2017-2018学年上海市浦东新区九年级上学期期中数学试卷与解析

2021-2022学年上海市浦东新区九年级（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上，]1．（4分）下列二次根式中，的同类二次根式是（）A．B．C．D．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k＞1D．k＞1且k≠0 3．（4分）如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4B．0.36C．0.3D．0.245．（4分）下列命题中，真命题的个数有（）①长度相等的两条弧是等弧②不共线的三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径必垂直于这条弦A．1个B．2个C．3个D．4个6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝．8．（4分）在北京冬奥运的火炬传递活动中，火炬传递的总里程大约为137000公里，用科学记数法可表示为公里．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）方程的解为．11．（4分）已知反比例函数y＝，如果在每个象限内，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是株．植树株数（株）567小组个数34315．（4分）如图，一个高BE为米的长方体木箱沿坡比为1：的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么用、表示是．17．（4分）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n＝．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos A＝，CD为AB边上的中线，CD ＝5，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．20．（10分）解方程组：21．（10分）如图，在△ABC中，sin B＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与cot C的值．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A 的坐标为，点B的坐标为，4小时后的y与x的函数关系式为_________（不要求写定义域）．23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）若BC2＝GD•BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．25．（14分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB 为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．（1）求CE的长；（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．2021-2022学年上海市浦东新区九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上，]1．【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与是同类二次根式，本题得以解决．【解答】解：A、＝2与不是同类二次根式，错误；B、与不是同类二次根式，错误；C、与是同类二次根式，正确；D、与不是同类二次根式，错误；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．2．【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．3．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，∴抛物线y＝x2向左移2个单位得原函数解析式y＝（x+2）2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．【分析】根据乘车的人数和频率，求出总人数，再根据条形统计图给出的数据求出步行的人数，从而得出步行的频率．【解答】解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4，∴总人数是＝50（人），∴步行的频率为＝0.36；故选：B．【点评】此题考查了频数分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5．【分析】对于①③，成立的条件是在同一个圆内，不是真命题，②④都是真命题．【解答】解：①在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；②不共线的三点确定一个圆，为真命题．③在同一个圆内，故原命题为假命题；④平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为假命题．故真命题的个数为1个，故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理等知识是解答此题的关键．6．【分析】直接利用已知得出两圆的半径，进而得出两圆位置关系．【解答】解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5＝4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，正确得出两圆心距离是解题关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．【分析】根据同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减即可得出答案．【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣（a6÷a2）＝﹣a4．故答案为：﹣a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：137000＝1.37×105．故答案为：1.37×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由﹣x＞1，得：x＜﹣1，由2x≤4，得：x≤2，则不等式组的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．【分析】方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：两边平方得：﹣x+2＝x2，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，经检验x＝﹣2是增根，无理方程的解为x＝1，故答案为：x＝1【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．11．【分析】根据反比例函数的增减性，可得3﹣a＜0，解不等式即可．【解答】解：根据题意，得3﹣a＜0，解得a＞3，故答案为：a＞3．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．12．【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【点评】此题考查了二次函数的性质，要熟悉对称轴公式、二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一．13．【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，∴抽到中心对称图形的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是＝6（株），故答案为：6．【点评】本题考查的是平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义．15．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：，∴tan∠DAF＝＝，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴＝，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．16．【分析】首先证明OA＝OC，OB＝OD，求出可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵＝+＝﹣+，∴＝2＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．17．