圆锥曲线的弦长公式及其推导过程（一）关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB.解：连结B F A F 22,，设yB F x A F ==11,，由椭圆定义得ya B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin 2),(cos 222222222轴上焦点在轴上焦点在y c a ab x c a ab AB αα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-b a b y a x 其中两焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，过F 1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长|AB|.解：（1）当a b a b arctanarctan -<<πα时，（如图2）直线l 与双曲线的两个交点A 、B 在同一支上，连B F A F 22,，设,,11y B F x A F ==，由双曲线定义可得ay B F a x A F 2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos 22)2(a y c y c y a x c x c x +=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos 2⋅+=c a b x ，αcos 2⋅-=c a b y ，则可求得弦长 ;cos 2cos cos 222222αααc a ab c a b c a b y x AB -=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤a ba b arctan arctan 0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F ==则ay B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα.cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b a c ab a ba b c a ab AB 或同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角.三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA 1、BB 1，A 1、B 1为垂足，yFB x FA ==,设，则点A 的横坐标为αcos 2⋅+x p，点B 横坐标为αcos 2⋅-y p ，由抛物线定,2cos 2,2cos 2y py p x p x p =+⋅-=+⋅+αα义知,cos 1,cos 1αα+=-=py p x即,sin 2cos 12cos 1cos 122ααααpp p p y x =-=++-=+则同理)0(22>-=p px y 的焦点弦长为,sin 22αpAB =)0(22>±=p py x 的焦点弦长为,cos 22αpAB =，所以抛物线的焦点弦长为⎪⎩⎪⎨⎧=).(cos 2)(sin 222轴上焦点在，轴上焦点在y px pAB αα由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且P 1P 2斜率为K ，则|P 1P 2|=|x 1-x 2|)K (12+或|P 1P 2|=|y 1-y 2|)1/K (12+{K=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)} =]4))[(1(212212x x x x k -++ 二、双曲线：设直线与双曲线交于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且P 1P 2斜率为K ，则|P 1P 2|=|x 1-x 2|)K (12+或|P 1P 2|=|y 1-y 2|)1/K (12+{K=(y 2-y 1)/(x 2-x 1)} =]4))[(1(212212x x x x k -++。
