】C
【解析】
由题意可得 公差 代入数据可得 ，解得 ，
故选C．
6. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
试题分析：A中当时不成立；B中若不成立；C中不成立，所以D正确
考点：不等式性质
7. 等比数列的前n项和为，则r的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时,,
当时，
所以，故选B.
8. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．
【详解】因为（﹣）•（+﹣2）=0，
即•（+）=0；
又因为﹣=，
所以（﹣）•（+）=0，
即||=||，
所以△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于中档题．
9. 如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
A. 9 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案．
【详解】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，
可得PC=．
∴该几何体的最长棱的长度为9．
故选：A
【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
10. 在数列中，，则的值为
A. -2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知数列递推式依次求出数列前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，则答案可求．
【详解】∵
∴，，，
可得an+3=an，
∴a2016=a3×672=a3=，
故选：B．
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
11. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
【详解】在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得BC=2
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径R=，
故此球的表面积为4πR2=20π
故选：A．
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
12. 在扇形AOB中， ，C在弧AB上，且，则x与y满足关系式 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，不妨设r=1．A（1，0），B．设C（m，n），=x+y，可得，即可得出．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
不妨设r=1．
A（1，0），B．
设C（m，n），=x+y，则，
则m2+n2=+=1，
化为：x2﹣xy+y2=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围________.
【答案】.
【解析】
【分析】
当a=0时，得到f（x）的值为﹣1小于0，f（x）小于0成立；当a不为0时，f（x）为二次函数，要使f（x）在R上
满足f（x）＜0恒成立，则其图象必须为开口向下，且与x轴没有交点的抛物线，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，综上，得到满足题意的a的范围．
【详解】当a=0时，f（x）=﹣1＜0成立；
当a≠0时，f（x）为二次函数，
∵在R上满足f（x）＜0，
∴二次函数的图象开口向下，且与x轴没有交点，
即a＜0，△=a2+4a＜0，
解得：﹣4＜a＜0，
综上，a的取值范围是﹣4＜a≤0．
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的性质，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
14. 设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
是3a与b的等比中项，=，化为a+b=1．再利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】是3a与3b的等比中项，∴=，化为a+b=1．
∵a＞0，b＞0，
则==2+≥2=4，当且仅当a=b=时取等号．
故答案为：4．
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
15. 用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为________cm.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形即可求解．
【详解】由题意，圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形，
球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，
则R2=4+r2，
解得：r=2，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形的性质，考查方程思想，比较基础
16. 数列{an}中，已知对任意 , ，则等于________.
【答案】.
【解析】
，① ，②
②-①得：，当时，，符合上式，，，是以为首项，为公比的等比数列，，故答案为.
三 解答题（共70分）
17. 解下列关于x的不等式：
（1）； （2）x2-ax-2a2≤0（a∈R）
【答案】(1) {x丨2＜x≤}.
(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）等价转化为整式不等式解之；
（2）讨论字母a，解一元二次不等式．
【详解】（1）将原不等式化为≤0，
即（2x-7）（x-2）≤0（x≠2），∴2＜x≤，
所以原不等式的解集{x丨2＜x≤}
（II）当a=0时，不等式的解集为（0）；
当a≠0时，不等式等价于（x+a）（x-2a）≤0，
