2016年新课标全国3(卷)理科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，xx在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，）C．（0，3） D．（0，）6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20πD．28π7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bcB．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5的xx中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的xx值．19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2xx机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一xx零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个xx零件，为此搜集并整理了100xx这种机器在三年使用期内更换的xx零件数，得如图柱状图：以这100xx机器更换的xx零件数的频率代替1xx机器更换的xx零件数发生的概率，记X表示2xx机器三年内共需更换的xx零件数，n表示购买2xx机器的同时购买的xx零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买xx零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙Oxx，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOyxx，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系xx，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3xx，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；4O：定义法；5J ：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．xx优网版权所有【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，xx在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．xx优网版权所有【专题】5I ：概率与统计．【分析】求出xx等车时间不超过10分钟的时间xx，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设xx到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，xx等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，）C．（0，3） D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5F ：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．xx优网版权所有【专题】27 ：图表型；48 ：分析法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc【考点】72：不等式比较大小；4M：对数值大小的比较．xx优网版权所有【专题】33 ：函数思想；35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．【分析】根据已知xxa＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D错误；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc ＜blogac，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；K8：抛物线的简单性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5G ：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．xx优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m= ﹣2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；5A ：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5的xx中，x3的系数是10 ．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项xx的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出xxxxx3的系数．【解答】解：（2x+）5的xx中，通项公式为：Tr+1==25﹣r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为64 ．【考点】8I：数列与函数的综合；87：等比数列的性质．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元．【考点】7C：简单线性规划．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；31 ：数形结合；33 ：函数思想；35 ：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．xx优网版权所有【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABCxx，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的xx值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用；5Q ：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的xx值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的xx值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2xx机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一xx零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个xx零件，为此搜集并整理了100xx这种机器在三年使用期内更换的xx零件数，得如图柱状图：以这100xx机器更换的xx零件数的频率代替1xx机器更换的xx零件数发生的概率，记X表示2xx机器三年内共需更换的xx零件数，n表示购买2xx机器的同时购买的xx零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买xx零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5xxn的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5xx，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J2：圆的一般方程．xx优网版权所有【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；5B ：直线与圆；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用xx定理xx长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆xx的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用xx定理xx长公式，以及直线xx相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点．xx优网版权所有【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x ﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g （x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0xx成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）xx成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）ex=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x ﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在Rxx单调递增，函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在Rxx至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）xx成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙Oxx，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．xx优网版权所有【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5M ：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOyxx，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系xx，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3xx，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．xx优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5S ：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3xx，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．xx优网版权所有【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0Tx x =>，则S T = （ ）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =- （ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()2222BA BC ==，，，，则ABC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A. 6425B.4825 C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )A. 10310B.1010C. 1010-D. 31010-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A. 18365+B. 54185+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A. 4πB.92π C. 6πD. 323π11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13 B.12 C. 23D. 3412. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，123,,......k a a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有( )A. 18个B. 16个--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________C. 14个D. 12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为______.14. 函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1，3)-处的切线方程式是______. 16. 已知直线30l mx y m ++=：与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D两点，若||AB =，则||CD =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化 处理量.附注:参考数据:719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈.参考公式:相关系数1()()nii i tt y y r =--=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑，a y bt =-．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥； （Ⅱ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A . （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明：()2f x A '≤.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点． （Ⅰ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小;（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG CD ⊥.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+. （Ⅰ）当2a=时，求不等式()6f x ≤的解集;（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞．【考点】解一元二次不等式，交集 2.【答案】C【解析】易知12i z =-，故14zz -=，4ii 1zz ∴=-． 【考点】共轭复数，复数运算 3.【答案】A【解析一】32cos 11BA BC ABC BA BC ∠===⨯，30ABC ∴∠=．【解析二】可以B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60ABx ∠=，30CBx ∠=，30ABC ∴∠=．【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C 的月份有七月、八月，六月为20C 左右，故最多3个． 【考点】统计图的识别 5.【答案】A【解析】22222cos 4sin cos 14tan 64cos 2sin 2cos sin 1tan 25ααααααααα+++===++． 【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】423324a ==，233b =，1233255c ==，故c a b >>． 【考点】指数运算，幂函数性质 7.【答案】B【考点】程序框图 8.【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则AB =2DC =，AC ∴=知，cos A =．【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362354⨯⨯+⨯⨯+⨯+． 