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数学概念应是自然的、清楚的.doc

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数学概念应是自然的、清楚的——谈函数单调性的教学董海涛安徽省阜阳市第三中学（236006 ）概念是反映事物本质属性的思维形式，数学概念是数学的细胞，是数学理论的核心和灵魂，因此，理解和掌握数学概念是提高数学教学质量和教学水平的关键.“函数单调性”是高中数学的核心概念，对刚进入高一学习的学生来说，是至关重要的一节课：学生第一次接触如何严谨地表述数学概念 . 小学、初中阶段，对数学概念几乎都是采用直观地定性描述，如何客观地定量地表述函数单调性，不仅是本节课的难点和重点，还直接关系到学生对数学的认识 . 因此，如何设计问题，自然、清楚地得出函数单调性的形式化定义，体现了教师的教学智慧 . 可惜的是，在实际教学中，我们还是发现对这个核心概念，教学存在的普遍现象：“告诉教学”！不是吗？1.发表于“课例大家评”中的教学案例实录近期某数学专业杂志发表了课例“函数单调性”[1] ，下面实录概念形成环节：“抽象概括，形成概念（为节省篇幅，创设情境，引入课题环节略）教师：我们的任务就是要从以上事实中找到共同的规律，通过提炼总结和抽象概括实现数学化，形成数学概念，基于此构建出系统的数学理论.先看一个大家熟悉的例子，函数 y (x 2)2 2 ,其函数值在哪一段是递增的，在哪一段是递减 .学生：在区间,2 是递减的，在区间2,上是递增的.教师：我们以前研究过许多函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等，都可以从这个角度来进行研究.教师：数学研究讲究的是精细、严谨、规范，像这样通过观察图形直观地进行判断，就显得过于粗略而不符合数学的要求了.学生：递增的意思是指：“函数值随自变量的增大而增大”，递减的意思是指：“函数值随自变量的增大而增大”.教师：有很大的进步，但还不符合要求，必须用自变量和函数值大小变化的关系来刻画“递增”和“递减”.I A ，如果对于I 内教师（给出填空题）：设函数 y f ( x) 的定义域为A，有区间任意两个值 x1, x2，设 x1x2，（横线内的内容为学生所填）（ 1）若都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 f ( x) 在区间I 上是单调增函数， I 是函数 f ( x) 的单调增区间；（ 2）若都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说f(x) 在区间I 上是单调减函数，I 是函数 f ( x) 的单调减区间 .如果 y f ( x) 在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就称函数y f ( x) 在区间 I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. ”（实录完）2.课例中反映出的“快节奏概念教学”令我们遗憾在课例中，学生指出“递增”的意思是“函数值随着自变量的增大而增大”，“递减”的意思是“函数值随着自变量的增大而减少”，这种定性描述是符合学生认知水平的，此时教师的任务是引导学生定量地表示函数图象的这种变化趋势，可惜的是，执教者却生硬地要求学生“必须用自变量和函数值大小变化的关系来刻画递增和递减”，更可怕的是，教师紧接着端出了“函数单调性”的定义，采用的是司空见惯的“填空式”，也就是挖掉概念中关键的字眼，让学生做“填空题”. 老师啊，你这样的概念教学可曾顾及学生的感受：“为什么要这样定义”？“这样定义的目的是什么”？“噢，数学就是这么不讲理，记住定义，会背就行了” ,,执教者如此热衷于快节奏地告诉学生函数单调性定义的目的是什么？在接下来的“思维训练提升能力”环节，我们找到了答案：为大剂量的训练留足时间，试图穷尽题型而提升学生的应试能力 . 课例中，执教者舍弃了“课本基础题” ，而另外给出了 4 个例题 . 借用章建跃博士的一句话，“快节奏的概念教学是造成豆腐渣人才的祸根，是教学大忌”[2].3.对函数单调性的教学设计片断“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的、水到渠成的、浑然一体的” [3] ，而且数学概念还是清楚的. 它的形式化表达不能理解为“无理可说记住就行”数学教师一定要把“讲清楚数学概念”作为一种基本追求.高一学生对函数单调性的认识是有基础的. 初中阶段，已有“函数图象从左向右是上，升（或下降）”的直观感受，这实质是函数单调性的图形语言，进而用文字语言概括为“函数值随自变量的增大而增大（或减少）”. 本节课要研究的是：对这种运动变化的文字语言描述，如何抽象为符号语言表示. 形式化是数学的基本要求，学习形式化的表达更是对学生学习数学的基本要求，也是数学追求严谨和理性精神的必然体现！函数单调性形式化定义的教学中，绝对不能采用简单的填空式教学，粗暴地告知学生了事 . 事实证明，这样“快节奏教学”的后果就是学生只会模仿，不会思考；只懂积累，不懂归纳；只能螺旋，不能上升. 学生能凭感觉知道定义中有哪些关键词，但是对“任意”所承载的“无限”含义，其实是不理解的. “函数单调性理解上的困难在于它的无限背景,, ，迄今为止，在教材和教学中，大多没有明确指出函数单调性中的无限特征，学生只能靠自发感悟其中隐藏的无限背景[5] ”基于以上认识，就“抽象概括形成概念”环节，笔者提供以下教学片断，供参考师：我们先来看几个大家熟悉的函数和它们的图象：①. , ②③.