【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求解即可．【解答】解：∵正n边形的一个内角和＝（n﹣2）•180°，∴正n边形的一个内角＝，∵正n边形的中心角＝，∴＝2×，解得，n＝6．（经检验可知n＝6是原方程的解）故答案为：6．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．18．【分析】根据三角函数可得BC，AC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求CD，BD，根据三角形面积公式可求CD边的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，CD＝5，∴AB＝10，CD＝BD＝5，∵cos A＝＝，∴AC＝8，∴BC＝＝＝6，∴CD边的高＝6×8÷2÷2×2÷5＝，∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或r＝．故答案为：5＜r≤6或r＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝，当时，原式＝＝﹣7﹣4．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．20．【分析】根据平方根的意义，把方程组中①变形为：x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2，它们与方程组②组成二元一次方程组，求解即可．【解答】解：由①得，x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2将它们与方程②分别组成方程组，得：解，得；解得．所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，把组中的高次方程降次，重新得到方程组是解决本类题目的常见办法．另本题亦可把组中的②变形，用含一个未知数的代数式表示出另一个未知数，代入①解一元二次方程，先求出一个未知数的值，再求方程组的解．21．【分析】过点A作AD⊥CB，在Rt△ABD中利用三角形的边角间关系先求出AD、BD，再利用平行线的性质求出CF、EF，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D．∵AB＝AF＝5，∴BD＝FD＝BF．在Rt△ABD中，∵sin B＝＝，AB＝5，∴AD＝4．∴BD＝＝3．∴BF＝2BD＝6．∵EF⊥CB，AD⊥CB，∴EF∥AD．∴＝，∵AE：EC＝3：5，DF＝3，∴＝＝，＝＝＝．∴CF＝5，EF＝．在Rt△CEF中，cot C＝＝2．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握“等腰三角形的三线合一”、平行线的性质、比例的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．22．【分析】（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时，根据图象列出方程解答即可；（2）根据图象得出坐标和关系式即可．【解答】解：（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时由题意得，解得x1＝﹣50x2＝60经检验，x1＝﹣50x2＝60都是原方程的解，但x1＝﹣50不符合题意，舍去∴x＝60，答：甲车原计划的速度为60千米/小时；（2）4×60＝240，所以点A的坐标为（4，240）；点B的坐标为（12，600）；4小时后的y与x的函数关系式为y＝45x+60；故答案为：（4，240）；（12，600）；y＝45x+60【点评】本题考查了一次函数的应用及函数的图象，解答本题的关键是仔细观察所给图象，理解每个拐点的实际意义，注意数形结合思想的运用．23．【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明＝即可；（2）利用相似三角形的性质证明BC＝CD即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AD∥BE，∴＝，∵＝∴＝，∴AB∥CD．（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，∵BC2＝GD•BD，∴AD2＝GD•BD，即＝，又∵∠ADG＝∠BDA，∴△ADG∽△BDA，∴∠DAG＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠E，∵BG＝GE，∴∠DBC＝∠E，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的判定等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣8x）+3＝（x﹣4）2﹣1，∴D（4，﹣1）；（2）可得点E（3，0），OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F在Rt△OEC中，EC＝＝3，在Rt△BEF中，BF＝BE•sin∠BEF＝，同理，EF＝，∴CF＝3+＝，在Rt△CBF中，tan∠BCD＝＝；（3）设点P（m，）∵∠PEB＝∠BCD，∴tan∠PEB＝tan∠BCD＝，①点P在x轴上方∴，解得：，∴点P（，），②点P在x轴下方∴，解得：m＝12，∴点P（12，﹣3），综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及锐角三角函数关系的应用，正确分类讨论是解题关键．25．【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE•CP，即，进而得到；②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，即可得到．【解答】解：（1）∵AE∥CD，∴＝，∵BC＝DC，∴BE＝AE，设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，∴，即；（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，∴∠ACQ＝∠P，又∵AE∥CD，∴∠ACQ＝∠CAE，∴∠CAE＝∠P，∴△ACE∽△PCA，∴AC2＝CE•CP，即，∴；②设CP＝t，则，∵∠ACB＝90°，∴，∵AE∥CD，∴，即＝＝，∴，若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，∴15t2﹣40t+16＝0，解之得，又∵t＞，∴．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．。

2022-2023学年上海市浦东新区建平中学西校九年级（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 符号tanA 表示（ ） A. ∠A 的正弦 B. ∠A 的余弦C. ∠A 的正切D. ∠A 的余切【答案】C 【解析】【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义可得：tan α表示a ∠的正切． 【详解】符号tanA 表示∠A 的正切． 故选C ．【点睛】考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． 2. 如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（ ） A. :6:5x y = B. :5:6x y =C. 5,6x y ==D. 6,5x y ==【答案】A 【解析】【详解】解：由 5x =6y ，可以得出：x ：6=y ：5， 故选A ．3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cos B 的值为（ ）A.B.14C.D.【答案】A 【解析】 【详解】∵Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB=4， 故选：A4. 已知 5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） A. 50a b == B. a 与b 方向相同C. a b ∥D. 5a b =【答案】A 【解析】【分析】根据平行向量以及模定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A 、500a b −=≠，故该选项说法错误，符合题意； B 、因为5a b =，所以a 与b 方向相同，故该选项说法正确，不符合题意； C 、因为5a b =，所以a b ∥，故该选项说法正确，不符合题意； D 、因为5a b =，所以5a b =，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A. 3：2B. 2：3C. 3:D. 2【答案】B 【解析】【分析】只要证明△ACD ∽△CBD ，可得BC ：AC=BD ：CD=4：6=2：3，由此即可解决问题． 