函数零点存在性定理

精品文档

. • 函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．

(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

• 函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．

例题1：

若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论：

（1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点；

（2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点；

（3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点；

（4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减．

其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 精品文档

. 答案

由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．

（3）正确，

（1）不能确定，

（2）中零点可能为1，

（4）中单调性也不能确定．

故答案为：（3）

例题2：

已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）

答案：

例题3： 精品文档

.

例题4：

函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（ ）

零点定理条件

零点定理（Zero point theorem）是数学中的一个重要定理，它在拓扑学领域具有重要的应用价值。零点定理关于函数在某个区域内是否存在零点的性质进行了严格的描述，它为我们研究函数的性质和解方程提供了有力的工具。

零点定理的条件是：设X为拓扑空间，Y为Banach空间，f：X→Y为一个连续映射，如果存在一个紧子集K⊆X，使得f(K)为Y中的一个闭子集，并且对于每一个x∈K，都有f(x)=0，则f在X中存在一个零点。

为了更好地理解零点定理，我们可以通过一个具体的例子进行说明。假设我们有一个平面上的连续函数f(x,y)，我们想要证明是否存在一个点(x0,y0)，使得f(x0,y0)=0。根据零点定理的条件，我们需要找到一个紧子集K，使得f(K)是一个闭子集，并且对于K中的每一个点(x,y)，都有f(x,y)=0。

我们可以选择一个圆盘D作为紧子集K，它的边界是一个闭曲线。然后我们观察f(D)的值，如果f(D)的边界上存在一个点(x0,y0)，使得f(x0,y0)=0，那么我们就找到了一个零点。这是因为根据连续性的定义，如果f(D)是一个闭子集，那么f(D)中的极限点也属于f(D)，而f(D)的边界上的点(x0,y0)恰好是f(D)的极限点。

通过这个例子，我们可以看到零点定理的条件在实际问题中的应用。它帮助我们确定了一个函数在给定区域内是否存在零点，从而解决了很多实际问题。例如，我们可以利用零点定理来证明某个方程在某个区间内存在解，或者证明某个物理模型中存在某种状态。

除了上述例子中的平面函数，零点定理还可以应用于更一般的情况。只要满足定理的条件，我们就可以利用零点定理来研究函数的性质和解方程。这使得零点定理成为数学中的一个重要工具，被广泛应用于各个领域。

零点定理是数学中的一个重要定理，它描述了函数在某个区域内是否存在零点的性质。通过零点定理的条件，我们可以确定一个函数是否有零点，从而解决很多实际问题。零点定理的应用范围广泛，不仅可以用于平面函数，还可以应用于更一般的情况。它为我们研究函数的性质和解方程提供了有力的工具，对于数学和其他学科的发展都具有重要意义。

- 1 -零点存在的判定与证明

一、基础知识：

1、函数的零点：一般的，对于函数()

yfx=，我们把方程()

0fx=的实数根

0x叫作函数

()

yfx=的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()

yfx=在区间[]

,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且

有()()

0fafb×<，那么函数()

yfx=在区间()

,ab内必有零点，即()

0,xab$Î，使得

()

00fx=

注：零点存在性定理使用的前提是()

fx在区间[]

,ab连续，如果()

fx是分段的，那么零点

不一定存在

3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”（假设()

fx在区间()

,ab连续）

（1）若()()

0fafb×<，则()

fx“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析

()

fx的性质与图像，如果()

fx单调，则“一定”只有一个零点

（2）若()()

0fafb×>，则()

fx“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果()

fx

单调，那么“一定”没有零点

（3）如果()

fx在区间()

,ab中存在零点，则()()

fafb×的符号是“不确定”的，受函数性

质与图像影响。如果()

fx单调，则()()

fafb×一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号：()

fx是一个在()

,ab单增连续函数，

0xx=是()

fx

的零点，且()

0,xabÎ，则()

0,xaxÎ时，()

0fx<；()

0,xxbÎ时，()

0fx>

6、判断函数单调性的方法：

（1）可直接判断的几个结论：

① 若()()

,fxgx为增（减）函数，则()()

fxgx+也为增（减）函数

- 2 -② 若()

fx为增函数，则()

fx-为减函数；同样，若()

fx为减函数，则()

fx-为增函数

③ 若()()

,fxgx为增函数，且()()

,0fxgx>，则()()

fxgx×为增函数

（2）复合函数单调性：判断()()

函数零点存在定理

一、函数零点的概念

对于函数）（xfy,我们把使0xf）（的实数x叫做函数）（xfy的零

点。从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。换句话说，函数的零

点就是方程f(x)=0的实数解。

二、函数零点的性质

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。因此，求解函数的零点等价于求解对应的方

程。

三、函数零点存在定理

如果函数）（xfy在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有

0bfaf）＜（）（,那么，函数）（xfy在区间（a,b）内有零点

推论（函数零点的唯一性）

如果函数）（xfy在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单

调性，且0bfaf）＜（）（，那么函数）（xfy在区间[a,b]上有唯一零点

四、定理的证明思路

为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。这里简要说明证明

思路：

假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。

分类讨论：

若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。

若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某

个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。

结论：因此，假设不成立，原命题得证。

五、零点个数的判断

1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。从图象上看，函数的

零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。

2、零点个数判断的主要方法

（1）代数法

解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的

零点个数。这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。

因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每

个因式等于零，解得的解即为函数的零点。