【考点】三视图，多面体的表面积 10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为349ππ32R =． 【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得ON OB aMF BF a c==+，2MF MF AF a c OE ON AO a -===，12a a c a c a c a a c --∴==++，13c e a ∴==．【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列，树状图第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为(2,1)--，11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)，代入目标函数可得3-，32，1，故最大值为32． 【考点】线性规划14.【答案】2π3【解析】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移2π3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移15.【答案】210x y ++=【解析一】11()33f x x x-'=+=+-，(1)2f '∴-=，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【解析二】当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，1()3f x x'∴=-，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【考点】奇偶性，导数，切线方程 16.【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF AB ⊥于F，AB =OA =，3OF ∴=，即3=，m ∴=，∴直线l 的倾斜角为30，3CD AE ∴===．【考点】直线和圆，弦长公式 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠，当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠，10λ∴-≠，即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ≥，{}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴= ⎪--⎝⎭；（Ⅱ）若53132S =，则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭--，1λ∴=-． 【考点】等比数列的证明，由n S 求通项，等比数列的性质18.【答案】（Ⅰ）由题意得123456747t ++++++==，71 1.3317i i y y ==≈∑，7()()0.99nii i itt y y t ynt yr ---===≈∑∑，因为y与t 的相关系数近似为0．99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系； （Ⅱ）121()()2.890.10328()nii i ni i tt y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈，所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+，将9t =代入回归方程可得， 1.82y =，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【考点】相关性分析，线性回归 19.【答案】（Ⅰ）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==，又AD BC ∥，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(0,0,4)P 、C 、N ⎫⎪⎪⎝⎭()0,2,0M，52AN ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,4)PM =-，22PN N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，故平面PMN 的法向量(0,2,1)n =，4cos ,52AN n ∴<>==，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为25．【考点】线面平行证明，线面角的计算20.【答案】（Ⅰ）由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设1:l y a =，2:l y b =，则0ab ≠，且2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭，记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=，由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-，所以AR FQ ∥； （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =，设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-，而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠，当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-． 【考点】抛物线，轨迹方程21.【答案】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---；（Ⅱ）当1a ≥时，|()||cos2(1)(cos 1)|2(1)32(0)f x a x a x a a a f =+-+≤+-=-=，因此，32A a =-，当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--，令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． ①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-； ②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>； 又1(1)(17)|(1)|048a a a g g a a --+⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以216148a a a A g a a -++⎛⎫==⎪⎝⎭， 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩（Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---≤+-，当105a <≤时，|()|1242(23)2f x a a a A '≤+≤-<-=，当115a <<时，131884a A a =++≥， 所以|()|12f x a A '≤+<，当1a ≥时，|()|31642f x a a A '≤-≤-=，所以|()|2f x A '≤． 【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】（Ⅰ）连结PB ，BC ，则BFD PBA BPD ∠=∠+∠，PCD PCB BCD ∠=∠+∠，因为AP BP =，所以PBA PCB ∠=∠，又BPD BCD ∠=∠，所以BFD PCD ∠=∠，又180PFD BFD ∠+∠=，2PFB PCD ∠=∠，所以3180PCD ∠=，因此60PCD ∠=；（Ⅱ）因为PCD BFD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此OG CD ⊥． 【考点】几何证明23.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-，当且仅当π2π()6k k Z α=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】坐标系与参数方程24.【答案】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+，解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥-+-+=-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥①． 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥； 所以a 的取值范围是[2,)+∞． 【考点】不等式。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；附注：参考数据：y i t i y i≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈∵＞故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈=﹣≈×4≈∴y关于t的回归方程+2016年对应的t值为9，故×9+【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合S ＝{x|(x −2)(x −3)≥0}，T ＝{x|x >0}，则S ∩T ＝（ ）A.[2, 3]B.(−∞, 2]∪[3, +∞)C.[3, +∞)D.(0, 2]∪[3, +∞)2. 若z ＝1+2i ，则4i z⋅z −1=( ) A.1B.−1C.iD.−i3. 已知向量BA →=(12, √32)，BC →=(√32, 12)，则∠ABC =( ) A.30∘ B.45∘C.60∘D.120∘4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15∘C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5∘C ．下面叙述不正确的是（ ）A.各月的平均最低气温都在0∘C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20∘C 的月份有5个5. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( )A.6425B.4825C.1D.16256. 已知a =243，b =323，c =2513，则（ ）A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b7. 执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=()A.3B.4C.5D.68. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cosA=()A.3√1010B.−√1010C.√1010D.−3√10109. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110. 在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.1 3B.12C.23D.3412. 定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A.18个B.16个C.14个D.12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为________．函数y=sinx−√3cosx的图像可由函数y=sinx+√3cosx的图像至少向右平移________个单位长度得到．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程是________．已知直线l:mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l 的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|=2√3，则|CD|=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=3132，求λ．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i 7i=1y i =40.17，√∑(7i=1y i −y)2=0.55，√7≈2.646． 参考公式：r =∑n √∑(n i=1t i −t )2∑(n i=1y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑n∑(n i=1t i −t )2，a ^=y −b ^t ．如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD // BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．（1）证明：MN // 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．设函数f(x)=αcos2x +(α−1)(cosx +1)，其中α>0，记|f(x)|的最大值为A ． （1）求f′(x)；（2）求A ；（3）证明：|f ′(x)|≤2A ．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O 中AB^的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．（1）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出S 中不等式的解集确定出S ，找出S 与T 的交集即可．【解答】由S 中不等式解得：x ≤2或x ≥3，即S ＝(−∞, 2]∪[3, +∞)，∵ T ＝(0, +∞)，∴ S ∩T ＝(0, 2]∪[3, +∞)，2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】z ＝1+2i ，则4i zz −1=4i (1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ． 3.【答案】A【考点】向量模长的计算数量积表示两个向量的夹角数量积的坐标表达式【解析】根据向量BA →,BC →的坐标便可求出BA →⋅BC →，及|BA →|,|BC →|的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1, ∴ cos∠ABC =BA →BC →|BA →||BC →|=√32,又0≤∠ABC ≤180∘,∴ ∠ABC =30∘．故选A ．4.D【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知平均最高气温高于20∘C的月份为七月和八月，有2个，所以选项D不正确．故选D．5.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425．故选A．6.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：a=243=1613，b=323=913，c=2513，由幂函数y=x13在(0,+∞)上单调递增，可得b<a<c．故选A．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=10，n=2，不满足条件s>16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=20，n=4，满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．故选B.8.【答案】B【考点】余弦定理【解析】作出图形，再根据余弦定理即可求得答案．【解答】解：如图所示，设△ABC中角A,B，C对应的边分别为a,b，c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ.∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD=ℎ=13BC=13a，∴BD=AD=13a，CD=23a.在Rt△ADC中，cosθ=ADAC=a3√(13a)+(2a3)=√55，故sinθ=2√55，∴cosA=cos(π4+θ)=cosπ4cosθ−sinπ4sinθ=√22×√55−√22×2√55=−√1010．故选B．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图可知该多面体为一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，该斜四棱柱是棱长为6的正方体的一部分，如图所示，其面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5．故选B．10.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】根据已知可得直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r=6+8−102=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，此时V的最大值43π×(32)3=9π2.故选B.11.【答案】A【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】本题考査椭圆方程与几何性质．【解答】解：由椭圆的对称性，不妨设OE的中点为N，直线l的方程为y=k(x+a)(k>0)，分别令x =−c 与x =0得|FM|=k(a −c)，|OE|=ka ，由△OBN ∼△FBM 得|ON||FM|=|OB||BF|，即ka 2k(a−c)=a a+c ，整理得c a =13，所以椭圆离心率为e =13．故选A ．12.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当m =4时，数列共有8项，由题可知，a 1=0，a 8=1，分类考虑：①当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；②当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C 32⋅C 31=9个；③当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C 21⋅C 21=4个．综上，共有1+9+4=14个．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】32【考点】简单线性规划【解析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由{x −2y =0x +2y −2=0得D(1, 12)， 所以z ＝x +y 的最大值为1+12=32；【答案】2π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)=sinx+√3cosx=2in(x+π3)，则f(x−φ)=2in(x+π3−φ)，依题意可得2in(x+π3−φ)=2in(x−π3)，由π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∴f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)(φ>0)，令2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，则π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，即φ=2π3−2kπ(k∈Z)，当k=0时，正数φmin=2π3，故答案为：2π3．【答案】2x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数奇偶性的性质【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=lnx−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，设x>0时，则−x<0,故f(x)=f(−x)=lnx−3x，f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程为y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【答案】4【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心O到直线l的距离为d，则2√12−d2=2√3,∴d=3，即√3|√m2+1=3，∴m=−√33.此时直线l的方程为−√33x+y−2√3=0.∴l的倾斜角为30∘，如图所示.过C作BD的垂线，垂足为E，则|CE|=|AB|=2√3.∵CE//l，∴∠ECD=30∘，∴|CD|=|CE|cos30∘=4.故答案为：4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【答案】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t 值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】 解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【答案】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ， 则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AFAN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】（1）法一、取PB 中点G ，连接AG ，NG ，由三角形的中位线定理可得NG // BC ，且NG =12BC ，再由已知得AM // BC ，且AM =12BC ，得到NG // AM ，且NG ＝AM ，说明四边形AMNG 为平行四边形，可得NM // AG ，由线面平行的判定得到MN // 平面PAB ； 法二、证明MN // 平面PAB ，转化为证明平面NEM // 平面PAB ，在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ，由已知PA ⊥底面ABCD ，可得PA // NE ，通过求解直角三角形得到ME // AB ，由面面平行的判定可得平面NEM // 平面PAB ，则结论得证； （2）连接CM ，证得CM ⊥AD ，进一步得到平面PNM ⊥平面PAD ，在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 【解答】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ，则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AF AN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【答案】(1)证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP // BQ ，得∠AFP +∠BFQ =180∘， ∴ ∠PFQ =90∘， ∵ R 是PQ 的中点， ∴ RF =RP =RQ ， ∴ △PAR ≅△FAR ，∴ ∠PAR =∠FAR ，∠PRA =∠FRA ，∵ ∠BQF +∠BFQ =180∘−∠QBF =∠PAF =2∠PAR ， ∴ ∠FQB =∠PAR ， ∴ ∠PRA =∠PRF ， ∴ AR // FQ ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【考点】抛物线的求解轨迹方程【解析】(1)连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR // FQ；(2)利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】(1)证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP // BQ，得∠AFP+∠BFQ=180∘，∴∠PFQ=90∘，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≅△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180∘−∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PRF，∴AR // FQ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【答案】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．【考点】利用导数研究函数的单调性三角恒等变换综合应用【解析】本题考查三角恒等变换、导数的计算、三角函数的有界性．【解答】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中AB^的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180∘，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180∘，可得∠PCD=60∘；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O 中AB^的中点为P ，可得∠4=∠5， 在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，又∠D =∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D =∠1，则四点E ，C ，D ，F 共圆，可得∠EFD +∠PCD =180∘，由∠PFB =∠EFD =2∠PCD ，即有3∠PCD =180∘，可得∠PCD =60∘；（2）证明：由C ，D ，E ，F 共圆，由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G可得G 为圆心，即有GC =GD ，则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，则OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的直角坐标． 另外：设P(√3cosα, sinα)，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P 的坐标．【解答】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a＝2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．（2）由f(x)+g(x)＝|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)2.若z=1+2i,则4izz -1=( )A.1B.-1C.iD.-I3.已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120°4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 5.若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425B.4825C.1D.16256.已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )A.3B.4C.5D.68.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos A=( )A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10109.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )A.13B.12C.23D.3412.定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .14.函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.15.已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .16.已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (Ⅰ)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若S 5=3132,求λ.18.(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:参考数据:∑i=17y i =9.32,∑i=17t i y i =40.17,√∑i=17(y i -y )2=0.55,√7≈2.646.参考公式:相关系数r=∑i=1n(t i -t )(y -y )√∑i=1(t i -t )2∑i=1(y i -y )2,回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (Ⅰ)证明MN∥平面PAB;(Ⅱ)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (Ⅰ)求f '(x); (Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明|f '(x)|≤2A.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O 中AB⏜的中点为P,弦PC,PD 分别交AB 于E,F 两点. (Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小;(Ⅱ)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时, f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x ≤2或x ≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S ∩T=(0,2]∪[3,+∞), 故选D.2.C ∵z z =(1+2i)(1-2i)=5,∴zz -1=4i4=i,故选C. 3.A cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32,所以∠ABC=30°,故选A. 4.D 由雷达图易知A 、C 正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B 正确;由雷达图知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.5.A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×4916+1=6425,故选A.6.A 因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x 23在(0,+∞)上单调递增,所以423<523,即a<c,又因为函数y=4x 在R 上单调递增,所以425<423,即b<a,所以b<a<c,故选A.7.B 第一次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; 第二次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; 第三次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;第四次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.