2019-2020学年四川省成都市树德中学高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
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2019-2020学年四川省成都市树德中学高一(下)期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知非零实数a，b满足𝑎<𝑏，则下列不等式中一定成立的是( )
A. 𝑎+𝑏>0 B. 1𝑎>1𝑏
C.
𝑎𝑏<𝑏2 D. 𝑎3−𝑏3<0
2. 在坐标平面内，与点𝐴(1,2)的距离为2，且与点𝐵(4,−2)的距离为3的直线共有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3. 若𝑠𝑖𝑛𝛼=513，𝛼为第二象限角，则tan𝛼2的值为( )
A. 5 B. −5 C. 15 D. −15
4. 在平面直角坐标系内，设𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)为不同的两点，直线l的方程为𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0，𝛿1=𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐，𝛿2=𝑎𝑥2+𝑏𝑦2+𝑐.有四个命题：
①若𝛿1𝛿2>0，则点M、N一定在直线l的同侧；
②若𝛿1𝛿2<0，则点M、N一定在直线l的两侧；
③若𝛿1+𝛿2=0，则点M、N一定在直线l的两侧；
④若𝛿12>𝛿22，则点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离．
上述命题中，全部真命题的序号是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
5. 如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为( )
A. √3 B. 2√33 C. 4√33 D. 2√3
6. 已知数列{𝑎𝑛}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式不可以作为数列{𝑎𝑛}的通项公式的一项是( ) A. 𝑎𝑛=1+(−1)𝑛+1 B. 𝑎𝑛=2𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋2
C.
𝑎𝑛=1−cos 𝑛𝜋 D. 𝑎𝑛={2,𝑛为奇数0,𝑛为偶数
7. 下列命题中假命题是( )
A. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
D. 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行
8. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑏𝑎，则△𝐴𝐵𝐶是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
9. 设偶函数𝑓(𝑥)，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥3−8，则{𝑥|𝑓(𝑥−2)>0}=( )
A. {𝑥|𝑥<−2或𝑥>4} B. {𝑥|𝑥<0或𝑥>4}
C. {𝑥|𝑥<0或𝑥>6} D. {𝑥|𝑥<−2或𝑥>2}
10. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是{𝑥=𝑡+1𝑦=𝑡−3(𝑡为参数)，圆C的极坐标方程是𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. √14 B. 2√14 C. √2 D. 2√2
11. 已知{𝑎𝑛}是公差不为0的等差数列，𝑎1=3，现将数列{𝑎𝑛}的各项依次放入如图表格中，其中第1行1项，第2行2项，…，第n行2𝑛−1项，记第n行各项的和为𝑇𝑛，且𝑇1，𝑇2，𝑇3成等比数列．数列{𝑎𝑛}的通项公式是( )
A. 𝑎𝑛=2𝑛+1 B. 𝑎𝑛=3𝑛 C. 𝑎𝑛=4𝑛−1 D. 𝑎𝑛=2𝑛−1
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为12，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A. 203
B.
