基于问题驱动的方向导数教学设计

第２１卷第４期　２０１８年７月　高等数学研究　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖ０１．２１，ＮＯ．４　Ｊｕｌｙ，２０１８　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１８．０４．００９　

基于问题驱动的方向导数教学设计　

张京良，王　建，赵元章　（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛２６６ｌＯＯ）　

摘　要　对高等数学中方向导数的教学方法进行了研究，根据方向导数的知识结构将教学内容分为了方向导数的　

定义、方向导数与偏导数的关系、方向导数的计算三个模块，对每一模块采用了问题驱动式教学法．教学实践表明，　与传统授课方法相比，采用问题驱动式教学方法除了能达到知识目标即能让学生获得课本知识外，还可以达到能　力目标与情感目标，即变被动接受为主动思考，提高学生的分析问题、解决问题的能力以及加深对数学知识应用性　的了解，提高学生对数学的学习兴趣．　关键词　高等数学；方向导数；教学设计；问题驱动式学习　中图分类号　Ｇ６４２．０　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１８）０４—００３０—０５　

Ｐｒｏｂｌｅｍ－ｂａｓｅｄ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｎ　Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　

ＺＨＡＮＧ　Ｊｉｎｇｌｉａｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｊｉａｎ，ａｎｄ　ＺＨＡＯ　Ｙｕａｎｚｈａｎｇ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｏｃｅａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６１００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｉｓ　ｄｉｖｉｄｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｒｅｅ　ｍｏｄｕｌｅｓ：ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｗｉｔｈ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｐｒｏｂｌｅｍ—ｂａｓｅｄ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｄｅｓｉｇｎ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｅａｃｈ　

ｍｏｄｕｌｅ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ，ｐｒｏｂｌｅｍ—ｂａｓｅｄ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｃａｎ　ｒｅａｌｉｚｅ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｔｈｅ　

ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｔａｒｇｅｔ，ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｔｈｅ　ａｂｉｌｉｔｙ　ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔａｒｇｅｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｅｎｔ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ｔａｒｇｅｔ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｄｅｓｉｇｎ，ｐｒｏｂｌｅｍ—ｂａｓｅｄ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　

１　引言　

方向导数是高等数学中多元函数微分学部分　

的重要内容之一，教材Ｌ１　中多是简单一提研究方　

向导数的必要性，接着直接给出了方向导数的概　念，然后分析方向导数的存在性，进而得到方向导　

数的计算公式．如果采用这样的传统讲授法，学生　学完后对方向导数的计算能够掌握，但对它的本质　

并不理解，进而难以培养他们对数学的学习兴趣．　

收稿日期：２０１７一Ｏ６—２５　修改日期：２０１７—１２—１７　基金项目：２０１５年高等学校大学数学教学研究与发展中心项目；中　国海洋大学本科教育教学研究项目（２０１７ＪＹ１３４）；中国海　洋大学教师教学发展基金（２０１７ｊｘｊｊｌＯ）．　作者简介：张京良（１９７３一），男，山东沂水人，博士，剐教授，研究方　向为密码学理论，Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｊｉｎｇｌｉａｎｇ＠ＯＵＣ．ｅｄｕ．ｃｎ　换句话说，就是教学目标中的知识目标能够达到，　

