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解直角三角形的应用 (4)

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三、解答题

1. （2014山东省莱芜市，20，9分）如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）

（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47,tan50°≈1.20）

50°62°(第20题图)ADCB

【答案】解：过点A作BC的垂线交BC于点E . 在Rt△ABE中，AB＝25,∠ABC＝62°，

∴AE＝25sin63°＝25×0.88＝22.

BE＝25cos62°＝25×0.47＝11.75.

在Rt△ADE中，AE＝22,tan50°＝1.20 ∴DE＝22=18.33tan501.20AE

∴DB=DE-BE=18.33-11.75=6.58米

答：应将坝底向外拓宽6.58米 .

2. （2014山东省枣庄市，21,8分）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转350到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为250，点D到点O的距离为30cm.

（1）求B点到OP的距离.

（2）求滑动支架的长.

【答案】

（1）设B点到OP的距离为x，可列方程得：3055tan25tan00xx， E 50°62°(第20题图)ADCB解得：x=43.1147.0130≈11（cm）．

（2）BD=2642.01142.0x（cm）．

3. （2014甘肃省白银市，22，8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）

（1）求车架档AD的长；

（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．

考点： 解直角三角形的应用．

分析： （1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．

（2）过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．

解答： 解：（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm

∴AD==75（cm），

∴车架档AD的长是75cm；

（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，

∵AE=AC+CE=（45+20）cm，

∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm），

∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．

点评： 此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

4. （2014山东潍坊，21，10分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．

【答案】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD延长线于点F，

则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF，AE=BF，

由题意可知AE=BF=1100－200=900，CD=19900，

∴在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=900，

∴CE=CAEtan=45tan900=900

在Rt△BFD中，∠BDF=60°，BF=900，

∴DF=BDFBFtan=60tan900=3300，

AB=EF=CD+DF－CE=19900+3300－900=19000+3300

答：两海岛间的距离AB是(9000+3300)米．

5. （2014云南省，21，6分）如图，小明在M处用高1米（DM＝1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请你求出旗杆AB的高度。（取31.73，结果保留整数）

【答案】解：设：BE为x， A B C D

A B C D E F 在Rt△BED中，tan∠BDE＝BEDE,即33BEDE,∴3DEBE

在Rt△BEC中，tan∠BCE＝BECE,即3BEDE,∴33CEBE

∵CD＝ED－EC

∴3BE－33BE＝10, EB＝53

∴AB＝BE＋AE＝53＋1

∴旗杆AB的高度为53＋1米

8. （2014湖北荆门 20，10分）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．

(参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72)

【答案】过C作CD⊥AB于D，设CD＝h(海里)，两船从A，B到C的时间分别是t甲、t乙(小时)，则∠ACD＝59°，∠CBD＝90°－44°＝46°．在Rt△ACD中，cos59°＝CDAC＝hAC＝0.52，则AC＝0.52h．在Rt△BCD中，sin46°＝CDBC＝hBC＝0.72，则BC＝0.72h．∴t甲＝20AC＝0.5220h＝10.4ht乙＝18BC＝0.7218h＝12.96h．∵12.96＞10.4，

∴t甲＞t乙，即乙船先到达C处．

9.（2014湖北荆门 24，12分）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA＝3，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP＝3．若点E是CD边上一动点(点E与C，D不重合)，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE＝x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

(1)求证：四边形ABHP是菱形；

(2)问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

(3)求S与x之间的函数关系式，并直接写出．．．．FG与⊙O相切时，S的值．

A B C

D F

E

O

P H

M T G N

24题答案图② P(P1) A B C

D F

E

O H R R1

Q M(M1)

24题答案图① A B C

D F E

O

P H

M G

A B C

D O H

M

图① 图②(备用图)