结束循环, 输出n 的值为4,故选B.8.C 解法一:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,在△ABC 中,由余弦定理的推论可知,cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=29BC 2+59BC 2-BC 22×√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法二:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在Rt △ADC 中,AC=√53BC,sin ∠DAC=2√55,cos ∠DAC=√55,又因为∠B=π4,所以cos ∠BAC=cos (∠DAC +π4)=cos ∠DAC ·cos π4-sin ∠DAC ·sin π4=√55×√22-2√55×√22=-√1010,故选C.解法三:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC, 则CD=23BC,AB=√23BC,AC=√53BC,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =19BC 2-29BC 2=-19BC 2,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-19BC 2√23BC×√53BC=-√1010,故选C.解法四:过A 作AD ⊥BC,垂足为D,设BC=3a(a>0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D 为原点,DC,DA 所在直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,-a),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,-a),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2a,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5a,所以cos ∠BAC=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=22√2a×√5a=-√1010,故选C.9.B 由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为3√5,则该几何体的表面积S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故选B.10.B 易知AC=10.设底面△ABC 的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43πR 3=9π2.故选B.11.A 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0,故可设直线l 的方程为y=k(x+a),当x=-c 时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE 的中点为N,则N (0,ka 2),由于B,M,N 三点共线,所以k BN =k BM ,即ka 2-a=k(a -c)-c -a,所以12=a -ca+c,即a=3c,所以e=13.故选A.12.C 当m=4时,数列{a n }共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k ≤8,a 1,a 2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,则必有a 1=0,a 8=1,a 2可为0,也可为1.(1)当a 2=0时,分以下3种情况:①若a 3=0,则a 4,a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,则有C 41=4种情况;②若a 3=1,a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任意一个为0均可,有C 31=3种情况;③若a 3=1,a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况;(2)当a 2=1时,必有a 3=0,分以下2种情况:①若a 4=0,则a 5,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 31=3种情况;②若a 4=1,则a 5必为0,a 6,a 7中任一个为0均可,有C 21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.二、填空题 13.答案32解析 由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B (1,12),C(0,1),由z=x+y 知y=-x+z,当直线y=-x+z 过点B (1,12)时,z 取最大值32.14.答案23π解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin (x +53π),g(x)=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin (x -φ+π3)=2sin (x +5π3)=f(x)的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k ∈Z ,此时φ=-2kπ-4π3,k ∈Z ,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.15.答案 y=-2x-1解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0),则f '(x)=1x -3(x>0),∴f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.16.答案 4解析 由题意可知直线l 过定点(-3,√3),该定点在圆x 2+y 2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所以圆心到直线AB 的距离为d=√(2√3)2-(√3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=√3|√m 2+1=3,解得m=-√33,所以直线l 的斜率k=-m=√33,即直线l 的倾斜角为30°.如图,过点C 作CH ⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2√3,在Rt △CHD 中,∠HCD=30°,所以|CD|=2√3cos30°=4.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.(2分)由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,即a n+1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0, 所以a n+1a n=λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ(λλ-1)n -1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n =1-(λλ-1)n.由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132. 解得λ=-1.(12分)18.解析 (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得t =4,∑i=17(t i -t )2=28,√∑i=17(y i -y)2=0.55,∑i=17(t i -t )(y i -y )=∑i=17t i y i -t ∑i=17y i =40.17-4×9.32=2.89, r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分)因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(6分)(Ⅱ)由y =9.327≈1.331及(Ⅰ)得b ^=∑i=17(t i -t)(y i -y)∑i=17(t i -t)2=2.8928≈0.10, a ^=y -b ^t =1.331-0.10×4≈0.93.所以,y 关于t 的回归方程为y ^=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得y ^=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)19.解析 (Ⅰ)由已知得AM=23AD=2. 取BP 的中点T,连结AT,TN,由N 为PC 中点知TN ∥BC,TN=12BC=2.(3分)又AD ∥BC,故TN AM,故四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT.因为AT ⊂平面PAB,MN ⊄平面PAB,所以MN ∥平面PAB.(6分)(Ⅱ)取BC 的中点E,连结AE.由AB=AC 得AE ⊥BC,从而AE ⊥AD,且AE=√AB 2-BE 2=√AB 2-(BC 2)2=√5.以A 为坐标原点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(√5,2,0),N (√52,1,2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,-2),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√52,1,2). 设n =(x,y,z)为平面PMN 的法向量,则{n ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y -4z =0,√52x +y -2z =0,(10分) 可取n =(0,2,1).于是|cos<n ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√525. 即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525.(12分)20.解析 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,则ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b 2).记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故1+ab=0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b=k 2.所以AR ∥FQ.(5分)(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2.由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2,所以x 1=0(舍去),或x 1=1.(8分)设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2a+b =y x -1(x ≠1).而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2分)(Ⅱ)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.(4分)当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos 2x+(α-1)cos x-1.设t=cos x,则t ∈[-1,1],令g(t)=2αt 2+(α-1)t-1,则A 是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得最小值,最小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α. 令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),或α>15.(5分)(i)当0<α≤15时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α. (ii)当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A=|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A={2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(9分)(Ⅲ)由(Ⅰ)得|f '(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f '(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当15<α<1时,A=α8+18α+34>1,所以|f '(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f '(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f '(x)|≤2A.(12分)22.解析 (Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为AP⏜=BP ⏜,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD, 所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(5分)(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E 四点共圆,其圆心既在CE 的垂直平分线上,又在DF 的垂直平分线上,故G 就是过C,D,F,E 四点的圆的圆心,所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上,因此OG ⊥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23+y 2=1.C 2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为(√3cos α,sin α).因为C 2是直线,所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=√3cosα+sinα√2=√2|sin (α+π3)-2|.(8分) 当且仅当α=2kπ+π6(k ∈Z )时,d(α)取得最小值,最小值为√2,此时P 的直角坐标为(32,12).(10分)24.解析 (Ⅰ)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}.(5分)(Ⅱ)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=1时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分) 2当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)。