但能力目标与情感目标就很难达到了．为此，对方　

向导数的教学方法有必要进行研究＿３　］．　我们在教学实践中对方向导数采用了问题驱　

动式教学方法．问题驱动式（Ｐｒｏｂｌｅｍ—Ｂａｓｅｄ　Ｌｅａｒｎ～　

ｉｎｇ，ＰＢＬ）教学法是二十世纪六十年代Ｂａｒｒｏｗｓ等　

在医学教育领域提出的，后来被广泛应用到各个学　科的教学活动中［６］．由于能够较好的克服数学理论　

的抽象性，问题驱动式教学法也被应用到数学课程　

中某些知识的教学中Ｌ７　］．　

问题驱动式教学法强调以学生的主动学习为主，　

而不是传统教学中的以教师讲授为主；强调将教学任　

务分布于问题中，在问题情境中，通过教师的引导，学　

生能主动思维探究；强调通过问题的解决，拓展学生　

知识、提高学生能力、培养学生学习兴趣．

　第２１卷第４期　张京良，王建，赵元章：基于问题驱动的方向导数教学设计　３１　

２教学目标与教学思路　

根据我校高等数学教学大纲，并结合方向导数　

的具体教学内容，制定了如下教学目标：　

【１）知识目标　

理解方向导数的概念，掌握方向导数的计算；　

（２）能力目标　通过分析生活中的具体实例得到方向导数的　

定义来培养学生的抽象概括能力；通过方向导数计　

算公式的推导与各个例题的讲解来培养学生的逻　

辑推理能力．　

（３）情感目标　

通过问题解决过程中对极限思想与例证法的　

强调来提高学生的数学素养；通过方向导数在实际　

生活中的应用来培养学生对数学知识应用性的了　

解，激发学生对数学学习的兴趣．　

为了实现上述目标，我们对教学过程进行了设　

计．根据教学内容的知识结构以及学生对知识的认　

知规律，教学中使用了模块式教学——将本节知识　

分为了方向导数的定义、方向导数与偏导数的关　

系、方向导数的计算三个模块，对每一模块采用问　

题驱动式教学法，得到了如下教学思路：　

（一）引入生活中遇到的两个实际问题　引　

导分析　归纳总结　得出方向导数的定义；　

（二）提出沿坐标轴正向或负向的方向导数问　

题［　引导分析亡＝＝　归纳总结　得出方向导数与　

偏导数的关系；　

（三）提出方向导数的存在性问题［　引导分析　

得出方向导数的计算公式　归纳总结　举　

例与思考．　

３　教学过程　

３．１第一模块：方向导数的定义　

（１）问题的引入　引例１　山坡陡峭度问题．我们在登山时，经常　

遇到山坡．山坡太陡时，我们就选一个坡度比较缓　

的路线．问：某一点处山坡的陡峭程度在数学上怎　

么刻画？　解如图１所示，建立坐标系，山坡用曲面表　示，设其方程为ｚ＝ｈ（ｘ，　）．Ｐ。（　。，Ｙ。，ｚ。）为山坡上　

一点，下面求Ｐ０处的陡峭度．　

．ｙ　

图１　

在Ｐ０附近取曲面上一点Ｐ（ｚ，Ｙ，２）．设线段　

Ｐ。Ｐ在ｘｏｙ坐标平面上的投影为ＡＢ，过Ｐ。作ＡＢ　

的平行线交ＰＢ于Ｑ，设　ＰＰ。Ｑ＝　，则Ｐ。Ｐ的斜　

率ｔａｎＯ可表示Ｐ。Ｐ之间山坡的平均陡峭度，从而点　

Ｐ。处沿Ｐ。Ｐ方向的陡峭度为ｌｉｍｔａｎＯ，由图一可以　

看出：　

溉ｔａｎＯ＝溉器一　

：ｌｉｍ　墼三　Ｐ＿．Ｐｏ￣／（　）　＋（△　）。　

一ｌｉｍ垒　！　）二垒！兰　！　。　一ｏ＋Ｐ　故山坡ｚ＝ｈ（ｚ，　）上Ｐ。点处沿Ｐ０Ｐ方向的陡峭度　

可以用１ｉｍ　三　表示，其中　０　Ｐ　｜Ｄ：￣／（△　）。＋（△　）　．　

注求解过程中要强调解决问题的思想——　

极限思想，以培养学生的数学素养．　

引例２温度变化度问题．如图２，设平面上有　

一铁板，黑点表示一热源，铁板上有一蚂蚁．蚂蚁感　

觉到发烫时就会逃走．问：沿蚂蚁逃跑的某个方向　