【详解】∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°， ∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ， ∵∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ACB ∽△CDB ，∴BC ：AC=BD ：CD=4：6=2：3，的故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC的是（）A. BA CABD CE= B.EA DAEC DB=C. ED EABC AC= D.EA ACAD AB=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. 当BA CABD CE=时，能判断ED BC‖；B. 当EA DAEC DB=时，能判断ED BC‖；C. 当ED EABC AC=时，不能判断ED BC‖；D. 当EA ACAD AB=时，EA ADAC AB=，能判断ED BC‖.故选C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7. 若线段a、b满足12ab=，则a+bb值为_____．【答案】3 2【解析】【分析】由12ab=可得b=2a，然后代入求值.【详解】解:由12ab=可得b=2a，所以22a b a ab a++==32，故答案为3 2 .【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握比例的性质是本题的解题关键.8. 已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=_____．【答案】5:3【解析】【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.故答案为5:3.9. 化简：112()3()22a b a b−−+=______．【答案】14 2a b−.【解析】【详解】试题解析：原式31 234.22a b a b a b =−−−=−故答案为14. 2a b−10. 已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C=_______度.【答案】80【解析】【详解】因为△ABC∽△DEF,所以∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,因为∠A=40°,∠E=60°,所以∠B=60°,所以∠C=180°―40°―60°=80°,故答案为: 80.11. 如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_____．【答案】1:4【解析】【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答．详解：∵两个相似三角形的周长之比1：4， ∴它们的相似比是1：4，∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4． 故答案为1：4．点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 12. 如果a 、b 、x 满足关系式()40a b x −−=，那么x =______（用向量a 、b 表示）. 【答案】4b a − 【解析】【分析】把()40a b x −−=看成关于x 的方程即可解决问题.【详解】∵()40a b x −−=，∴40a b x −+=， ∴4x b a =−， 故填：4b a −.【点睛】此题考查平面向量，可以转化为关于x 的方程来解决问题.13. 如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．【解析】【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ， ∵G 是三角形的重心， ∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD 2=，∴GA =23AD ，【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．14. 在比例尺为1:1500000的地图上测得甲、乙两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是____千米 【答案】30 【解析】【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】设这两地的实际距离是x 厘米，则： 1:1500000=2:x ， 解得x =3000000. 3000000厘米=30千米. 故答案为30.【点睛】本题考查比例尺，熟记比例尺的定义是解决此题的关键，在本题中计算时可根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积.15. 如图，△ABC 中，点D 在边AC 上，∠ABD=∠C ，AD=9，DC=7，那么AB=____．【答案】12【解析】【详解】∵在△ABC 中，∠ABD =∠C ，∠A =∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ， ∴AB 2=AD ⋅AC ， 而AD =9，CD =7， ∴AC =16， ∴AB =12. 故答案为12.16. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果S △AOB =2S △AOD ，AB=10，那么CD 的长是_____．【答案】5 【解析】【详解】根据三角形的面积关系，由S △AOB =2S △AOD ，可知OD ：OB=1：2，然后根据平行线的性质，由AB∥CD，可得△AOB∽△COD，然后根据相似三角形的性质，可得CD DOAB BO =，即1102CD =，求得CD=5， 故答案为5．17. 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 中点．如果CA a =，CD b =，那么CB =_____（结果用含a 、b 的式子表示）．【答案】2b a − 【解析】【详解】∵CA a =，CD b =， ∴AD AC CD a b =−=−， ∴222BA AD a b ==−，的∴222CB AC AB a a b b a =−=−+=−， 故答案为2b a − ；18. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =（如图）．将ACB △绕点A 顺时针方向旋转得ADE（点C 、B 的对应点分别为点D 、E ），点D 恰好落在直线BE 上，直线BE 和直线AC 交于点F ，则线段AF的长为____________．【答案】757##5107【解析】 【分析】证CBFDAF ∆∆，得43BC CF AD DF ==，设34DF x CF x ==，，43AF x =−，由222AD DF AF +=即可求解；【详解】解：如图，由旋转的性质可知，C ADF ∠=∠， ∵F ∠是公共角， ∴CBF DAF ∆∆，∴43BC CF AD DF ==， 设34DF x CF x ==，，则43AF x =−，∵222AD DF AF +=，即()()2223343x x +=−，∴122407x x ==，（舍去）， ∴24754377AF =⨯−=． 故答案为：757．【点睛】本题主要考查相似三角形的证明及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 计算：cot30°﹣sin60°+22cos30tan 45︒−︒．【答案】12+ 【解析】【详解】试题分析：将特殊三角函数值代入计算即可. 试题解析：解：原式2−=+=121+． 20. 如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ，已知5AD =，4BD =． （1）求BC 的长度；（2）如果AD a =，AE b =，那么请用a 、b 表示向量CB ．【答案】（1）365；（2）9955CB a b =−【解析】【详解】试题分析：（1）由BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ∥BC ，可证得BD=DE ，DE ADBC AB=，从而可求出结论； （2）由ED BC ，得5=9DE AD BC AB =.故95BC DE = 又ED 与CB 同向，所以95CBED =，由AD a =，AE b =得ED a b =−，因此9955CB a b =− 试题解析：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴ABE CBE ∠=∠. ∵ED BC ， ∴DEB CBE ∠=∠. ∴ABE DEB ∠=∠. ∴4BD DE ==. ∵ED BC ， ∴DE ADBC AB=. 