253 C. 4 D. 6
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点P为椭圆𝑥2+4𝑦2=16上，则点P到直线𝑦=𝑥−5的最短距离为______ ．
14. 已知各项全不为零的数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=13𝑎𝑛𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，其中𝑎1=1.则𝑎𝑛= ．
15. 已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若P为底面𝐴1𝐵1𝐶1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为______．
16. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑥−𝜋3)在区间(0,𝜋2)内有且只有一个最值点，则𝜔的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. (1)求过点(1,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程
(2)求到直线2𝑥+3𝑦−5=0和4𝑥+6𝑦+8=0的距离相等点的轨迹．
18. 下雨时，用上口直径为32cm，底面直径为24cm，深为35cm的水桶盛水，如果积水达到桶深的14处．问降雨量是多少毫米？(降雨量=积水体积进水口面积)
19. 党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数．从2018年初开始，若该村抽出4x户(𝑥∈𝑍,1≤𝑥≤12)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高𝑥20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3−15𝑥)万元．
(参考数据：1.123=1.404，1.153=1.520，1.183=1.643，1.23=1.728)．
(1)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；
(2)至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(即每户(水果种植农户)年均纯收入不低于1.6万元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
20. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=2，𝑐=√2，𝑐𝑜𝑠𝐴=−√24，求：
(1)𝑠𝑖𝑛𝐶；
(2)𝑏和三角形△𝐴𝐵𝐶的面积．
21. 已知四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是正方形，𝑆𝐴⊥底面ABCD，𝑆𝐴=𝐴𝐵=𝐴𝐷=2，
E是SC的中点．
(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角；
(Ⅱ)求二面角𝐵−𝑆𝐶−𝐷的大小．
22. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2，𝑎𝑛+1=2(𝑛+2)𝑛+1𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)
(𝐼)求{𝑎𝑛}的通项公式；
(𝐼𝐼)设{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，证明：1𝑆1+1𝑆2+1𝑆3+⋯+1𝑆𝑛≤𝑛𝑛+1．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：
本题考查不等式的性质及比较大小，属于基础题．
利用已知条件，结合不等式的性质即可求解．
解：对于A：若𝑎=−4，𝑏=3，则𝑎+𝑏<0，∴𝐴不对．
对于B：若𝑎<0<𝑏，则1𝑎<1𝑏，∴𝐵不对．
对于C：∵𝑎<𝑏，若𝑏<0，则𝑎𝑏>𝑏2，∴𝐶不对．
对于D：∵𝑎<𝑏，∴𝑎3<𝑏3，即𝑎3−𝑏3<0，∴𝐷对．
故选D．
2.答案：C
解析：解：根据题意，设圆A的圆心为𝐴(1,2)，半径𝑅=2，圆B的圆心为𝐵(4,−2)，半径𝑟=3，
两圆圆心距|𝐴𝐵|=√9+16=5=𝑅+𝑟，
则圆A与圆B外切，两圆有3条公切线，
故与点𝐴(1,2)的距离为2且与点𝐵(4,−2)的距离为3的直线共有3条；
故选：C．
根据题意，设圆A的圆心为𝐴(1,2)，半径𝑅=2，圆B的圆心为𝐵(4,−2)，半径𝑟=3，分析可得两圆外切，即可得两圆共切线的条数，即可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆公切线数目的问题，属于基础题．
3.答案：A
解析：
本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围，三角函数的符号的选取，是解好本题的关键．
利用角的范围求出𝑐𝑜𝑠𝛼，然后利用半角公式求出tan𝛼2的值．
解：𝑠𝑖𝑛𝛼=513，𝛼是第二象限角，所以𝑐𝑜𝑠𝛼=−1213，𝛼2在一、三象限， 所以tan𝛼2=√1−𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑐𝑜𝑠𝛼=√1+12131−1213=5，
故选A．
4.答案：B
解析：解：在平面直角坐标系内，设𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)为不同的两点，
由直线l的方程为𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0，𝛿1=𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐，𝛿2=𝑎𝑥2+𝑏𝑦2+𝑐.知：
若𝛿1𝛿2>0，则点M、N一定在直线l的同侧，故①正确；
若𝛿1𝛿2<0，则点M、N一定在直线l的两侧，故②正确；
若𝛿1+𝛿2=0，则点M、N在直线l的两侧或在直线上，故③不正确；
若𝛿12>𝛿22，则点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离，故④正确．
故选B．
结合题设条件，利用线性规划知识，能够推导出正确结果．
本题考查命题的真假的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意线性规划问题的合理运用．
5.答案：C
解析：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，其直观图如图所示；
且该三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，其高为2，
∴该几何体的体积为
𝑉几何体=12×22×𝑠𝑖𝑛60°×2−13×12×22×𝑠𝑖𝑛60°×2=4√33．
故选：C．
根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，画出直观图，求出它的体积．
本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
6.答案：B
解析：解：对于A，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故A正确；
对于B，n分别取1，2，3，4，前4项分别为2，0，−2，0，不满足前4项分别为2，0，2，0，故B不正确；
对于C，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故C正确；
对于D，n分别取1，2，3，4，满足前4项分别为2，0，2，0，故D正确；
故选B．