问题 1：这些函数图象有什么共同特征？你能用文字语言描述这些特征吗？生 1：从左向右看，这些函数在指定区间上，图象在上升 . 用文字语言描述就是：函数值f(x) 随着自变量 x 的增大而增大 .师：很好！你能告诉我们这个函数的图象（故意在黑板上画一条貌似上升的曲线），从左向右看是否在上升吗？（学生争论不休，产生了严重的分歧）师：看来，利用函数图象或者文字描述都过于粗略而不能服众啊. 借用古希腊人常说的一句话：我不和你争吵，我算给你看. （学生笑）师：“从左向右看，函数图象在上升”，换句话说，是不是“函数图象上任意两点，右边的点总比左边的点高”？生众：是！师：问题2：以为例（在函数图象上标出点 A 和点 B），你怎么描述右边的点 A 总比左边的点 B 位置高？（见学生茫然，进一步提示）师：在平面直角坐标系中，我们如何刻画点的位置？生众：用点的坐标刻画点的位置！师：下面请大家思考问题3：如何描述点 A 是点 B 右边的点？如何描述点 A 比点 B 的位置高呢？（学生讨论、交流， 5 分钟后有学生要求发言）生 3：设 A B，用说明A是点B右边的点，用说明点 A比点 B 的位置高 .师：非常聪明！用数量关系代替了位置关系. 注意到这里的点A、B 是具体的两点，能这样无限取点说明“函数图象上任意两点，右边的点总比左边的点高”吗？生 4：不能！也穷举不完啊.师：问题的关键就在于如何完成对“所有点”的验证. 即在区间0,上任取x1x2x n，判断总有 f ( x1) f ( x2 ) f ( x n )成立.如何完成这项艰巨的任务？生： ,, （学生沉思. 考虑到学生实际认知能力，由老师揭晓谜底）师：我们可以考虑利用不等式的传递性担当此任！我们知道：如果 a b, b c,则a b c .于是上式中的无限含义就可用下面的形式来完成：在区间内任取变量x1, x2，当x1 x2, 时，总有 f ( x1 ) f ( x2 ) .因为这里的x1 , x2既可以代表x A , x B,也可以代表 x B , x C ，,, ，以此类推出：当x A x B x C 时，总有 f (x A ) f ( x B ) f (x C ) ，说明函数 f (x) x2 , x 0, 图象上任意两点，右边的点总比左边的点位置高.（学生紧锁的眉头舒展了，露出了欣慰的笑容. ）问题 4：反过来，对于任意的x1 , x2 0, ，当 f ( x1) f ( x2 ) 时，都有x1 x2 ，能否说明函数图象上右边的点x1, f (x1) 总比左边的点x2 , f ( x2 ) 位置高呢？生：能！师：此时，我们说函数上是单调递增的，是函数f(x) 的单调增区间. 推而广之，你能用自己的语言给函数f(x) 在区间I 上单调递增下个定义吗？（师生共同完善函数在区间上单调递增的定义，单调递减的定义已水到渠成，由学生独立完成 . 以下教学过程略. ）这样，师生共同经历定义的得出过程，不仅冰释了学生心中的疑团，最重要的是学生经历了数学概念产生的自然过程，感受到了数学严谨、理性的学科精神.4.几点反思章建跃博士说过：“一个处于核心地位的中学数学概念，是中学数学知识结构中的联结点，由其反映的数学思想方法是联系数学知识的强力纽带”[4] ，夸美纽斯在《大教学论》中指出：“如果不教明概念，便是教的不好的”. 如何才是“教明概念”呢？4． 1 数学概念是自然的概念教学中要讲清概念是怎么来的，怎样定义的，为什么可以这样定义. 作为教材，“函数单调性” 定义呈现是直截了当的，但作为课堂教学，教师要凭借自己的教学智慧和对教学内容的理解，对数学概念进行创造性的加工，把原本冰冷的静态的数学概念转化为火热的动态的教学内容，让概念自然地水到渠成地生成，而不是像“魔术师帽子里跳出来的兔子”一样让学生感到突兀和神奇.4.2 数学概念是清楚的数学定义是人为规定的，但人为规定的定义就没道理可说吗？具体到“函数单调性”定义，从直观的图形语言到定性的文字语言，再到抽象的符号语言，形式化地定量描述，概念的发展完善是那么清楚，显示了数学学科严谨的特点，对学生感悟数学、理解数学是很好的素材 . 数学是一门讲推理讲逻辑的学科，数学概念必然是在继承基础上的发展，讲清楚数学概念从哪里来、到哪里去，与以往知识的兼容性如何，是我们一线数学教师义不容辞的职责！没有过程就没有思想，思想寓于过程之中 . 数学概念教学要舍得在过程上下工夫，千万不能在概念教学上采用快节奏，要把概念从哪里来、到哪里去、有什么用、与已有知识的联系与构建过程，通过创设情境，提出问题，自然清楚的呈现出来，这样才是有效的教学，才是生态的教学，才是概念教学的本源！参考文献[1]高敏，黄安成 .课例：函数单调性 [J]. 中学数学教学参考：上旬， 2014 （ 6）： 21-23[2] 章建跃 .再谈什么才是好解题教学[J]. 中小学数学， 2014 （ 5）：封底[3]人民教育出版社课程教材研究所 .普通高中课程标准实验教科书必修① [M]. 北京：人民教育出版社， 2013.[4]章建跃 .中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计研究与实践[J]. 中学数学教学参考 :上旬， 2008 （9 ）： 1-3[5] 张伟平 .从函数单调性的实无限谈起—学生对数学概念中隐含的无限的认识研究[J].数学教育学报， 2008,17 （2）：12-16。