2016年普通高等学校招生考试真题试卷数 学（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x D ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2 B ．—2 C ．22 D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154- C ．122- D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(- D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于 A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+ 11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）2016.6理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S { x | (x 2)( x 3) 0}，T { x | x 0} ，则S∩T =A. [2,3]B. ( ,2] [3, )C. [3, )D. (0,2] [3, )2. 若z 1 2i，则4i zz1A. 1B. -1C. iD. -i1 3 3 13. 已知向量BA ( , )，BC ( , ) ，则∠ABC =2 2 2 2A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有 5 个325. cos 2sin 2若tan ，则4A. 6425B.4825C. 1D. 16 254 2 16. 已知 3 5 3a 2 ，b 4 ，c 25 ，则A. b < a < cB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b7. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = 4，b = 6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 68. 在△ABC 中， B ，BC 边上的高等于4 13BC，则sinA =A.310B.1010C.55D.31010理科数学第 1 页（共 4 页）9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18 36 5B. 54 18 5C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB = 6，BC = 8，AA1 = 3，则V的最大值是A. 4B. 9 2C. 6D. 32 32 2x y11. 已知O为坐标原点， F 是椭圆C：1(a b 1)2 2a b的左焦点，A、B 分别为C 的左、右顶点。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2430={|}A x x x -+<，3{}0|2x B x ->=，则A B =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则|i |x y += （ ）A ．1BCD ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．345．已知方程222213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B．(- C ．(0,3)D．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------ABC D 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．c ca b <B ．c cab ba >C ．alog log b a c b c <D ．log log a b c c <9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点，已知||AB =，||DE =C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A．B．2C．D ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量a (,1)m =，b (1,2)=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则m = ．14．5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）．15．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a …的最大值为 ．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC △的面积为，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？20．（本小题满分12分）设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ，直线l 过点(10)B ，且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明||||EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA为半径作圆.（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24．（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲ABCDE已知函数()|1||23| f x x x=+--.（Ⅰ）在图中画出()y f x=的图象；（Ⅱ）求不等式|()|1f x>的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】{}{}2A x x4x30x1x3=-+<=<<，{}3B x2x30x x2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3A B x x32⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．【提示】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【考点】交集及其运算2.【答案】B【解析】(1i)x1yi+=+，x xi1yi∴+=+，即x1x y=⎧⎨=⎩，解得x1y1=⎧⎨=⎩，即x y i12+=+【提示】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【考点】复数求模3.【答案】C【解析】等差数列{an}前9项的和为27，195959(a a)92aS9a22+⨯===，59a27∴=，5a3=，又10a8=，d1∴=，10010a a90d98∴=+=．【提示】根据已知可得5a3=，进而求出公差，可得答案．【考点】等差数列的性质4.【答案】B【解析】设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故201P402==．【提示】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【考点】几何概型5.【答案】A 【解析】双曲线两焦点间的距离为4，c 2∴=，当焦点在x 轴上时，可得224(m n)(3m n)=++-，解得2m 1=，方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线，22(m n)(3m n)0∴+->，可得(n 1)(3n)0+->，解得1n 3-<<，即n 的取值范围是(1,3)-，当焦点在y 轴上时，可得224(m n)(3m n)-=++-，解得2m 1=-，无解．【提示】由已知可得c 2=，利用224(m n)(3m n)=++-，解得2m 1=，又22(m n)(3m n)0+->，从而可求n 的取值范围．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】A【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图：可得37428ππR 833⨯=，R 2=，它的表面积是22714π2+3π2=17π84⨯⨯⨯⨯． 【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【考点】由三视图求面积、体积 7.【答案】D【解析】2x ||f (x)y 2x e ==-，2x 2x ||||f (x)2(x)e 2x e -∴-=--=-，故函数为偶函数，当x 2=±时，2y 8e (0,1)=-∈，故排除A ，B ；当x []0,2∈时，2xf (x)y 2x e ==-，x f (x)4x e 0∴'=-=有解，故函数2x ||y 2x e =-在[0,2]不是单调的，故排除C ．【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答． 【考点】函数的图象8.【答案】C【解析】a b 1>>，0c 1<<，∴函数cy x =在(0,)+∞上为增函数，故c c a b >，故A错误；函数c 1y x-=在(1,)+∞上为减函数，故c 1c 1a b --<，故c c ba ab <，故B 错误；a log c 0<，且b logc 0<，a log b 1<，即c a a b log b log c1log a log c<=，即a b log c log c >，故D 错误；a b 0log c log c <-<-，故a b blog c alog c -<-，即a b blog c alog c >，即b a alogc blog c <，故C 正确．【提示】根据已知中a b 1>≥，0c 1<<，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【考点】不等式比较大小，对数值大小的比较 9.【答案】C【解析】输入x 0=，y 1=，n 1=，则x 0=，y 1=，不满足22x y 36+≥，故n 2=，则1x 2=，y 2=，不满足22x y 36+≥，故n 3=，则3x 2=，y 6=，满足22x y 36+≥，故y 4x =．【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x ，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【考点】程序框图 10.【答案】B【解析】设抛物线为2y 2px =，如图：AB =，AM =，DE =，DN =pON 2=，A x 4p ==，OD OA =，2216p 85p 4+=+，解得p 4=，C 的焦点到准线的距离为4．【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质 11.【答案】A【解析】如图，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABA B n =，可知：1n CD ∥，11m B D ∥，11CB D △是正三角形，m 、n 所成角就是11CD B 60∠=，则m 、n．【提示】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可． 【考点】异面直线及其所成的角 12.【答案】B【解析】πx 4=-为f (x)的零点，πx 4=为y f (x)=图象的对称轴，2n 1πT 42+∴=，即2n 12ππ(n )N 42+=∈ω，即2n 1)N (n ω=+∈，即ω为正奇数，f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则5πππT 3618122∴-=≤，即2ππT 6=≥ω，解得12ω≤，当11ω=时，11πk π4-+ϕ=，k ∈Z ，π2ϕ≤，π4∴ϕ=-，此时f (x)在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，不满足题意；当9ω=时，9πk π4-+ϕ=，k ∈Z ，π2ϕ≤，π4∴ϕ=，此时f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，满足题意；故ω的最大值为9． 【提示】根据已知可得ω为正奇数，且12ω≤，结合πx 4=-为f (x)的零点，πx 4=为y f (x)=图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f (x)在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得ω的最大值． 【考点】正弦函数的对称性第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2-【解析】222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，m 20+=，解得m 2=-．【提示】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 14.【答案】10 【解析】5(2x )的展开式中，通项公式为r25r 5r r r 5r r 155T C (2x)C 2x ---+==，令r 532-=，解得r 4=，3x ∴的系数452C 10=． 【提示】利用二项展开式的通项公式求出第r 1+项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数． 【考点】二项式定理的应用 15.【答案】64【解析】等比数列n {a }满足13a a 10+=，24a a 5+=，可得13q(a a )5+=，解得1q 2=，211a q a 10+=，解得1a 8=，则22n 1n n 23n 1n 17n n 32n n ()2211n(n 1)222a a a q 82a ++++----⎛⎫== ⎪⎝⎭==……，当n 3=或4时，表达式取得最大值12622264==．【提示】求出数列的等比与首项，化简12n a a a …，然后求解最值． 【考点】数列与函数的综合，等比数列的性质 16.【答案】216000元【解析】设A ，B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意得x N,y N1.5x 0.5y 150x 0.3y 905x 3y 600∈∈⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，z 2100x 900y =+，不等式组表示的可行域如图，由题意可得x 0.3y 905x 3y 600+=⎧⎨+=⎩，解得x 60y 100=⎧⎨=⎩，A(600,100)，目标函数z 2100x 900y =+经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值210060900100216000⨯+⨯=元．【提示】设A ，B 两种产品分别是x 件和y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可．【考点】简单线性规划的应用 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）在ABC △中，0C π<<，sinC 0∴≠，已知等式利用正弦定理化简得2cosC(sin AcosB sin BcosA)sinC +=，整理得2cosCsin(A B)sinC +=，即[]2c o s C s i n π(A B )s i n C -+=，2cosCsinC sinC =， 1cosC 2∴=，πC 3∴=；（Ⅱ）由余弦定理得2217a b 2ab2=+-，2(a b)3ab 7∴+-=，，ab 6∴=，2(a b)187∴+-=，a b 5∴+=，ABC ∴△的周长为5【提示】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数； （Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a b +的值，即可求ABC △的周长． 【考点】解三角形18.【答案】（Ⅰ）ABEF 为正方形，AF EF ∴⊥，AFD 90∠=，AF DF ∴⊥，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDC ， AF ⊂平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）由A F D F ⊥，AF EF ⊥，可得DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，由ABEF 为正方形，AF ⊥平面EFDC ， BE EF ⊥，BE ∴⊥平面EFDC ，即有CE BE ⊥，可得CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，可得DFE CEF 60∠=∠=．