2.2 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)

曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3： （c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在 ，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

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年级

高二 学科 数学 版本 通用版

课程标题 选修4-4第二讲参数方程（文）

编稿老师 孙洪成

一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标

1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。

2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。

3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。

4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。

二、重点、难点

重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。

难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。

三、考点分析

高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。

一、知识网络

第2页 版权所有 不得复制 参数方程抛射体运动方程参数方程的概念与意义直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程其他常见曲线的参数方程椭圆抛物线双曲线摆线圆的渐开线“点角式”“点向式”

二、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

说明：

1. 在曲线的参数方程中，如果出现了多个字母，应明确哪个是参数，以及参数的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。

2. 一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以有多个。

3. 某些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。某些动点的普通方程可能根本就找不到，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，但它的普通方程没法直接表示，而参数方程则很容易得出。

1

参数方程

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1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义

2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程

3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

一.参数方程的定义

1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()xftygt；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()xftygt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()xftygt叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．

2．关于参数的说明．

参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．

3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()xftygt，就是参数方程．

2

二.圆的参数方程

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：cossinxrtyrt(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

cossinxartybrt（t为参数）.

三．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为cossinxayb(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．

二 圆锥曲线的参数方程

1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)

2．了解双曲线、抛物线的参数方程．

3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 椭圆的参数方程

阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．

普通方程 参数方程

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 

x＝acos φy＝bsin φ(φ为参数)

y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)  x＝bcos φy＝asin φ(φ为参数)

椭圆 x＝4cos φy＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )

A.45 B.35

C.34 D.15

【解析】 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35.

【答案】 B

教材整理2 双曲线的参数方程

阅读教材P29～P32，完成下列问题.

普通方程 参数方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)  x＝asec φy＝btan φ(φ为参数)

下列双曲线中，与双曲线 x＝3sec θ，y＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A.y23－x29＝1 B.y23－x29＝－1

C.y23－x2＝1 D.y23－x2＝－1

【解析】 由x＝3sec θ得，

x2＝3cos2θ＝3sin2θ＋cos2θcos2θ＝3tan2θ＋3，

又∵y＝tan θ，

∴x2＝3y2＋3，即x23－y2＝1.

经验证可知，选项B合适．

【答案】 B

教材整理3 抛物线的参数方程

阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．

1．抛物线y2＝2px的参数方程是 x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．

2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.