2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟试题及答案解析
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若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 最新高三校内第一次模拟考数学试题
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.抛物线22xy的焦点坐标是（ ）
A．(1,0) B.(1,0) C.1(0,)2 D.1(0,)2
2．设复数z满足ii21z，则 z=( )
A.i2 B.i2 C.i2 D.i2
3.下列结论正确的是( )
A.若向量//abrr，则存在唯一的实数λ使得aλbrr
B.已知向量,abrr为非零向量，则“,abrr的夹角为钝角”的充要条件是“0ba”
C.命题：若12x，则1x或1x的逆否命题为：若1x且1x，则21x
D.若命题012xxxP,R:，则012xxxP，R:
4.设集合}0,0)6103(|{02xxdtttxP，则集合P的非空子集个数是( ) 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ A.2 B.3
C.7
D.8
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6.一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( )
A．3a B．33a C． 36a D．356a
7.已知某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表所示，
x（万元） 0 1 3 4 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 从散点图分析，y与x线性相关，且axy95.0，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 2.6万元 B. 8.3万元 C. 7.3万元 D. 9.3万元
8.已知点,Pab与点1,0Q在直线2310xy的两侧，且0a，0b则2wab的取值范围是( )
A. 21,32 B.2,03 C.10,2
D.
21,32
9.等比数列na的前n项和为nS,27),...(43211n2312aaaaaaSn，则6a=（ ）
A.27 B.81 C.243 D.729
10.设AB→=(k,1)(k∈Z),AC→=(2,4),若k为满足|AB→|≤4的一个随机数,则△ABC是直角三角形的概率是( )
A．71 B．72 C．73
D．74
11.已知圆2224)(:aycxC,点)0,(cA,其中0ca,M是圆C上的动点,MA的中垂线交MC所在直线于P,则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
12.已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx，其中0m。若方程3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）y（万元） 2.2 4.3 4.8 6.7 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ w.w.w.zxxk.c.o.m
A．158(,)33 B．15(,7)3 C．48(,)33 D．4(,7)3
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________。
14.已知直线xya与圆224xy交于,AB两点，O是坐标原点，向量OAOBuuuruuur、满
足+=OAOBOAOBuuuruuuruuuruuur，则实数a的值是 _____。
15.四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA、PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为 。
16. 如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有___________种方法。
三．解答题：（本大题共6小题，17至21每题12分，选做题10分，共70分）
17.已知函数2()sin(2cossin)cosfxxxxx。 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ (1)求函数()fx的最小正周期；(2)设42，且52()13f，求sin2的值。
18.在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
(1)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望。
19. 已知四棱锥PABCD中，PAABCD平面，底面ABCD是边长为a的菱形，120BAD，PAb．
(1)求证：PBDPAC平面平面；
(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为26，求:ab的值。
20.已知动点P到定点1,0F和直线:2lx的距离之比为22，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于,AB两点，直线:lymxn与曲线E交于,CD两点，与线段AB相交于一点（与,AB不重合）
（1）求曲线E的方程；（2）当直线l与圆221xy相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由。 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 21.
已知函数Rbaexbaxxfx,,)(，且0a。
（1）当2,1ab，求函数fx的极值；（2）设(1)xgxaxefx
①当1a时，对任意0,x，都有1)(xg成立，求b的最大值；②设gx为gx的导函数，若存在1x，使得0gxgx成立，求ba的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．选修4-1几何证明选讲：
已知,ABCABAC中，DABC为外接圆劣弧»AC上的点（不与点AC、重合）,延长BD至E,延长AD交BC的延长线于F。（1）求证：CDFEDF；（2）求证：ABACDFADFCFB．
23．选修4-4极坐标与参数方程选讲：
已知曲线C的极坐标方程是2sin，直线l的参数方程是32,545xtyt（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值。
24．选修4—5不等式选讲：
已知1ab，对,(0,)ab，14|21||1|xxab恒成立，求x的取若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 值范围。 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 参考答案
一．选择题：1-6：CACBAD 7-12：BDCCBB
二．填空题： 13.96 14.2 15.1010 16.732
三．解答题：
17. (Ⅰ)22()sin2sincosfxxxx
sin2cos2xx2sin(2)4x， ··················· 4分
故函数()fx的最小正周期是π． ···················· 6分
(Ⅱ)由52()13f，即522sin(2)413，得5sin(2)413， ····· 7分
因为42，所以352444，可得12cos(2)413， ····· 9分
则sin2sin[(2)]4422sin(2)cos(2)2424 ······· 11分
2521272()()21321326． ··················· 12分
18.解：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x甲，
学生乙的平均成绩717582848694826x乙，
又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s甲，
22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s乙，
则xx甲乙，22ss甲乙，
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. ···························· 6分
注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）
(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）
(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2，则 若要功夫深，铁杵磨成针！
@学无止境！@ 24262(0)5CPC，1142268(1)15CCPC，22261(2)15CPC，
的分布列为
0
1
2
P 25 815 115
所以数学期望2812()012515153E． ·············· 12分
19. 解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分
（2）方法1： 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分
又33,,244aaODaOMAM，且OHAPOMPM………………10分
从而2222·4191669abOHbaaabb………………11分
223(169)tan262baODOHDOHb
所以22916ab，即43ab． ………………………12分
MODACBPH yzxMODACBP