A B EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， AB ∴∥平面EFDC ，平面EFDC平面ABCD CD =，AB ⊂平面ABCD ，AB CD ∴∥， CD EF ∴∥，∴四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD a =，则E(0,0,0)，B(0,2a,0)，a C 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，A(2a,2a,0)，EB (0,2a,0)∴=，a BC ,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AB (2a,0,0)=-， 设平面BEC 的法向量为111m (x ,y ,z )=，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则11112ay 0a x 2ay 022=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取m (3,0,1)=-，设平面ABC 的法向量为222n (x ,y ,z )=，则n BC=0n A B 0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=，设二面角E-BC-A 的大小为θ，则m n cos |m ||n|31316θ===++，则二面角E-BC-A 的余弦值为．【提示】（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC 、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E BC A --的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何19.【答案】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，2201P(X 16)10025⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 20404P(X 17)210010025==⨯⨯=，22P 40206(X 18)210010025⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 24020206P(X 19)2210010010025⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 220402051P(X 20)2100100100255⎛⎫==+⨯⨯== ⎪⎝⎭， 2202P(X 21)210025⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 2201P(X 22)10025⎛⎫===⎪⎝⎭， X ∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知：4611P(X 18)P(X 16)P(X 17)P(X 18)25252525≤==+=+==++=， 146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=（）， P(x n)0.5∴≤≥中，n 的最小值为19；（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得146617P(X 19)P(X 16)P(X 17)P X 18P(X 19)2525252525≤==+=+=+==+++=（）， 买19个所需费用期望：117521EX 20019(20019500)(200195002)(200195003)404025252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，买20个所需费用期望：22221EX 20020(20020500)(200205002)4080252525=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，12EX EX <，∴买19个更合适；解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n 19=时，费用的期望为：192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=，当n 20=时，费用的期望为：202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=，∴买19个更合适．【提示】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列； （Ⅱ）由X 的分布列求出11P(X 18)25≤=，17P(X 19)25≤=，由此能确定满足P(x n)0.5≤≥中n 的最小值；（Ⅲ）方法一：由X 的分布列得17P(X 19)25≤=，求出买19个所需费用期望1EX 和买20个所需费用期望2EX ，由此能求出买19个更合适；方法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n 19=时，费用的期望和当n 20=时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【考点】离散型随机变量及其分布列20.【答案】（Ⅰ）圆22x y 2x 150++-=即为22(x 1)y 16++=，可得圆心A(1,0)-，半径r 4=，由BEAC ∥，可得C EBD ∠=∠，由AC AD =，可得D C ∠=∠，即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =，则EA EB EA ED AD 4+=+==，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有2a 4=，即a 2=，c 1=，b =点E 的轨迹方程为22x y 143+=，(y 0)≠，（Ⅱ）椭圆221x y C :143+=，设直线l ：x my 1=+，由PQ ⊥l ，设PQ:y m(x 1)=--，由22x my 1x y 143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(3m 4)y 6my 90++-=，设11M(x ,y )，22N(x ,y )，可得1226m y y 3m 4+=-+，1229y y=-， 则2M N212(m 1)|MN |y y |3m 4+=-==+，A 到PQ 的距离为d == 则四边形MPNQ 面积为2222221143m 41m 1mS |PQ ||MN |1224223m 41m3m 4+++====+++当m 0=时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得3S 2483<= 即有四边形MPNQ 面积的取值范围是⎡⎣．【提示】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x my 1=+，代入椭圆方程，运x 10-<用韦达定理和弦长公式，可得|MN |，由PQ ⊥l ，设PQ:y m(x 1)=--，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ |，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【考点】直线与椭圆的位置关系，圆的一般方程 21.【答案】（Ⅰ）函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-，x x f (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)∴'=-+-=-+，①若a 0=，那么xf (x)0(x 2)e 0x 2=⇔-=⇔=，函数f (x)只有唯一的零点2，不合题意；②若a 0>，那么x e 2a 0+>恒成立，当x 1<时，f (x)0'<，此时函数为减函数； 当x 1>时，f (x)0'>，此时函数为增函数；此时当x 1=时，函数f (x)取极小值e -，由f (2)a 0=>，可得：函数f (x)在x 1>存在一个零点； 当x 1<时，x e e <，x 210-<-<，x 222f (x)(x 2)e a(x 1)(x 2)e a(x 1)a(x 1)e(x 1)e∴=-+->-+-=-+--，令2a (x 1)e (x 1)e 0-+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，2x t >时，2f (x )a (x 1)e(x 1)e 0>-+-->，故函数f (x)在x 1<存在一个零点； 即函数f (x)在R 是存在两个零点，满足题意；③若ea 02-<<，则ln (2a )l n e 1-<=，当x l n (2a )<-时，x 1ln(2a)1lne 10-<--<-=，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当ln(2a)x 1-<<时，，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf '(x)(x 1)(e 2a)0=-+<恒成立，故f (x)单调递减，当x 1>时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf '(x )(x1)(e 2a )0=-+>恒成立，故f (x)单调递增，故当x ln(2a)=-时，函数取极大值，由[][][][]{}22f ln(2a)2a ln(2a)2a ln(2a)1a ln(2a)210-=---+--=--+<得：函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若ea 2=-，则l n (2a)1-=，当x 1l n (2a)<=-时，x 10-<，x ln(2a)e2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当x 1>时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即x f (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，故函数f (x)在R 上单调递增，函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若ea 2<-，则ln(2a)lne 1->=，当x 1<时，x 10-<，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立，故f (x)单调递增，当1x ln(2a)<<-时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+<+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+<恒成立，故f (x)单调递减，当x ln(2a)>-时，x 10->，x ln(2a)e 2a e 2a 0-+>+=，即xf (x)(x 1)(e 2a)0'=-+>恒成立， 故f (x)单调递增，故当x 1=时，函数取极大值，由f (1)e 0=-<得：函数f (x)在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为(0,)+∞； （Ⅱ）1x ，2x 是f (x)的两个零点，12f (x )f (x )0∴==，且1x 1≠，2x 1≠，12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)--∴-==--，令x2(x 2)eg (x )(x 1)-=-，则12g(x )g(x )a ==-，2x3[(x 2)1]eg (x)(x 1)-+'=-，∴当x 1<时，g (x)0'<，g(x)单调递减；当x 1>时，g (x)0'>，g(x)单调递增；设，则1m 1m 1m 2m 222m 1m 1m 1m 1g (1m )g (1m )e e e e 1m mm m 1+-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭，设2mm 1h(m)e 1m 1-=++，m 0>，则22m 22m h '(m)e 0(m 1)=>+恒成立，即h(m)在(0,)+∞上为增函数，h(m)h(0)0>=恒成立， 即g(1m)g(1m)+>-恒成立，令1m 1x 0=->，则1111212g(11x )g(11x )g(2x )g(x )g(x )2x x +->+-⇔->=⇔->，即12x x 2+<． 【提示】（Ⅰ）由函数x 2f (x)(x 2)e a(x 1)=-+-可得xxf (x)(x 1)e 2a(x 1)(x 1)(e 2a)'=-+-=-+，对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案；（Ⅱ）设1x ，2x 是f (x)的两个零点，则12x x 122212(x 2)e (x 2)e a (x 1)(x 1)---==--，令x2(x 2)e g (x )(x 1)-=-， 则12g(x )g(x )a==-，分析g(x)的单调性，令m 0>，则1m 2m2m 1m 1g (1m )g (1m )ee 1m m 1-+-⎛⎫+--=+ ⎪+⎝⎭， 设2mm 1h(m)e 1m 1-=++，m 0>，利用导数法可得h(m)h(0)0>=恒成立，即g(1m)g(1m)+>-恒成立，令1m 1x 0=->，可得结论．【考点】利用导数研究函数的极值，函数的零点22.【答案】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK ，OA OB =，AOB 120∠=，OK AB ∴⊥，A 30∠=，1OK OAsin30OA 2==，∴直线AB 与O 相切；（Ⅱ）因为OA 2OD =，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，设T 是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，OA OB =，TA TB =，OT ∴为AB 的中垂线，同理，OC OD =，TC TD =，OT ∴为CD 的中垂线，AB CD ∴∥．【提示】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK ，根据等腰三角形AOB 的性质知OK AB ⊥，A 30∠=，1OK OAsin30OA 2==，则AB 是圆O 的切线；m 0>（Ⅱ）设圆心为T ，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论． 【考点】圆的切线的判定定理的证明23.【答案】（Ⅰ）由x a cos t y 1a sin t =⎧⎨=+⎩，得x aco st y 1as i n t =⎧⎨-=⎩，两式平方相加得，22x (y 1)a +-=，1C ∴为以(0,1)为圆心，以a 为半径的圆，化为一般式222x y 2y 1a 0+-+-=①，由222x y +=ρ，y sin =ρθ， 得222sin 1a 0ρ-ρθ+-=；（Ⅱ）2C 4cos ρ=θ：，两边同时乘ρ得24cos ρ=ρθ，22x y 4x ∴+=②， 即22(x 2)y 4-+=，由30C θ=α：，其中0α满足0tan 2α=，得y 2x =，曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，y 2x ∴=为圆1C 与2C 的公共弦所在直线方程，数学试卷 第21页（共56页） 数学试卷 第22页（共56页）①-②得：24x 2y 1a 0-+-=，即为3C ，21a 0∴-=，a 1(a 0)∴=>．【提示】（Ⅰ）把曲线1C 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线1C 是圆，化为一般式，结合222x y +=ρ，y sin =ρθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线2C 、3C 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y 2x =为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程，把1C 与2C 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y 2x =可得21a 0-=，则a 值可求．