又∵5AD =，4BD =， ∴9AB =， ∴459BC =，∴365BC =. （2）∵ED BC ，∴5=9DE AD BC AB =. ∴95BC DE =又∵ED 与CB 同向 ∴95CB ED =∵AD a =，AE b = ∴ED a b =− ∴9955CB a b =− 21. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AD ＝4，BC ＝9，锐角∠DBC 的正弦值为23．求：（1）对角线BD 的长； （2）梯形ABCD 的面积．【答案】（1）6；（2）26 【解析】【分析】（1）根据已知条件证明ABDDCB ，即可得解；（2）过点D 作DE BC ⊥，根据正弦值得到4DE =，再根据梯形的面积计算即可； 【详解】（1）∵AD ∥BC ， ∴ADB DBC ∠=∠， ∵ABD C ∠=∠， ∴ABD DCB ，∴AD BDBD BC=， ∵AD ＝4，BC ＝9， ∴6BD =；（2）过点D 作DE BC ⊥，则90DEB ∠=︒， ∵锐角∠DBC 的正弦值为23， ∴2sin 3DE dbc BD ∠==， ∵6BD =， ∴4DE =，∴梯形ABCD 的面积为()()114942622AD BC DE =+⨯=⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．22. 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于E ，点F 是DE 延长线上一点，联结AF ． （1）如果23AD AB =，DE=6，求边BC 的长； （2）如果∠FAE=∠B ，FA=6，FE=4，求DF 的长．【答案】（1）9；（2）9．【解析】【分析】（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到∠FAE=∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得比例求出DF的长即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴23 AD DEAB BC==，∵DE=6，∴BC=9；（2）∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∵∠B=∠FAE，∴∠FAE=∠ADE，∵∠F=∠F，∴△AEF∽△DAF，∴AF FE DF AF=，∵FA=6，FE=4，∴DF=9．23. 如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用AA 证明△CEF ∽△CAB ，再列出比例式利用SAS 证明△CAF ∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF ，设EC=1，则EF=1，，AC=3，由勾股定理得出AB=BC=2AC=2，得出BF=BC ﹣FC=2，由三角函数即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°， ∵EF ⊥AC ，∴∠FEC=90°=∠ABC ， 又∵∠FCE=∠ACB ， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴CF CBCE CA=， 又∵∠ACF=∠BCE ， ∴△CAF ∽△CBE ； （2）∵△CAF ∽△CBE ， ∴∠CAF=∠CBE ， ∵∠BAC=∠BCA=45°， ∴∠BAF=∠BEF ，设EC=1，则EF=1，， ∵AE ：EC=2：1， ∴AC=3，∴AB=BC=2AC=2，∴BF=BC ﹣FC=2， ∴1tan tan 3BF BEF BAF AB ∠=∠==． 24. 已知：如图，平而直角坐标系中直线31y x 经过点A （点A 位于第三象限）与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且3AC BC =．（1）求线段BC 的长度； （2）求点A 的坐标；（3）设点()1,2D ，联结AD CD 、，求证：ADC ACO ∠=∠．【答案】（1 （2）()12A −−， （3）证明见详解 【解析】【分析】（1）分别将0x =、0y =代入中31yx ，得()01C ，、103B ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；进而可求BC ；（2）由3AC BC =，可得AC =，设点()31A m m +，，则()222131m m AC +−+==⎡⎤⎣⎦，即可求解；（3）求AD 的表达式为：2y x =，则AD 过原点，证DAC CAO ∆∆，即可求证；【小问1详解】 解：将0x =代入中31y x ，得1y =，则()01C ，；将0y =代入中31yx ，得13x，则103B ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；∴3BC ===； 【小问2详解】 ∵3AC BC =，∴3AC ==，设点()31A m m +，，则()222131m m AC +−+==⎡⎤⎣⎦，解得：1211m m =−=，（舍去），∴()12A −−， 【小问3详解】 如图，设AD 的表达式为：y kx b =+，将()12A −−，，()1,2D 代入得， 22k b k b−=−+⎧⎨=+⎩解得：20k b =⎧⎨=⎩， ∴AD 的表达式为：2y x =， ∴AD 过原点，∵AD ==，OA ==∴AD AC AC OA ====， ∵DAC CAO ∠=∠， ∴DACCAO ∆∆，∴ADC ACO ∠=∠．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，相似三角形的证明，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．25. 在边长为2的菱形ABCD 中，E 是边AD 的中点，点F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 上，且FG ⊥EF ，EH ⊥EF ．（1）如图1，当点F 是边AB 中点时，求证：四边形EFGH 是矩形； （2）如图2，当12BG GC时，求FG EH值； （3）当5cos 13D，且四边形EFGH 是矩形时（点F 不与AB 中点重合），求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）23；（3）313或813【解析】【分析】（1）连接AC 、BD ，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得//GF EH ，GF EH =，从而可知四边形EFGH 是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论； （2）连接EG ，由菱形的性质及//FG EH 可得BGF DEH ，及B D ∠=∠，从而判定BGF DEH ∽，结合12BGGC及菱形的性质可得答案； （3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，根据5cos 13D 及菱形的边长可求得513BMAN，1213MG NE．设AF x =，则2113MF x ，当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①GMF FNE ∽，②GMF ENF ∽．【详解】解：（1）连接AC 、BD ，菱形ABCD 中，E 是边AD中点，点F 是边AB 中点，12AFAEAB ，//EF BD ， FGEF ，EH EF ⊥．////GF EH AC ，12GF HEAC ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，FGEF ，90EFG ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形；（2）连接EG ，菱形ABCD 中，//AD BC ，BGEDEG ，//FG EH ， FGE HEG ， BGFDEH ，又菱形ABCD 中，B D ∠=∠，BGF DEH ∽，∴FG BGEH DE 12BG GC ， 13BGBC ， 1122DE AD BC ==， ∴23FG BG EHDE； 的（3）如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，过点E 作EN BA ⊥延长线于点N ，四边形EFGH 是矩形， GFEH ，由（2）可知，BGF DEH ∽，∴此时BGF DEH ∆≅∆，又菱形ABCD 边长为2， 1BGDE，1BG CG ∴==，5cos cos cos 13B EAN D， 513BM AN ， 1213MGNE． 设AF x =，则52121313MF xx ，当四边形EFGH 是矩形时，90GFE ∠=︒，则GMF ∆与FNE ∆相似（三垂直模型）． ①若GMF FNE ∽， 则MG MFNF EN ， ∴122113135121313x x， 解得1313x ，21x =（点F 不与AB 中点重合，舍去）； ②若GMF ENF ∽，则MF GMNFEN，21131513xx，解得813 x．综上，AF的长为313或813．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的思想，并明确相关性质及定理是解题的关键．。