第24题图 A D B C

北 北

59°

20题答案图 44° A B C

北 北

59°

第20题图 44°

钓鱼岛 【答案】(1)连结OH，如图①．∵AB∥HP，∠BAD＝90°，∴AQ⊥HP．而AM是直径，∴HQ＝12HP＝32．在Rt△OHQ中，sin∠HOQ＝HQOH＝32×13＝32，∴∠HOQ＝60°，则∠OHQ＝30°，∠APH＝60°．又BD与⊙O相切，∴∠QHD＝90°－∠OHQ＝60°．∴∠APH＝∠QHD．∴AP∥BH．又∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．由AB⊥AM，AM是直径知AB是⊙O的切线，而BD也是⊙O的切线，∴AB＝BH．∴四边形ABHP是菱形．(注：其它方法，请参照给分) (2)G点能落在⊙O上，如图①．方法一：过C作射线CR⊥EF交EF于R，交AD于M1，交BD于R1，交AP于P1，则C关于EF对称点G在射线CR上．当G点落在M1上时，M1E＝CE＝x，AB＝CD＝HP＝3，AD＝AB·tan60°＝33，ED＝CD－CE＝3－x．在Rt△M1DE中，cos60°＝1EDME＝3xx＝12．解得x＝2．sin60°＝11MDME＝1MDx＝32，∴M1D＝3．而MD＝AD－AM＝3，∴M1与M重合．∴M在CP1上，则MP1⊥AP，而MP⊥AP，∴P与P1重合，这校射线CR与⊙O交于M，P．由AP∥BD，CP⊥AP，CR1＝PR1，知C与P关于BD对称．因为点E不与点D重合，故点G不可能落在P点．∴点G只能落在⊙O的M点上，此时x＝2．方法二：连结CM，PM，如图①，由(1)知∠AMP＝∠APH＝60°，tan∠CMD＝CDMD＝33＝3．∴∠CMD＝∠AMP＝60°．∴C，M，P三点共线．∵∠BDA＝30°，∴CM⊥BD．而BD∥EF，∴CM⊥EF，点C关于EF的对称点G落在CP上．又∵点P到BD的距离等于点C到BD的距离(即点A到BD的距离)，EF与BD不重合，∴点G不能落在P点，能够落在⊙O上的M点．当点G落在⊙O上的M点时，ME＝CE＝x，在Rt△MDE中，x＝sin60MD＝3×23＝2．∴点G落在床⊙O上的M点，此时x＝2．方法三：证法略．提示：过C作C′P⊥AP于P′，交BD于R′，可求CP′＝2CR′＝33，PM＋CM＝33，则CP′＝CM＋MP，从而C，M，P三点共线，x的值求法同上．(3)由(2)知：①当点G在CM上运动时，0＜x≤2，S＝12x·3x＝32x2．②当点G在PM上运动时，2＜x＜3，设FG交AD于T，EG交AD于N，如图②，则：EG＝CE＝x，ED＝3－x，S△EFG＝12CE·CF＝32x2．NE＝sin30ED＝6－2x，GN＝GE－NE＝3x－6．∵TG＝GN·tan30°＝(3x－6)×33＝3x－23．S＝S△EFG－S△TGN＝32x2－332x2＋63x－63＝－3x2＋63x－63．综上所述，S＝223(02),236363(23).xxxxx≤当FG与⊙O相切时，S＝3136－6．

10. （2014陕西省，25，12分）

问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．假如BC边上存有点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD，并求出此时BP的长；

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存有一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员项在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB．现在要使∠AMB大约为60°，就能够让监控装置的效果达到最正确．已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存有点M，使∠AMB=60°?若存有，请求出符合条件的DM的长；若不存有，请说明理由．

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解直角三角形的应用 分类

解直角三角形的应用 分类

解直角三角形的应用

一、 关于坡度问题、

1、（2009•深圳）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1：3 ，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC的高度．

2、2009•山西）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，2≈1.41， 3≈1.73

3、（2009•本溪）如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.41， 3≈1.73 62.4）

4、2008•泰州）如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1：1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

5、（2008•怀化）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长51062 m，坡度i=9：5．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；

解直角三角形的实际应用题的解题步骤

解直角三角形的实际应用题的解题步骤

解直角三角形的实际应用题的解题步骤

解直角三角形的实际应用题的解题步骤

1. 引言

直角三角形是高中数学中的重要概念之一，其解题方法和应用广泛存在于实际生活中。本文将以解直角三角形的实际应用题为主题，通过深度和广度的分析，帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。

2. 实际应用题的意义和背景

实际应用题是数学知识在实际问题中的运用，对于培养学生的问题解决能力和应用能力至关重要。解直角三角形的实际应用题有助于学生将抽象的数学概念和具体的实际问题进行联系，培养他们的分析和推理能力。

3. 解题步骤的概述

解直角三角形的实际应用题可以分为以下几个步骤：求两个已知角度的第三个角度、确定已知角度的对边、确定未知角度的对边、求斜边、求面积等。

4. 具体步骤的详解

（1）求两个已知角度的第三个角度：根据直角三角形的性质，在直角三角形中，三个角的和为180度。通过已知的两个角度，我们可以求得第三个角度，从而建立起直角三角形的坐标系。

（2）确定已知角度的对边：根据已知角度可以确定相应的直角三角形边长比例关系。通过题目中给出的已知角度和对边的长度比例，我们可以推导出未知角度的对边的长度。

（3）确定未知角度的对边：根据已知角度的对边和比例关系，可以推导出未知角度的对边与已知对边之间的比例关系。通过这个比例关系，我们可以求得未知角度对应的对边长度。

（4）求斜边：已知两个直角三角形的边长，可以利用勾股定理来求解斜边的长度。根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

（5）求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式来求解三角形的面积。直角三角形的面积等于两个直角边长度的乘积的一半。

5. 个人观点和理解

直角三角形的实际应用题在我们的日常生活中具有广泛的应用，例如在建筑、导航、物理等领域。解题过程中，我们需要根据已知条件进行分析，应用数学知识和技巧来推导出未知的数据，从而解决实际问题。通过解题过程中的分析和推理，我们还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

初三数学解直角三角形的应用题

初三数学解直角三角形的应用题

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Word 资料 解直角三角形应用题

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下：

BC=21AB

∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

可表示如下： CD=21AB=BD=AD

D为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90° BDADCD2

 ABADAC2

CD⊥AB ABBDBC2

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

ABCD=ACBC

考点二、直角三角形的判定 （3~5分）

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分）

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA

解直角三角形在实际生活中应用

解直角三角形在实际生活中应用

解直角三角形在实际生活中应用

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离

直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题

直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离

在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。 四、导航和定位

直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题

在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题

在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。