八年级数学培优专题 专题05 和差化积
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第1页/共10页 专题05 和差化积
——因式分解的应用
阅读与思考：
因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：
1．复杂的数值计算；
2．代数式的化简与求值；
3．简单的不定方程（组）；
4．代数等式的证明等.
有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：
1. 4224(22)(22)xxxxx;
2. 42241(221)(221)xxxxx;
3. 1(1)(1)ababab；
4.1(1)(1)abababmm；
5. 3332223()()abcabcabcabcabbcac．
例题与求解
【例1】已知0ab，2220aabb，那么22abab的值为___________ .
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．
第2页/共10页 【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且27aabacbc，则ac等于(
).
A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7
（江苏省竞赛试题）
解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，
在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．
求代数式的值的基本方法有；
(1)代入字母的值求值；
(2)代入字母间的关系求值；
(3)整体代入求值．
【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998g （“希望杯”邀请赛试题）
（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444 （江苏省竞赛试题）
解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x的规律．
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【例4】求下列方程的整数解．
(1)64970xyxy; （上海市竞赛试题）
(2)222522007xxyy. （四川省竞赛试题）
解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．
解不定方程的常用方法有：
(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．
用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.
【例5】已知3ab，2ab，求下列各式的值：
(1) 22abab； (2) 22ab； (3)2211ab．
解题思路：先分解因式再代入求值.
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【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a是一个完全立方数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可．
能力训练
A 级
1. 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．
（烟台市初中考试题） 第5页/共10页 babbaa
2．已知223,4xyxyxy，则4433xyxyxy的值为__________．（江苏省竞赛试题）
3．方程25510xxyxy的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题）
4. 如果2(1)1xmx是完全平方式，那么m的值为__________． （海南省竞赛试题）
5. 已知22230xxyy(0xy)，则xyyx的值是( )．
A．2，122 B．2 C．122 D．12,22
6．当1xy，43322433xxyxyxyxyy的值为( )．
A. －1 B．0 C．2 D．1
7．已知abc＞＞，222222MabbccaNabbcca，，则M与N的大小关
系是( )．
A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
（“希望杯”邀请赛试题）
8．n为某一自然数，代入代数式3nn中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．
A. 388944 B.388945 C.388954 D.388948
（五城市联赛试题） 第6页/共10页 9．计算：
(1) 3331999100099919991000999 （北京市竞赛试题）
(2) 333322223111122222311111 (安徽省竞赛试题)
10. 一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a是一个完全平方数．
（北京市竞赛试题）
11.已知四个实数a，b，c，d，且ab，cd，若四个关系式第7页/共10页 224,b4aacbc，82acc，28dad，同时成立.
(1)求ac的值；
(2)分别求a，b，c，d的值．
（湖州市竞赛试题）
B 级
1．已知n是正整数，且4216100nn是质数，那么n____________ .
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知三个质数,,mnp的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222mnp＝________ .
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知正数a，b，c满足3ababbcbcacca，则
(1)(1)(1)abc＝_________ . （北京市竞赛试题）
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44xy，因式分解的结果是22()()()xyxyxy，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162xyxyxy，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的第8页/共10页 密码，对于多项式324xxy，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．
（浙江省中考试题）
5．已知a，b，c是一个三角形的三边，则444222222222abcabbcca的值( )．
A.恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负
(太原市竞赛试题)
6．若x是自然数，设4322221yxxxx，则( )．
A. y一定是完全平方数 B．存在有限个x，使y是完全平方数
C. y一定不是完全平方数 D．存在无限多个x，使y是完全平方数
7．方程2223298xxyx的正整数解有( )组．
A.3 B．2 C．1 D．0
（“五羊杯”竞赛试题）
8．方程24xyxy的整数解有( )组．
A.2 B．4 C．6 D.8
（”希望杯”邀请赛试题）
9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？
（美国中学生数学竞赛试题）
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10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333ababcdcd．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：
333331313232，333352525353，333373737474，3333107107103103，…
你能发现以上等式的规律吗？
11.按下面规则扩充新数：
已有a，b两数，可按规则cabab扩充一个新数，而以a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.
现有数1和4，求：
(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
（重庆市竞赛试题） 第10页/共10页
12.设k，a，b为正整数．k被22,ab整除所得的商分别为m，16m.
(1)若a，b互质，证明22ab与22,ab互质；
(2)当a，b互质时．求k的值；
( 3)若a，b的最大公约数为5，求k的值．
（江苏省竞赛试题）