上海市浦东新区多校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．关于相似三角形，下列命题中不正确的是（）A ．两个等腰直角三角形相似B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．含有30°角的两个直角三角形相似D ．相似三角形的对应中线的比等于相似比2．在Rt ABC △中，90 54C AB AC ∠=︒==，，，那么sin A 的值等于（）A ．34B ．43C ．35D ．453．在ABC 中，点D ，E 分别在边A ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是()A ．12DE BC =B ．31DE BC =C ．12AE AC =D ．31AE AC =4．已知3,a b =下列判断正确的是（）A ．a 与b，方向相同B ．30a b +=C ．a与b不平行D ．a b=5．如图，在ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，如果3DEF S =V ，那么ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．24D ．366．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()00O ，，点()0A 1，，()02B ，，()30C ，，点D 在第一象限内，如果以点D 、O 、C 为顶点的三角形与AOB V 相似，那么这样的点D 有（）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．已知0,1089x y z==≠则x y z x y ++=+．8．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，如果49a c ==，，那么b =．9．如果两地相距250km ，那么在1:10000000的地图上它们相距cm ．10．长为2的线段A 上有两点C 、D ，点C 是靠近点A 的黄金分割点，点D 是靠近点B 的黄金分割点，则C 的长为．11．如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线l l ₁、₂于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果23AD DF =，20BE =，那么线段CE 的长是．12．在ABC V 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥垂足为点D ，若915AD AC ==，，则DB =．13．点G 是ABC 的重心，设,AB a AC b == ，那么AG 关于a 和b的分解式是．14．△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE ＝15．如图，图中提供了一种求cot15︒的方法，作Rt ABC ，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，再延长CB 到点D ，使BD BA =，联结AD ，即可得15D ∠=︒，如果设AC t =，则可得(2CD t =，那么cot15cot 2CDD AC=== ，运用以上方法，可求得cot 22.5︒的值是．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD ⊥AB ，AD=0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥CE 交DE 于点F ，那么BF=．17．如图，在 ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么BE ∶AE 的值为．（用含a 、b 的式子表示）18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，tan B =34，点M 是AB 边的中点，将△ABC 绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到△DEA ，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是．三、解答题19．计算：2sin 45tan 452cot 30sin 60cos 60︒-︒+︒⋅︒︒．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD =．:1:3AD BC =．设AB a = ，AD b=．(1)填空：CB = ；BD = ；CD = ；（用a、b 表示）(2)作AC 在a 、b方向上的分向量（不要求写作法，但要指出明确的结论）．21．如图，已知在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为点2,2,6,tan 3D AD BD B ∠===，点E 是边BC 的中点．(1)求边AC 的长；(2)求EAB ∠的正弦值．22．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC V 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin 640.90︒=，cos640.44︒=，tan 642.05︒=）23．如图，在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，2BC AD =，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且BDF BAC ∠=∠．(1)求证：2EB EF EC =⋅；(2)如果6BC =，2sin 3BAC ∠=，求FC 的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A 和点()1,3B -，点()1,1D -．(1)求直线BD 的表达式和线段AB 的长度；(2)连接线段BD AD 、，求tan ABD ∠的值；(3)设线段BD 与x 轴交于点P ，如果点C 在x 轴上，且ABC V 与ABP 相似，求点C 的坐标．25．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与边CD 垂直，34AB AC =，四边形ABCD 的周长是16，点E 是在AD 延长线上的一点，点F 是在射线AB 上的一点，CED CDF ∠=∠．(1)如图1，如果点F 与点B 重合，求AFD ∠的余切值；(2)如图2，点F 在边AB 上的一点．设AE x =，BF y =，求y 关于x 的函数关系式并写出它的定义域；(3)如果:1:2BF FA =，求CDE 的面积．。

2019-2019学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共6题，每天4分，共24分． 1．下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ）A ．2，3，4，6B ．2，3，4，5C ．2，3，5，7D ．3，4，5，62．已知△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，下列各式中，不能判断DE ∥AB 的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ） A ．，B ．||=||C ．D ．，5．下列各组条件中一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ． B ．，且∠A=∠EC ．，且∠A=∠D D ．，且∠A=∠D6．已知梯形ABCD 的对角线交于O ，AD ∥BC ，有以下四个结论： ①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△BOC ；③S △COD ：S △AOD =BC ：AD ； ④S △COD =S △AOB 正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题共12题，每题4分，共48分． 7．已知=，那么= ．