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数学知识大全

数学知识大全

数学知识大全数学作为一门科学，是研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科。

它是现代科学的基础，也是解决实际问题的重要工具。

本文将为您呈现数学知识的大全，包括数学的基础概念、重要定理与公式、数学在实际生活中的应用等方面的内容。

一、数学的基础概念1. 数的分类：自然数、整数、有理数、实数、复数等。

2. 基本运算：加法、减法、乘法、除法，以及它们的性质和规律。

3. 数的因数与倍数：素数、合数、最大公约数、最小公倍数等概念。

4. 数列与级数：等差数列、等比数列、调和级数等。

二、重要定理与公式1. 代数方程：一元一次方程、二次方程等的解法及性质。

2. 解析几何：直线方程、圆方程、曲线的性质等。

3. 三角函数：正弦、余弦、正切等基本概念及相关公式。

4. 极限、导数与积分：函数的极限与连续性、导数的定义与应用、积分的概念与计算方法等。

三、数学在实际生活中的应用1. 金融领域：利息计算、投资收益分析、贷款利率计算等。

2. 统计学：数据收集与分析、概率与统计推断等。

3. 工程学：测量、建模、优化等领域中的数学方法应用。

4. 物理学：运动学、力学、电磁学中的数学描述与计算等。

四、数学的发展与进步1. 古代数学：埃及、希腊、印度等古代文明的数学成就。

2. 近代数学：微积分、解析几何等的发展与应用。

3. 现代数学：集合论、代数学、几何学等的研究进展。

4. 数学思维：数学的逻辑思维、证明方法及与其他学科的交叉等。

五、数学的重要性与学习方法1. 提高思维能力：数学训练可以培养逻辑推理能力和问题解决能力。

2. 学科交叉应用：数学与物理、化学、经济学等学科有着密切的联系。

3. 技术创新：现代科技的发展需要数学方法的应用与推动。

4. 学习方法：培养兴趣、理解概念、掌握基础、多实践与思考等。

六、数学的趣味性与乐趣1. 数学竞赛：参加数学竞赛可以激发学习兴趣与提高水平。

2. 数学游戏：数独、数学趣味题、数学解谜等游戏丰富了学习的方式。

从自然数到无理数的发展历史

从自然数到无理数的发展历史

从自然数到无理数的发展历史数学作为一门学科，其起源可以追溯到史前时期。

然而，数学中一些基本概念的发展历史却可以追溯到古埃及、古希腊和古印度等文明。

本文将从自然数到无理数的发展历史入手，介绍数学基础的发展过程。

1.自然数的起源自然数的概念起源于古埃及。

在公元前3000年左右，古埃及人开始使用一种称为象形数字的符号来表示数量。

随着时间的推移，这些符号逐渐演化为我们今天所熟知的天文数字。

在古希腊时期，数学家开始研究这些天文数字的性质和运算规则，从而形成了自然数的概念。

自然数作为数学中最基本的元素之一，在现代数学中仍然占据着重要的地位。

2.有理数的发现有理数是指具有两个整数因数的数。

在古希腊时期，数学家欧几里得首次提出了有理数的概念。

他发现，只使用自然数和整数无法描述一些现实的量，例如，一个直角三角形的斜边长就无法用自然数或整数来描述。

因此，欧几里得提出了一个新的概念——比例，从而引入了有理数的概念。

在数学和物理学中，有理数被广泛应用于各种比例和比例关系。

3.无理数的挑战无理数是指不是有理数的实数。

在古希腊时期，数学家们发现了一些无法用有理数来表示的长度、角度等量，例如圆弧的长度、正方形对角线的长度等。

这些量的存在给数学带来了极大的挑战，因为它们无法用有限的数字和小数来表示。

为了解决这一挑战，数学家们提出了一个新的概念——无理数。

