正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

内蒙古财经大学本科毕业论文

正定矩阵的性质及应用

作 者 郝芸芸

系 别 统计与数学学院

专 业 信息与计算科学

年 级 10级

学 号 3

指导教师 高菲菲

导师职称 讲师

答辩日期

成 绩

内 容 提 要

矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．

关键词：二次型 正定矩阵 判定方法 应用

Abstract

Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at

the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same

time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The

positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving

process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of

general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the

first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its

equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite

matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite

matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part.

This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts:

the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a

number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this

paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application

of positive definite matrices.

Key words: Quadratic form Positive definite matrix Determination method

Application

目 录

引言 ............................................................................................................ 错误!未定义书签。

一、正定矩阵的定义 ................................................................................ 错误!未定义书签。

二、正定矩阵的性质 ................................................................................ 错误!未定义书签。

三、正定矩阵的有关定理 ........................................................................ 错误!未定义书签。

四、正定矩阵的判定方法 ........................................................................ 错误!未定义书签。

（一）定义法 ........................................................................................ 错误!未定义书签。

（二）主子式法 .................................................................................... 错误!未定义书签。

（三）特征值法 .................................................................................... 错误!未定义书签。

（四）与单位矩阵E合同法 ................................................................ 错误!未定义书签。

五、正定矩阵的应用 ................................................................................ 错误!未定义书签。

（一）正定矩阵在不等式中的应用 .................................................... 错误!未定义书签。

（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 ................................ 错误!未定义书签。

总结 ............................................................................................................ 错误!未定义书签。

参考文献 .................................................................................................... 错误!未定义书签。

后记 ............................................................................................................ 错误!未定义书签。

正定矩阵的性质及应用

引言

矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字1,,nXX的正定二次型与n阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．

一、 正定矩阵的定义

定义1[3] 设,1,2,,;ijaijnij均为实常数，则关于n个实变量12,,,nxxx的二次齐次多项式函数

22212111222,,,nnnnfxxxaxaxax121213131,1222nnnnaxxaxxaxx， 1

称为n元实二次型．

定义2[3] 只含有平方项的二次型称为标准形，即

222121122,,,nnnfyyydydydy． 2

定义3[3] 若二次型的标准形中的系数1,2,,idin仅为1,1,0，则此标准形称为二次型的规范形．

定义4 [1] 实二次型12,,,nfxxx称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,nccc，都有12,,,0nfccc； 如果都有12,,,0nfccc，那么12,,,nfxxx称为负定的；如果都有12,,,0nfccc，那么12,,,nfxxx称为半正