8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=4cm ，则较长线段AP 的长是= cm ． 9．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们对应角平分线的比为 ． 10．若是单位向量，与的方向相反，且长度为3，则用表示是 ． 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，那么∠A 的余弦值是 ． 12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，sinA=，那么AB= ．13．在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=度．14．如图，已知l1∥l2∥l3，若=，DE=6，则EF=．15．如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，=，=，那么=．（用、表示）16．如图△ABC中，AB=9，点D在边AB上，AD=5，∠B=∠ACD，则AC=．17．已知：△ABC∽△DEF，且∠A=∠D，AB=8，AC=6，DE=2，那么DF=．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，则DE的长为．三、解答题：本大题共7题，19题-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，共78分．19．计算：﹣3cot260°•tan45°．20．已知：如图，两个不平行的向量和．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．22．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC=∠A=90°，，求的值．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，sinA=．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．24．如图：已知一次函数y=x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点C（4，m）在一次函数y=x+3的图象上，CD⊥x轴于点D．（1）求m的值及A、B两点的坐标；（2）如果点E在线段AC上，且=，求E点的坐标；（3）如果点P在x轴上，那么当△APC与△ABD相似时，求点P的坐标．25．如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE•CD=BD•BC；（2）设AD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD=3，求线段BF的长．2019-2019学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6题，每天4分，共24分．1．下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）A．2，3，4，6 B．2，3，4，5 C．2，3，5，7 D．3，4，5，6【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵2：3=4：6，∴2，3，4，6能成比例线段，故本选项正确；B、2，3，4，5不能成比例线段，故本选项错误；C、2，3，5，7不能成比例线段，故本选项错误；D、3，4，5，6不能成比例线段，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．2．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A．B．C．D．【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．【解答】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，即=，=，故选项A、B正确；=，即=，故选项C正确；而=，故D选项答案错误．故选D．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．B．C．D．【分析】先根据直角三角形两锐角互余的关系求出∠A=∠BCD，再由锐角三角函数的定义对四个选项进行逐一判断．【解答】解：∵CD⊥AB于D，∴△BCD是直角三角形，∠B+∠BCD=90°，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠A=∠BCD，A、∵∠A=∠BCD，∴sinA=sinA∠BCD==，故本选项正确；B、∵∠A=∠BCD，∴cosA=cos∠BCD==，故本选项错误；C、∵∠A=∠BCD，∴cotA=cot∠BCD==，故本选项错误；D、∵∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是直角三角形两锐角的关系及锐角三角函数的定义，根据直角三角形的性质求出∠A=∠BCD是解答此题的关键．4．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（）A．，B．||=||C．D．，【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵，，∴，故本选项错误；B、∵||=||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；C、∵，∴，故本选项错误；D、∵，，∴，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．5．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A． B．，且∠A=∠EC．，且∠A=∠D D．，且∠A=∠D【分析】根据三角形相似的判定方法（①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A 、B 的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行判断．【解答】解：A 、△ABC 与△DEF 的三组边不是对应成比例，所以不能判定△ABC 与△DEF相似．故本选项错误；B 、∠A 与∠E 不是△ABC 与△DEF 的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定△ABC 与△DEF 相似．故本选项错误；C 、△ABC 与△DEF 的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定△ABC 与△DEF 相似．故本选项正确；D 、，不是△ABC 与△DEF 的对应边成比例，所以不能判定△ABC 与△DEF 相似．故本选项错误；故选C ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．已知梯形ABCD 的对角线交于O ，AD ∥BC ，有以下四个结论： ①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△BOC ；③S △COD ：S △AOD =BC ：AD ； ④S △COD =S △AOB 正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可． 【解答】解：∵AB ∥CD ， ∴△AOB ∽△COD ，①正确； ∵∠ADO 不一定等于∠BCO ，∴△AOD 与△BOC 不一定相似，②错误；∴S △DOC ：S △AOD =CO ：AO=DC ：AB ，③错误； S △COD ≠S △AOB ，④错误， 故选：A ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题：本大题共12题，每题4分，共48分．7．已知=，那么=．【分析】根据比例设a=5k，b=2k，然后代入比例进行计算即可得解．【解答】解：根据=，设a=5k，b=2k，则===；故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，是基础题，利用比例式用k分别表示出a、b进行求解比较简单．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4cm，则较长线段AP的长是=2﹣2cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB，而AB=6cm，∴AP=3×=2﹣2．故答案是：2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们对应角平分线的比为2：3．【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．【解答】解：∵相似比为2：3，∴对应角平分线的比为2：3．