【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程的概念24.【答案】（Ⅰ）x 4x 13f (x)3x 21x 234x x 2⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，，由分段函数的图象画法，可得f (x)的图象，如图：（Ⅱ）由f (x)1>，可得，当x 1≤-时，x 41->，解得x 5>或x 3<，即有x 1≤-；当31x 2-<<时，3x 21->，解得x 1>或1x 3<，即有11x 3-<<或31x 2<<；当3x 2≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有3x 32≤<或x 5>．综上可得，1x 3<或1x 3<<或x 5>．则f (x)1>的解集为1,(1,3)(5,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【提示】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x 1≤-时，当31x 2-<<时，当3x 2≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【考点】带绝对值的函数，函数图象的作法绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(3)(1)iz m m=++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(3,1)-B.(1,3)-C.(1,)+∞D.(,3)∞--2.已知集合{1,2,3}A=,则{|(1)(2)0,}=+-<∈B x x x x Z,则A B =( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3.已知向量a(1,)m=,b(3,2)-=,且（a+b）⊥b,则m=( )A.—8B.—6C.6D.84.圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1,则a= ( )A.43-B.34-CD.25.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效数学试卷第23页（共56页）数学试卷第24页（共56页）数学试卷 第25页（共56页） 数学试卷 第26页（共56页）7.若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A .()26k x k Z ππ=-∈ B .()26k x k Z ππ=+∈ C .()212k x k Z ππ=-∈D .()212k x k Z ππ=+∈8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的2x =,2n =,依次输入的a 为2,2,5,则输出的=s( )A .7B .12C .17D .34 9.若3cos()45πα-=,则sin2α=( ) A .725B .15C .15-D .725-10.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对11(,)x y ,22(,)x y ,…,(,)n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A .4n mB .2n mC .4m nD .2m n11.已知1F ,2F 是双曲线E:22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为( ) A.B .32C .3D .212.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑( ) A .0B .mC .2mD .4m第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = .14.α,β是两个平面,,m n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m n ⊥,m α⊥,n β∥那么αβ⊥;②如果m α⊥,n α∥,那么m n ⊥; ③如果αβ∥,m α⊂,那么m β∥;④如果mn ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）.15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .16.若直线y k x b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln(1)y x =+的切线,则b = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且1=1a ,728S=.记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1，. （Ⅰ）求1b ,11b ,101b;数学试卷 第27页（共56页） 数学试卷 第28页（共56页）（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.18.（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位:元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BC 交于点O ,5=AB ,6=AC ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,54AE CF ==,EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△'D EF 的位置,OD '=（Ⅰ）证明:D H '⊥平面ABCD ; （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥.（Ⅰ）当4=t ,||||=AM AN 时,求AMN △的面积;（Ⅱ）当2||=||AM AN 时,求k 的取值范围.21.（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数2()2-=+xx f x x e 的单调性,并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>; （Ⅱ）证明:当[0,1)a ∈时,函数2=(0)（）-->x e ax ag x x x 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合）,且DE DG =,过D 点作DF CE ⊥,垂足为F .（Ⅰ）证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;（Ⅱ）若1AB =,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin ，，αα=⎧⎨=⎩x t y t （t 为参数）,l 与C 交于A ,B 两点,||AB =求l 的斜率.数学试卷 第29页（共56页） 数学试卷 第30页（共56页）24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ;（Ⅱ）证明:当,a b M ∈时,|||1|a b ab +<+.【解析】集合A B {0,1,2,3}=A B 的值．a (4,m ，b(3,2)-，ab (4,m ∴+=-(a b)b +⊥，，解得m 【提示】求出向量a b +的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】输入的：πcos4⎛-⎝πcos4⎛-⎝9712525-=．22π1n1，π∴=c a b=+，可得2e e20--=，e1>，解得e2=．1数学试卷第31页（共56页）数学试卷第32页（共56页）数学试卷第33页（共56页）数学试卷第34页（共56页）数学试卷 第35页（共56页） 数学试卷 第36页（共56页）（Ⅰ）某保险的基本保费为（Ⅰ）ABCD 是菱形，ABCD 是菱形，得AC 6=，AO ∴=AEOD 1AO=，则DH D =2OD OH '=OH EF H =，建立如图所示空间直角坐标系，AB 5=，6，B(5,0,0)∴，AB (4,3,0)=，AD (1,3,3)'=-，AC (0,6,0)=的一个法向量为n (x,y,z)=，由11n AB 0n AD 0⎧=⎪⎨'=⎪⎩，得3y 03y 3z +=++1n (3,4,5)∴=-同理可求得平面AD C '的一个法向量2n (3,0=,，设二面角B-D '122n n 9255210n n +==，∴二面角数学试卷 第37页（共56页） 数学试卷 第38页（共56页）（Ⅱ）以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到AB 、AD '、AC 的坐标，的一个法向量n 、n ，求．221234k +，由2212121k 413k 341kk =+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由AM 22212121k434k 3k k=+++， 整理可得2(k 1)(4k k 4)0--+=，由24k -212144134⎫=⎪+⎭轴对称，由MA ⊥226t 3tk +，26t t 3k k+，AN ，可得2226t 6t 21k 1kt 3tk 3k k+=+++， 整理得26k 3kt -=，由椭圆的焦点在x 轴上，当2)(2,)-+∞2)和(2,-+∞x2e f (0)=2>数学试卷 第39页（共56页） 数学试卷 第40页（共56页）x 2e a 2⎫+⎪⎭a ∈x x 2(x)e 2-=的值域为t2e a 2=-，t2e 02≤恒成立，可得2t 2-<≤，由时，g (x)0'<g (x)0'>tt 2e e 2t 2=+，，e k (t )'=Rt DFC Rt EDC ∴△∽△，DF CFED CD∴=， DE DG =，CD BC =， DF CFDG BC∴=，又GDF DEF BCF ∠=∠=∠， GDF BCF ∴△∽△，CFB DFG ∴∠=∠，GFB GFC CFB GFC DFG DFC 90∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=， GFB GCB 180∴∠+∠=， B ∴，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）E 为AD 中点，AB 1=，1DG CG DE 2∴===，∴在Rt DFC △中，1GF CD GC 2==，连接GB ，Rt BCG Rt BFG △≌△，BCGBCGF 111S 2S =21=222∴=⨯⨯⨯△四边形．【提示】（Ⅰ）证明B ，C ，G ，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知BCD 90∠=，因此问题可转化为证明GFB 90∠=； （Ⅱ）在Rt DFC △中，1G F C D G C 2==，因此可得B C G B F G △≌△，则S 2S =，据此解答． ）圆22x ρ=+（Ⅱ）直线l xx α， l ，半径r =数学试卷 第41页（共56页） 数学试卷 第42页（共56页）24.【答案】（Ⅰ）当1x 2<-时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222---<，解得x 1>-，11x 2∴-<<-，当11x 22-≤≤时，不等式f (x)2<可化为：11x x 1222-+-=<，此时不等式恒成立，11x 22∴-≤≤，当1x 2>时，不等式f (x)2<可化为：11x x 222++-<，解得x 1<，1x 12∴<<，综上可得M (1,1)=-； （Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即222a b 1a b +>+，即222a b 2a b 1a 2a b b +++>++， 即22(ab 1)(a b)+>+，即a b ab 1+<+． 【提示】（Ⅰ）分当1x 2<-时，当11x 22-≤≤时，当1x 2>时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a ，b M ∈时，22(a 1)(b 1)0-->，即2222a b 1a b +>+，配方后，可证得结论． 【考点】绝对值不等式的解法数学试卷 第43页（共56页） 数学试卷 第44页（共56页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0T x x =>，则ST =（ ）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =-（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()22BA BC ==，，，，则ABC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A.6425B. 4825C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效---。

专题06 三角函数及解三角形【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）设函数()cosπ()6f x xω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x可得：4cos096ππω⎛⎫-⋅+=⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x的最小正周期为224332Tπππω===2.（2020·新课标Ⅰ）已知π()0,α∈，且3cos28cos5αα-=，则sinα=（）A.53 B. 23C. 13 D. 59【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D.sin2α<0 【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C. 1 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 6.（2020·新课标Ⅲ）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 7.（2020·山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362Tπππ=-=，则222Tππωπ===，所以不选A,当2536212xπππ+==时，1y=-∴()5322122k k Zππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k kϕππ=+∈Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263y x k x x xππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos2cos(2)66x xππ⎛⎫+=--⎪⎝⎭8.（2020·北京卷）若函数()sin()cosf x x xϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Zππ+∈均可）【解析】因为()()()()22cos sin sin1cos cos sin1sinf x x x xϕϕϕϕθ=++=+++，所以()22cos sin12ϕϕ++=，解得sin1ϕ=，故可取2ϕπ=.9.（2020·山东卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC 的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH DG∥，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r，由题意7AM AN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125r r -=-， 解得22r =； 等腰直角OAH△的面积为11222242S =⨯⨯=； 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.10.