无理数的提出是数学发展史上的一个里程碑，它突破了有理数的限制，使得数学能够更准确地描述现实世界中的各种量。

4.实数的建立实数的概念是在17世纪由法国数学家笛卡尔提出的。

在笛卡尔之前，数学家们将数分为有理数和无理数两大类。

然而，笛卡尔发现，还存在一种无法用有理数或无理数来表示的数，例如，√2、π等。

这类数的存在说明了一个重要的事实：实数的范围比有理数和无理数都要广泛。

因此，笛卡尔提出了实数的概念，并建立了实数的理论体系。

实数在现代数学和物理学中有着广泛的应用，成为了分析、代数、几何等学科的基础。

数学概念的定义

数学概念的定义

数学概念的定义
数学是一门抽象的科学，用来探索和表达各种数字的关系和概念。

它是一种独特的分析方法，可以帮助我们更容易地理解和解决实践问题。

1. 数：数学中的基本单位，表示某一具体事物的数量。

2. 变量：是一种形式，可以用来代表某一数量未知，一般可以
是确定的量或未知的量。

3. 方程：是用变量来表达一般的关系的形式。

4. 函数：是一种正确的关系，即当变量的值发生变化时，函数
的值也随之改变。

5. 数列：是数字以特定的次序排列而成的有序集合。

6. 代数：是一种表达数量之间关系的一般化数学方法，是一种
形式上可以进行简化和抽象的数学表示法。

7. 统计：是一种统计学理论的研究，用于分析和比较数据的特征。

8. 几何：是数学中的一种描述形状、空间和大小等的学科，使
用几何图形来说明和表示一般的客观现象。

9. 微积分：是一种研究变化率和变化过程的数学理论，是数学
运算的一种方法，用于计算极限、微分、积分和求解微分方程等。

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自然对数的定义及其性质、计算

自然对数的定义及其性质、计算

自然对数的定义及其性质、计算自然对数是数学中一个重要的概念，它常常被用于各种计算和推导中。

在本文中，我们将讨论自然对数的定义、性质，以及如何计算自然对数。

自然对数的定义自然对数是以e为底数的对数函数，其中e是一个常数，它约等于2.71828。

自然对数可以写成下面的形式：ln x其中x是自然数的某个正实数，例如，如果x=2，则ln 2表示以e为底数的对数函数下，2的对数。

自然对数的性质自然对数有几个重要的性质。

下面我们将逐一进行讨论：1. ln(1) = 0这个性质非常重要，因为它表明了自然对数在x=1时的取值。

因为1的对数为0，所以ln(1) = 0。

2. ln(x) = ln(a) + ln(b)这个性质称为自然对数的乘法公式，表明了在对数函数下，两个数相乘等于它们各自的对数相加。

举个例子，如果x=1，a=2，b=3，那么ln(2*3) = ln(2) + ln(3) = ln(6)。

3. ln(x/y) = ln(x) - ln(y)这个性质称为自然对数的除法公式，表明了在对数函数下，两个数相除等于它们各自的对数相减。

4. d/dx ln(x) = 1/x这个性质称为自然对数的导数公式，它表明了在对数函数下，ln(x)的导数等于1/x。

自然对数的计算现在，我们来看看如何计算自然对数。

首先，我们需要知道一些常用的自然对数值。

下面是一些常用的自然对数值及其近似值：ln(1) = 0ln(2) = 0.693ln(3) = 1.099ln(4) = 1.386ln(5) = 1.609ln(6) = 1.792ln(7) = 1.946ln(8) = 2.079ln(9) = 2.197ln(10) = 2.303这些值可以用来计算一些常见的自然对数，例如ln(20)=ln(2*10)=ln(2)+ln(10)=0.693+2.303=2.996。

如果我们需要计算一个非常大或非常小的数的自然对数，我们可以使用泰勒级数来逼近它。