【点评】本题利用相似三角形的性质求解．10．若是单位向量，与的方向相反，且长度为3，则用表示是﹣3．【分析】由与的方向相反，可知是负的，又由长度为3，即可得到．【解答】解：∵是单位向量，与的方向相反，且长度为3，∴=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查向量的知识．注意方向相反即是符号相反，长度是3，即是3个单位长度，即3．11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，那么∠A的余弦值是．【分析】根据余弦的定义解答即可．【解答】解：cosA==，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=，那么AB=18．【分析】运用三角函数定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，sinA==，∴AB=3×6=18．故答案为：18．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．13．在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=75度．【分析】先根据，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．14．如图，已知l1∥l2∥l3，若=，DE=6，则EF=9．【分析】由l1∥l2∥l3，可得=，结合条件即可解决问题．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，又∵=，DE=6，∴=∴EF=9，故答案为9．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于基础题，中考常考题型．15．如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，=，=，那么=．（用、表示）【分析】根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可．【解答】解：根据三角形的重心定理，AG=AD，于是==．故=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理（三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的），难度不大．16．如图△ABC中，AB=9，点D在边AB上，AD=5，∠B=∠ACD，则AC=．【分析】由条件∠B=∠ACD，∠A=∠A，可以得出△ACD∽△ABC，可以得出，再将AB=9，AD=5代入比例式就可以求出AC的值．【解答】解：∵∠B=∠ACD，且∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴．∵AB=9，AD=5，∴，∴AC=3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与相似三角形的性质的运用，在解答中运用两角对应相等证明两三角形相似是解答的关键．17．已知：△ABC∽△DEF，且∠A=∠D，AB=8，AC=6，DE=2，那么DF=．【分析】根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴=，∵AB=8，AC=6，DE=2，∴=，解得DF=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA=，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在AB上，则DE的长为．【分析】把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，根据折叠的性质得到DE⊥CF，OC=OF，再根据等角的余角相等得∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，则∠1=∠A，所以FC=FA，同理可得FC=FB，于是有CF=AB，OC=AB，然后根据余切的定义和勾股定理得到BC=4，AB=5，所以OC=，再分别在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用余切的定义计算出OE=，OD=，再计算OE+OD即可．【解答】解：把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，如图，∴DE⊥CF，OC=OF，∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，∴∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，∴∠1=∠A，∴FC=FA，同理可得FC=FB，∴CF=AB，∴OC=AB，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∴cotA==，∴BC=4，∴AB==5，∴OC=，在Rt△OEC中，cot∠1=cot∠A=，即=，∴OE=，在Rt△ODC中，cot∠ODC=cot∠A=，即=，∴OD=，∴DE=OD+OE=+=．故答案为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．三、解答题：本大题共7题，19题-22题每题10分，23-24题每题12分，25题14分，共78分．19．计算：﹣3cot260°•tan45°．【分析】将sin30°=，cos30°=，sin60°=，cos60°=，cot60°=，tan45°=1代入进行计算即可得解．【解答】解：﹣3cot260°•tan45°，=﹣3×（）2×1，=﹣3××1，=﹣1，=2+﹣1，=1+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数，熟记30°、45°、60°特殊角的正弦，余弦以及正切值是解题的关键．20．已知：如图，两个不平行的向量和．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】首先化简：，然后根据化简的结果作图即可求得答案．【解答】解：，=，=+2．如图：=，=2，则即为所求．【点评】此题考查了平面向量的知识．解题的关键是现将化简，然后再作图．21．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论．【解答】证明：∵GF∥BC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴，∴．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC=∠A=90°，，求的值．【分析】三角形的面积比等于对应边的平方比，由于△ABD∽△DBC，所以只要求其对应边的比值即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．又∵∠BDC=∠A=90°，∴△ABD∽△DBC．∴，在Rt△ABD中，∵，∴．【点评】本题主要考查了相似三角形对应边与面积的比值之间的关系，能够利用相似三角形的性质求解一些简单的问题．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠ABC，DE ⊥AB，AE=8，sinA=．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【分析】（1）根据正弦的概念和勾股定理求出DE的值，根据角平分线的性质求出CD的长；（2）根据相似三角形的判定和性质求出AB、BE、BC的长，根据正切的概念计算得到答案．【解答】解：（1）∵sinA=，∴=，设DE=3x，则DA=5x，由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2=82，解得x=2，∴DE=3x=6，DA=5x=10，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=6；（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，∴△AED∽△ACB，∴，即=，解得AB=20，则BE=AB﹣AE=12，∴BC=12，则tan∠DBC==．【点评】本题考查的是角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．24．如图：已知一次函数y=x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点C（4，m）在一次函数y=x+3的图象上，CD⊥x轴于点D．（1）求m的值及A、B两点的坐标；（2）如果点E在线段AC上，且=，求E点的坐标；（3）如果点P在x轴上，那么当△APC与△ABD相似时，求点P的坐标．