一随机变量方差的定义及性质

第七周多维随机变量，独立性

7.4独立随机变量期望和方差的性质

独立随机变量乘积的期望的性质：

YX,独立，则

YEXEXYE

以离散型随机变量为例，设二元随机变量

,XY的联合分布列

,

ijPXxYy已知，

则

,

ijijPXxYyPXxPYy，

1,2,,;1,2,,imjn



11,mn

ijij

ijEXYxyPXxYy



11mn

ijij

ijxyPXxPYy





11mn

iijj

ijxPXxyPYy



EXEY

***********************************************************************

独立随机变量和的方差的性质：

YX,独立，则

YVarXVarYXVar

22VarXYEXYEXY





222EXXYY22

2EXEXEYEY





2222EXEXEYEY

22EXYEXEY

2222EXEXEYEY

VarXVarY

若

12,,,

nXXX相互独立，且都存在方差，则

12

1n

mk

kVarXXXVarX



***********************************************************************

利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量

~,Xbnp期望和方差

我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差求和的性质。这里我们再回顾一下。

设

12,,,

nXXX相互独立，且均服从0-1分布

1,Bp

，则

12nXXXX

对所有nk,,1，

101

kEXppp，



方差公式揭秘随机变量方差的计算公式

方差是概率论中用来衡量一组数据或一随机变量的离散程度的重要指标。它可以告诉我们数据或随机变量的变化范围，以及这种变化程度的大小。在实际应用中，方差在统计分析、风险评估等领域起着重要作用。本文将揭示随机变量方差的计算公式，帮助读者更好地理解和应用方差概念。

1. 方差的定义

方差是随机变量的一个重要统计性质，用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度。对于离散型随机变量，方差的计算公式为：

Var(X) = Σ(x_i - μ)^2 * P(X=x_i)

其中，Var(X)表示随机变量X的方差，μ表示X的期望值，x_i表示随机变量X的取值，P(X=x_i)表示X取值为x_i的概率。

2. 方差的计算步骤

为了计算方差，我们需要按照以下步骤进行操作：

步骤1：计算随机变量的期望值μ；

步骤2：计算每个随机变量取值与其期望值的差的平方；

步骤3：将每个差的平方与对应的概率相乘；

步骤4：将步骤3中的结果求和，即得到方差。 举例说明，假设有一组样本数据X={x1, x2, ... xn}，对应的概率分别为P(X=x1)，P(X=x2)，...，P(X=xn)，其期望值为μ。按照上述步骤，可计算得到方差Var(X)。

3. 方差计算实例

为帮助读者更好地理解方差的计算过程，下面将通过一个实际问题进行详细解释。

假设某班级有5名学生，他们的身高分别为170cm、165cm、175cm、160cm和180cm，对应的身高的概率分别为0.2、0.1、0.3、0.2和0.2。我们将通过计算这些学生的身高方差来演示方差的计算过程。

步骤1：计算期望值μ

μ = 170 * 0.2 + 165 * 0.1 + 175 * 0.3 + 160 * 0.2 + 180 * 0.2 = 170

步骤2：计算差的平方

对于每个身高值xi，计算其与期望值μ的差的平方。

差的平方 = (170 - 170)^2 = 0

1 第二节 方 差

1.方差的定义

数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A，B两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X，Y，已知X，Y的分布律为：

表4-7

X 8 9 10

P（X=k） 0.2 0.6 0.2

表4-8

Y 8 9 10

P(Y=k) 0.1 0.8 0.1

由于E（X）=E（Y）=9（环），可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高，故还需考虑其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X与它的平均值E（X）之间的离差｜X-E（X）｜的均值E［｜X-E（X）｜］来度量，E［｜X-E（X）｜］愈小，表明X的值愈集中于E（X）的附近，即技术稳定；E［｜X-E（X）｜］愈大，表明X的值很分散，技术不稳定.但由于E［｜X-E（X）｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X与E（X）的离差｜X-E（X）｜的平方平均值E［X-E（X）］2来度量随机变量X取值的分散程度.此例中，由于

E［X-E（X）］2=0.2³(8-9)2+0.6³(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4，

E［Y-E(Y)］2=0.1³(8-9)2+0.8³(9-9)2+0.1×(10-9)2=0.2.

由此可见B的技术更稳定些.

定义4.2 设X是一个随机变量，若E［X-E（X）］2存在，则称E［X-E（X）］2为X的方差（Variance），记为D（X），即

D（X）=E［X-E（X）］2. （4.7）

称)(XD为随机变量X的标准差（Standard deviation）或均方差(Mean square deviation)，记为σ（X）.

§2.3.2 离散型随机变量的方差（1）

学习目标

1．理解随机变量方差的概念；

2．各种分布的方差．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P64~ P66，找出疑惑之处）

复习1：若随机变量 Y～)8.0,5(B，则EY ；又若42YX，则2EX

复习2：已知随机变量的分布列为 ：

 0 1 x

P 51 p 103

且1.1E，则p ；x

二、新课导学

※ 学习探究

探究：

要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数1X～)8.0,10(B，第二名同学击中目标靶的环数42YX，其中Y～)8.0,5(B，请问应该派哪名同学参赛？

新知1：离散型随机变量的方差：

当已知随机变量的分布列为kkpxP ),2,1(k时，则称D

为的方差， 为的标准差

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．D越小，稳定性越 ，波动越 ．

新知2：方差的性质：

当ba,均为常数时，随机变量ba的方差)()(baDD ．特别是：

①当0a时，bD ，即常数的方差等于 ；

②当1a时，)(bD ，即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方差 ；

③当0b时，aD ，即随机变量与常之积的方差，等于常数的 与这个随机变量方差的积

新知2：常见的一些离散型随机变量的方差：

（1）单点分布：D ；（2）两点分布：D ；（3）二项分布：D ．

※ 典型例题

例1已知随机变量X的分布列为：