线性代数知识点总结

1 线性代数知识点总结

第一章 行列式

一要点

1、二阶、三阶行列式

2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n阶行列式的定义

3、行列式的性质

4、n阶行列式ijaD;元素ija的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理

5、克莱姆法则

二基本要求

1、理解n阶行列式的定义

2、掌握n阶行列式的性质

3、会用定义判定行列式中项的符号

4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即

11jiAa22jiAajijiDAajnin 0

jiAa1122ijaAjijiDAanjni 0

5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：

归化为上三角或下三角行列式;

各行列元素之和等于同一个常数的行列式;

利用展开式计算

6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论

会用克莱姆法则解低阶的线性方程组

7、了解n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件

第二章 矩阵

一要点

1、矩阵的概念

nm矩阵nmijaA)(是一个矩阵表..当nm时;称A为n阶矩阵;此时由A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式;称为矩阵A的行列式;记为A.

注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..

2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法

2 1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..

如果两矩阵A与B相乘;有BAAB;则称矩阵A与B可换..

注：矩阵乘积不一定符合交换

2方阵的幂：对于n阶矩阵A及自然数k;

个kkAAAA

规定IA0;其中I为单位阵 .

3 设多项式函数kkkkaaaa1110)(;A为方阵;矩阵A的多项式IaAaAaAaAkkkk1110)(;其中I为单位阵..

4n阶矩阵A和B;则BAAB.

5n阶矩阵A;则AAn

4、分块矩阵及其运算

5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A的伴随矩阵记为*A;

EAAAAA**

矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..

6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..

7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩

8、矩阵的等价

二要求

1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等

2、了解几种特殊的矩阵及其性质

3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质

4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵

5、了解分块矩阵及其运算的方法

1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..

2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如nmA;lnB;将矩阵B分块为

) (21lbbbB;其中jblj 2, ,1是矩阵B的第j列;

则

3 AB) (21lbbbA) (21lAbAbAb

又如将n阶矩阵P分块为) (21npppP;其中jpnj 2, ,1是矩阵P的第j列.

nP 0 0 00 0 00 0 0

21 ) (21nppp

n 0 0 00 0 00 0 0

21) (2211nnppp

3设对角分块矩阵

SSAAAA

2211;),2,1(sPAPP均为方阵;

A可逆的充要条件是PPA均可逆;sP,2,1;且

11221111

ssAAAA

6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵

7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论

8、若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B;则称矩阵A和矩阵B等价;记为BA.

nm矩阵A和B等价当且仅当)()(BrAr;在等价意义下的标准型：若rAr)(;则

rDA;0 00 rrID;rI为r阶单位矩阵..

因此n阶矩阵A可逆的充要条件为nIA..

第三章 线性方程组

一要点

1、n维向量；向量的线性运算及其有关运算律

记所有n维向量的集合为nR;nR中定义了n维向量的线性运算;则称nR为 n维向

4 量空间..

2、向量间的线性关系

1线性组合与线性表示；线性表示的判定

2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定

3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法

1设有两个向量组

,1,2s )(A

,1,2t )(B

向量组)(A和)(B可以相互表示;称向量组)(A和)(B等价..向量组的等价具有传递性..

2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系

5、线性方程组的求解

1线性方程组的消元解法

2线性方程组解的存在性和唯一性的判定

3线性方程组解的结构

4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法

5非齐次方程组解的求法

二要求

1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律

2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念

3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理

4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法

5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法

6、会用消元法解线性方程组

7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法

8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法

9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法

第四章 矩阵的特征值与特征向量

一要点

1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质

2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件

5 3、实对称矩阵的特征值和特征向量

向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化

二要求

1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质

2、掌握特征值与特征向量的求法

3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质

4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法

5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..

第五章 二次型

一要点

1、二次型与对称矩阵：

二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系

2、二次型与对称矩阵的标准形

配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形

3、二次型与对称矩阵的有定性

二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定

二要求

1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..

2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型

3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..