铁板温度变化度如何表示？　

图２　一　ｊ　｜‘　

圈３　

解

如图３，建立坐标系．设铁板受热后的温度　３２　高等数学研究　２０１８年７月　

函数为ｚ一１’（ｚ，　）．假设蚂蚁沿ＰｏＰ方向由Ｐｏ（ｚｏ，　Ｙ。）点逃跑至Ｐ（ｘ，　）点，则Ｐ。Ｐ　Ｉ；７的平均温度变化　

度为！　，从而在点Ｐ。处沿Ｐ。Ｐ　

方向的温度变化度为　

姆　

一ｌｉｍ！　

Ｔ（ｘ，３，）一Ｔ（ｘ０，Ｙ０）　ｏ　ｌＤ　故铁板上Ｐ０点处沿Ｐ。Ｐ方向的温度变化度可以用　

ｌｉｍ　Ｔ（ｘ，　）一Ｔ（ｘｏ，Ｙ０）　口　ｏ十　Ｐ　表示，其中｜Ｄ一￣／（△ｚ）　＋（△　）　．　

注求解过程中要强调解决问题的思想——　极限思想，以培养学生的数学素养．　

（２）引导分析　

引例１中，要求一点处的陡峭度，先求出平均陡　

峭度，再用极限思想求出这一点处的陡峭度，最后　

结果是沿某个方向的函数值变化率的极限；引例２　

中，要求一点处的温度变化度，先求出平均温度变　

化度，再用极限思想求出这一点处的温度变化度，　

最后结果也是沿某个方向的函数值变化率的极限．　

发现这两个不同问题的．解决方法相同，最后得到的　

结果形式也类似．　

（３）归纳总结　

类似上面两个问题的实例还有很多，如研究电　

场时考虑电压沿不同方向的变化、天气预报中需要　研究气压沿不同方向的变化等等，这一类问题解决　

方法相同——都是先求某个量的平均值，再利用极　

限思想得到某一点处的精确值；最后结果形式类　似——都是沿某个方向的函数值变化率的极限．故　

对这一类问题进行概括归纳，总结出其共性，并加　

以抽象，就得到了一个新的概念，称为方向导数．　

（４）方向导数的定义　

只需要把上述一类问题的共性描述出来即可，　

共性为：一个函数、一个方向、一个极限．具体为：　定义　如图４所示，设Ｚ是ｘｏｙ平面上以Ｐ。　

（．ｚ。，　ｏ）为始点的一条射线，函数ｚ—ｆ（ｘ，　）在点　

Ｐ０（ｚｏ，Ｙ。）的某一邻域Ｕ（Ｐ。）内有定义，Ｐ（　，　）∈　Ｕ（Ｐ。）为ｚ上另一点．令ｐ一、／，　干　，如果　

极限ｌｉｍ　三　生　存在，则称此极限为函　ｏ　Ｐ　数ｆ（　，Ｙ）在点Ｐ。沿方向ｌ的方向导数，记作　

３１　３１　一　—ｌｉｍ　！兰：　）二　！　．　Ｙｏ　ｒｏ　ＪＤ　

，　

图４　

注１　有了这个定义后，引例１中山坡上Ｐ。点　

处沿Ｐ。Ｐ方向的陡峭度就是山坡函数　—ｈ（ｚ，　）　

在Ｐ。点处沿Ｐ。Ｐ方向的方向导数；引例２中铁板　

上Ｐ。点处沿Ｐ。Ｐ方向的温度变化度就是温度函数　

ｚ—Ｔ（ｘ，　）在Ｐ。点处沿Ｐ。Ｐ方向的方向导数．　注２　强调所用定义方法，培养学生数学素　

养——方向导数所用的定义方法是对一类问题概　

括出共性、加以抽象，从而形成一个数学概念，这种　

定义方法以前遇到过，如导数定义、定积分定义、广　

义积分定义等，以后还将继续使用，如重积分的定　

义、曲线积分的定义、曲面积分的定义等．　

３．２第二模块：方向导数与偏导数的关系　

（１）问题引入　

舅ｌ　指的是函数ｚ一厂（ｚ，　）在点Ｐｏ（Ｘｏ，ｙｏ）　

沿方向ｚ的方向导数，如果取方向ｚ为坐标轴正向　

或负向，则方向导数怎样呢？　

（２）引导分析　若取方向为ｚ轴正向，则Ａｙ一０，ｐ：　

￣／（△　）。＋（△　）　一Ａｘ，从而方向导数：　

ａ厂Ｉ　３ｌ　ｌ（　。　一Ｉｉｍ　！　二　！　Ｙｏ）　ｏ’。　ｌＤ　

＝一ｌｉｍ　＋　．　△ｚ—－０。　‘‘＾，　如果函数２一ｆ（ｘ，　）在点Ｐ。（　。，Ｙ。）的偏导数　

存在，则由单侧极限与双侧极限的关系知　

Ａｘ　一　；３ｘ　＇Ｙｏ　，　△　ｏ＋　ｌ‘