（2020·浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，11.（2020·江苏卷）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 12.（2020·江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-13.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为14.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.【2019年】1．【2019·全国Ⅰ卷】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．2．【2019·全国Ⅰ卷】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确． 当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误． 当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确． 综上所述，①④正确，故选C ． 3．【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ， 故选A ．图1图2图34．【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C 33D 255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ． 5．【2019·全国Ⅲ卷】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=，因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.6．【2019·天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 7．【2019·北京卷】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 8．【2019·全国Ⅱ卷】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 9．【2019·江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 10．【2019·浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BDADB BAC=∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=, 225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【2018年】1．【2018·全国Ⅲ卷】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 2．【2018·全国卷II 】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.3．【2018·天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.4．【2018·浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D. 5．【2018·全国Ⅱ】在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30CD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.6．【2018·全国Ⅲ】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.7．【2018·浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sinB =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.8．【2018·全国Ⅰ】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-. 9．【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.10．【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点. 11．【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【2017年】1．【2017·全国Ⅰ】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.2．【2017·全国Ⅲ】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.3．【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 4．【2017·山东卷】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.5．【2017·浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．6．【2017·全国Ⅱ】函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=-+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 7．【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 8．【2018·全国Ⅱ】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα9．【2017·江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】 因为π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，所以ππ()444T kT --=+，即π41412π244k k T ω++==⋅，所以*41()k k ω=+∈N ，又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以5πππ2π36181222T ω-=≤=，即12ω≤，则ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 3.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010 （C ）1010 （D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD +-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 4.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.5.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 6.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．8.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 9.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= . 【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=2cos.42=π10.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==.11.【2016高考浙江理数】已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．2 1【解析】22cos sin 22)14x x x π+++，所以2, 1.A b ==12.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．13.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.14.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.。

统计概率（理科）解答题20题1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥认为有显著提高）．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k 3.841 6.635 10.8283．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i ni i tt y y b t t ==--=-∑∑，=.a y b t -4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值为记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.8．（2021·辽宁大连·高三学业考试）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与 1p 的大小．（结论不要求证明）9．（2019年天津卷）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．11．（18年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.12．（2017年全国1卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.12 9.969.9610.01 9.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，()16162221111160.2121616i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-≈ ⎪⎝⎭∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.0080.09≈.13．（16年全国1）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数12 3 4 5≥保费0.85a a1.25a 1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5≥ 概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.14．（16年全国2卷）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？15．（2021·云南·模拟预测（理））某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k 为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k ，并分成以下5组，其统计结果如下表所示： 质量指标值 [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10频数163040104试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得0.82s ≈，记X 表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k 在区间(]5.42,7.88之外的个数，求()1P X =及X 的数学期望（精确到0.001）；（2）已知每个产品的质量指标值k 与利润y （单位：万元）的关系如下表所示()6,7t ∈ 质量指标值k [)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[]9,10利润y5t3t2tt25t -假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()()0.6827,220.9545P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，()9330.9973,0.81860.1651P Z μσμσ-<≤+=≈.16．（2021·河南·模拟预测（理））如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有1N ，2N ，3N ，4N ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有1S ，2S ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．（1）求北干道的1N ，2N ，3N ，4N 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．17．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末（理））在核酸检测中， “k 合1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.（1）现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确将这100人随机平均分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；（2）将这100人随机平均分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.试求两名感染者在同一组的概率.18．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？19．（2021·广东·模拟预测）2020年9月，中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程为ˆ 4.79459.2yx =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车 购买电动车 总计男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 692190请判断有多大的把握认为购买电动汽车与性别有关；（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 512763525⨯≈②参考公式：（i ）线性回归方程：ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （ii ）相关系数：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑ 0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强.（iii ）22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表： ()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82820．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或11都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．12。