初中几何二倍角问题的辅助线

初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形;4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形;5三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形;6全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7相似三角形：相似三角形有平行线型带平行线的相似三角形,相交线型,旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时中点可看成比为1可添加平行线得平行线型相似三角形;若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法;8特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明9半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样;二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的;1见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距有时还须作出相应的半径,通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系;2见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题;3见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题;4两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系;5两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来;。

初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC 于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE 即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED ⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD 都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC. 【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.总结关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.。

二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.【配套练习】1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC是等边三角形.【答案】1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD＞AD ∴2AC ＞AB.2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF≌△DCF可得.。

初中几何辅助线“口诀”大全及练习一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

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初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2。

作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形1. 垂直于平行边2。

垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3。

平行于两条斜边4。

作两条垂直于下底的垂线5。

延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角 2。

做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线—-把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高—-形内形外都要注意矩形1。

对角线 2. 作垂线很简单.无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD。

.。

这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等.三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等)。

也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线. 三角形中有中线，延长中线等中线.解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来.③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

初中几何二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C 的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC.∵AC=2BC，∴CD=CB.则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE.∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD.∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB.∴DC=DE.∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°.∵CD=CB，∴∠D=∠CBD∴∠ACB=2∠D∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC∴△ABE≌△DBC.∴∠ABE=∠DBC∴∠ABC=∠EBD=90°.总结关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.应试小技巧一、进入考场，首先要做的是让自己冷静下来。

巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题 例1：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一：∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二：如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三：如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3．已知：如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4．如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题例5．如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;（1） 如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;（2） 如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;（3）分析：本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解：1EF=FD2答：1结论EF=FD 仍然成立理由：如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二：2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析：判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点;分析：这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知：△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证：AF 、BD 、CG 相交于一点;分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理，作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是＿ 分析：如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3＜d ＜10+3 答案：7＜d ＜13例10．如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解：解法一：如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。

巧解初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠AC B=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.【配套练习】1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC 是等边三角形.【答案】1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD＞AD ∴2AC＞AB.2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE 都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF ≌△DCF可得.。

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

三角形中常用的辅助线作法举例总结The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《三角形中常用的辅助线作法举例》总结几何是初中教学的一门重要课程，其基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或已经掌握的问题，不少几何问题都需要进行这种转化，添加适当的辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。

要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事。

梁永平老师从几何学习的基础三角形中有关辅助线讲起，系统阐述了以下几方面内容。

一、辅助线的涵义1、为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。

2、辅助线在几何题中的三个作用：（1）辅助线能巧妙地连接起已知条件与未知条件，是解题的桥梁。

（2）辅助线能够把分散的条件集中起来，构成基本图形，便于利用图形性质去解题。

（3）辅助线能使隐蔽的条件明朗化，为顺利解几何题创造条件。

二、添加辅助线的基本思路由于证明几何题有两种基本方法—综合法和分析法。

因此，做辅助线有两条基本思路：一是从综合法的需要出发做辅助线。

用综合法证题，从已知推证结论受阻时，可以从图形的特征入手，根据添加辅助线的规律，巧设辅助线，利用图形的性质继续推证；二是从分析法的需要做辅助线。

用分析法证题，当从结论出发，寻找使结论成立的条件，难以进行下去时，可以添加辅助线，使追溯过程进行下去。

三、三角形中的辅助线添加辅助线的目的是将分散的元素集中，是使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简。

梁永平老师从全等三角形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等方面浅析三角形中辅助线的添法。

、三角形中的不等关系（1）利用三角形的三边关系（2）利用三角形外角定理、全等三角形的辅助线作法1、找全等三角形的方法：2、三角形中常见辅助线的作法：（1）连接构全等（2）倍长中线（线段）造全等（3）截长补短法（4）轴对称变换（5）平行变换（6）借助角平分线造全等、等腰三角形辅助线的作法（1）利用三线合一作辅助线（2）作平行线构造等腰三角形（3）运用角平分线作垂线（4）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（5）用“截长补短法”构造等腰三角形（6）依据2倍角关系构造等腰三角形（7）等腰三角形转化等边三角形解题、直角三角形常用的辅助线（1）运用勾股定理及其逆定理求解（2）利用给定的特殊角求解（3）利用等腰直角三角形的性质求解（4）利用斜边上中线的性质求解（5）逆用特殊角的三角函数定义求解（6）综合运用、相似三角形常用的辅助线1、相似三角形一些常用的方法2、相似三角形中的辅助线（1）作平行线（2）作延长线（3）作中线（4）作高3、中考综合题型讲座中梁老师把三角形辅助线问题分门别类的总结，结合这些年中考试题细心的讲解，思路清晰。