苏教版 必修1 函数的单调性(学案)

2.2.1 函数的单调性教学目标：1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象。

教学重点：利用函数的单调性求函数的值域。

教学过程：一、问题情境1．情境（1）复述函数的单调性定义；（2）表述常见函数的单调性。

2．问题结合函数的图象说出该天的气温变化范围。

二、学生活动1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况。

三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地，设y ＝f (x )的定义域为A 。

若存在x 0∈A ，使得对任意x ∈A ， f (x )≤ f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)。

若存在定值x 0∈A ，使得对任意x ∈A ，f (x )≥f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )t /hθ/℃ 10 8 6 4 2 －2 2 4 24 14的最小值，记为y min＝f(x0)。

注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，当a＞0时，函数有最小值；当a＜0时，函数有最大值。

（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法。

2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b。

当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数。

则f(x)在x＝c时取得最大值。

反之，当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调增函数。

则f(x)在x＝c时取得最小值。

四、数学运用例1 求出下列函数的最小值：（1）y＝x2－2x；（2）y＝1x，x∈[1，3]。

实例近六届世界杯进球数的表格与年份。

进球数. 1990. 115P 1994. 137〃 199& 171. 2002『 161P 2006. 147。

2010. 145^实例某国某地某天的气温变化曲实例函数的图(1)/(x)=x+l (2)/"(工)=工 第二章函数(4)函数的单调性一、学习目标: 1、理解增函数和减函数的定义 2、会利用定义证明函数的单调性 3、了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象写出的单调区间 二、学习过程:1、【实例探究】问题1：实例1中随着年份的变化，进球数有什么变化；实例2中随着时间的变化，温度有什么变化；实例3中随着自变量x 的变化，因变量》有什么变化? 问题2：怎样用数学语言描述“随自变量X 的增大，因变量y 不断增大”和“随自变量X 的增大，因变量y 不断减小” 2、【构建新知】(1)单调性的通俗定义:单调遂增函数单调遂覆函数y图象1 1F图象特征从左到右，图象上升从左到右,图象下降正y随x的瑁大而增大y随x的增大而减小(2)单调性的经典定义:三、例题分析：例1、下图是定义在[-5,5]±的函数y = /(%)的图象，根据图象说出函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = /(x)是增函数还是减函数。

四、巩固练习：1、函数/(%) =| %| (% e R)的增区间为函数/(x) =\X\(XE[-2,3])的增区间为2、函数/(%) = %2 + 2x-3(xe R)的减区间为3、求证：函数/(%) = --在区间(-3,0)上是单调增函数XX + ]4、用定义证明f(x) =——在(l,+oo)上是减函数x-15、用定义证明/(%)=A/^(%>0)在定义域上是增函数五、小结：用定义法证明函数单调性的步骤:1、取值:设任意玉、切属于给定区间，且X] < X?；2、作差运算：/■(>])—f(X)= ....注意：①运算的常用公式:平方差公式、立方和立方差公式%1运算的常用技巧:提取公因式、四项两两结合、通分、分母有理化等%1运算要彻底，3、定号:确定/(%[)-/(%2)的正负号；4、下结论：由定义得出函数的单调性。

函数的单调性教学设计一、教材分析本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。

函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。

函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力二、教学目标1、知识与技能目标（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

2、过程与方法目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。

三、教学重点函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法四、教学难点函数单调性的判断与证明。

五、教学策略在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

六、教学准备利用多媒体教学七、教学过程：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。

“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(17)必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间．重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用．课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。

2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ．课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单调增 区间xy3π32π32π-O()y g x =y1y = f ( x )2、填表：函 数xky =（0≠k ） kx y =（0≠k ）0>k0<k0>k0<k单调区间 （－∞，+∞） 单调性增函数3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减．学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y =2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 3之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ．6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．。

第15课时 函数的单调性（二）【学习目标】1．使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；2．掌握增(减)函数在比较大小、解不等式、求函数最值方面的应用． 【课前导学】 （I ）复习回顾1．函数单调性的概念； 2．函数单调性的判定． （II ）问题情境通过观察二次函数2y x =和2y x =-的最高点和最低点引出函数最值的概念． 【课堂活动】 一．建构数学：1．函数最大值与最小值的含义一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）.思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值（minimum value ）的定义吗？ 2．二次函数在给定区间上的最值对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠来说，若给定区间是(,)-∞+∞，则当0a >时，函数有最小值是244ac b a -，当0a <时，函数有最大值是244ac b a-；若给定区间是[,]a b ，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值．二．应用数学： 例1 求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值． 【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值． 【变式】若区间为[6,2]--呢？例2 已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围． 解：由f(x-1)<f(x2-1)及f(x)的定义域．增减性，可得到不等式组：22-1x-11-1x -11x-1<x -1≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪⎩220x20x 2x -x>0≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪⎩≤≤⎧⎪∴≤∴≤⎨⎪⎩0x 2x 1<x x<0或x>1解1)令x=1,f(y)=f(1)+f(y),∴f(1)=0∵f(x)是R+上的减函数 例4 如果二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调增函数，求f(2)的取值范围．解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x) 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调增函数，f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a例5 已知函数y=f(x)在R 上是增函数，求证：若y=g(x)在(a,b)上是增函数，则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．证明：设u=g(x),任取a<x 1<x 2<b, u=g(x)在(a,b)上是增函数,∴u 1<u 2， 又y=f(x)在R 上是增函数,∴f(u 1)<f(u 2)， 即f[g(x 1)]<f[g(x 2)]．所以函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．【解后反思】研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成,然后根据“同增异减”法则作出判断．11112)f =1,2=1+1=f +f =f 3339⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 那么()()()1f x +f 2-x <2f x 2-x <f 9⎛⎫⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭由得()x>02-x>0x 2-x >9⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得⎧⎪∴⎨⎪⎩0<x<21-331-33()()()()()()()+3f x R 1f xy =f x +f y f =1.1)f 1;2)3f x +f 2-x <2,x ⎛⎫⎪⎝⎭例、已知函数是定义在上的减函数，并且满足且求的值如果求的取值范围。

2012高一数学函数的单调性（2）学案学习目标：1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．课前预复习：1．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则有下列关系式：（1）f (a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；（2）f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；（3）f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；（4）f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中一定正确的有．2．用单调性求函数的最值的要求是什么？问题解决：一、问题情境1．情境．（1）复述函数的单调性定义；（2）表述常见函数的单调性．2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况；三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0∈A，使得对任意x∈A， f(x)≤f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)．若存在定值x 0∈A ，使得对任意x ∈A ，f (x )≥f (x 0)恒成立，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝ f (x 0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0)，当a ＞0时，函数有最小值；当a ＜0时，函数有最大值．（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y ＝f (x )的定义域是[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之，当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调减函数；当x ∈[c ，b ] 时，f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值． 练习反馈：例1、求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x，x ∈[1，3]． 变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．（2）将y ＝1x的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0，10]上的最大值和最小值．例2、求函数f (x )＝x 2－2ax 在[0，4]上的最小值．课堂小结：利用图形，感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．课后巩固：1.已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ．当x ∈[a ，c ]时，f (x )是单调增函数；当x ∈[c ，b ]时，f (x )是单调减函数．试证明f (x )在x ＝c 时取得最大值．变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．2.如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．3.求下列函数的值域：（1）yx∈[0，3]；（2） y＝11x-，x∈[2，6]；（3）y（4）y＝11(1)x x--．学习反思：。