第３６卷第３期 浙江师范大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．３６，Ｎｏ．３ ２０１３年８月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．） Ａｕｇ．２０１３
文章编号：１００１－５０５１（２０１３）０３－０２６３－０７
带约束向量优化问题的二阶最优性条件
冯燕燕，仇秋生
（浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华３２１００４）
摘要：在实的Ｈａｕｓｄｏｒｆ局部凸空间中，利用二阶不变凸函数得到向量优化问题的弱有效解、Ｈｅｉｎｇ有效解、 超有效解的充分性条件；给出了这几种解和鞍点之间的关系；最后，讨论了相应的对偶问题． 关键词：最优性条件；二阶不变凸函数；有效解；鞍点；对偶 中图分类号：Ｏ２２４ 文献标识码：Ａ
Ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ
ｖｅｃｔｏｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ
ＦＥＮＧ Ｙａｎｙａｎ， ＱＩＵ Ｑｉｕｓｈｅｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｗｓ－Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｍｉ￣，Ｊｉｎｈｕａ Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３２１００４。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｉｎ ｌｏｃａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｘ ｒｅａｌ Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ ｓｐａｃｅ ｗａｓ ｄｉｓ—
ｃｕｓｓｅｄ．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｗｅａｋｌｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，Ｈｅｎｉｇ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｓｕｐｐｅｒ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｏｌｕ—
ｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｉｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｓｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ
第５０卷第２期 ２０１２年３月 吉林大学学报（理学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．５０ Ｎｏ．２ Ｍａｒ ２０１２
约束集值优化问题的二阶最优性条件
寇喜鹏，彭兴媛，朱胜坤 （重庆大学数学与统计学院，重庆４０１３３１）
摘要：给出集值映射二阶导数的定义，并讨论了其相关性质．运用此二阶导数及二阶相依导
数，建立了约束集值优化问题的二阶必要最优性条件．在有限维空间中得到了约束集值优化 问题的二阶充分最优性条件． 关键词：二阶相依集；渐近二阶相依导数；集值优化；最优性条件 中图分类号：０２２１．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－５４８９（２０１２）０２－０２４４－０７
Ｓｅｃｏｎｄ－Ｏｒｄｅｒ Ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ
Ｓｅｔ－Ｖａｌｕｅｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＫＯＵ Ｘｉ—ｐｅｎｇ，ＰＥＮＧ Ｘｉｎｇ—ｙｕａｎ，ＺＨＵ Ｓｈｅｎｇ・ｋｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０１３３１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｆｏｒ ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ ｍａｐｓ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｂｙ
ｍｅａｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｎｄ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｓｏｍｅ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｅｔ・ｖａｌｕｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｎｄ ｓｏｍｅ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｅｔ－－ｖａｌｕｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ・－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｎｏｒｍｅｄ ｓｐａｃｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｓｅｔ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
最优化问题的建模与解法
最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模
最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义
目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：
max f(x)
其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：
min f(x)
2. 约束条件的确定
约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：
g(x) ≤ 0 h(x) = 0
其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：
g(x) ≤ 0, h(x) = 0
3. 变量范围的设定
对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法
最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法
数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。其中，常见的数学方法包括：
（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。最优性条件包括可导条件、凸性条件等。 （2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
.
教育资料 1 2
(
(
⎨ 最优化方法部分课后习题解答
1.一直优化问题的数学模型为： 习题一
min f (x) = (x − 3)2 + (x − 4)2
⎧g (x) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 1 1 2 2 ⎪
试用图解法求出： s.t. ⎨g2 (x) = −x1 − x2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g4 (x) = x2 ≥ 0
（1） 无约束最优点，并求出最优值。
（2） 约束最优点，并求出其最优值。
（3） 如果加一个等式约束 h(x) = x1 − x2 = 0 ，其约束最优解是什么？
*
解 ：（1）在无约束条件下， f(x) 的可行域在整个 x1 0x2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）
时， f(x) 取最小值，即，最优点为 x* =（3，4）：且最优值为： f (x* ) =0
（2）在约束条件下， f(x) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点 (x1 , x2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可
以看出，当 x* =
15 , 5 ) 时， f(x) 所在的圆的半径最小。
4 4
⎧g (x) = x − x − 5 = 0
⎧ 15
⎪x1 =
其中：点为 g1 (x) 和 g2 (x) 的交点，令 ⎪ 1 1 2 ⎨ 2 求解得到： ⎨ 4 5
即最优点为 x* = ⎪⎩g2 (x) = −x1 − x2 + 5 = 0
15 , 5 ) ：最优值为： f (x* ) = 65 ⎪x = ⎪⎩ 2 4
4 4 8
（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优
化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.