【分析】（1）把C点坐标代入y=x+3可求出m的值，把x=0，y=0分别代入一次函数解析式中，可得点B，A的坐标；（2）过E点作EF垂直x轴，再利用相似三角形的性质进行解答即可；（3）根据分类讨论思想分析解答即可．【解答】解：（1）把x=0，代入一次函数的解析式中，可得：y=3，所以点B的坐标是（0，3）；把y=0代入一次函数的解析式中，可得：x=﹣4，所以点A的坐标是（﹣4，0），把x=4代入一次函数的解析式中，可得：y=6，所以m的值是6；（2）过E点作EF垂直x轴与F点，过C点作CD⊥x轴，如图1，∴△AEF∽△ACD，∵，∴，∵根据题意得：EF∥CD，且AD=8，CD=6，∴，∴，∴E点的坐标为（3）当点P在OA的延长线上时，∠BAD＞∠APC，∠BAD＞∠ACP，且∠BAD＜∠PAC，当点P在如图2的位置上时，则△APC∽△ABD，，则，当点P在如图3的位置上时，则△APC∽△ABD，，则AP=16，则P2=（12，0），综上所述：符合条件的点P的坐标是．【点评】本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用，第（3）问中只有相似没有对应，所以要进行分类讨论是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE•CD=BD•BC；（2）设AD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD=3，求线段BF的长．【分析】（1）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而∠BEC=∠ACB，可得∠BEC=∠ABC，再加上公共角可得△CBE∽△CDB，写出相似比即可．（2）由△CBE∽△CDB，得∠CBE=∠CDB，得到△FCB∽△CBD，有，而BD=AB ﹣AD=12﹣x，得到．而AF=AC﹣CF，即可得到．（3）过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，则，而AD=3，CF=，CG=．可计算出CH=1，在Rt△CFH中利用勾股定理计算出FH，再在Rt△BFH利用勾股定理即可计算出BF．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BEC=∠ACB，∴∠BEC=∠ABC．又∵∠BCE=∠DCB，∴△CBE∽△CDB．∴．即BE•CD=BD•BC．（2）解：∵△CBE∽△CDB，∴∠CBE=∠CDB．又∵∠FCB=∠CBD．∴△FCB∽△CBD．∴，∵BD=AB﹣AD=12﹣x，∴，∴．∵AF=AC﹣CF，∴，∴y关于x的函数解析式是，定义域为0＜x≤9．（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，如图∴，∵AD=3，CF=，CG=．∴，∴CH=1．∴FH2=CF2﹣CH2=16﹣1=15．∵BH=BC﹣CH=6﹣1=5，∴BF=．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及三角函数的定义．2019年12月11日第1页（共21页）。

上海市浦东新区2017届九年级（上）月考数学试卷（9月份）(解析版)一、选择题：1．在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似2．若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：163．已知，下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A．B．C．D．5．如果，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于O，F在BC延长线上，交CD于E，如果OE=EF，则BF：CF等于（）A．3：1 B．2：1 C．5：2 D．3：2二、填空题：7．已知线段a=2厘米，c=8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．8．已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较长线段AC的长是厘米（结果保留根号）．9．已知与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示=．10．计算：=．11．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A、B的实际距离为米．12．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1=3：5，BE、B1E1分别是它们的对应中线，则BE：B1E1=．13．如图，已知AE∥BC，AC，BE交于点D，若，则=．14．如图，已知AC∥BD，AE=1，AB=3，AC=2，则BD=．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC=2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．若S△AOD=4，S△AOB=6，则△COD的面积是．17．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=．18．△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，G为△ABC的重心，则点G到AB中点的距离为．三、解答题：（共78分）19．（10分）已知：，且a+b+c=27，求a、b、c的值．20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB 上一点，且=，E、F是AC上的点，且DE∥BC，DF∥BE，AF=9．求EC的长．21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长．22．（12分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．23．（10分）如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC，取AB中点F，边DF 交AC于E，求的值．24．（12分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2=PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E 为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．（1）当DF∥AB时，联结EF，求DE：DF值；（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．2016-2017学年上海市浦东新区九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：1．在下列命题中，真命题是（）A．两个钝角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似【考点】相似三角形的判定；命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：A不正确，不符合相似三角形的判定方法；B不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；C不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确；D正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定；故选D．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．2．若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．已知，下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．【解答】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d （b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；B、如果a：b=c：d那么（a﹣b）：b=（c﹣d）：d （b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故该选项错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确；故选C．【点评】本题主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d （b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a﹣b）：b=（c﹣d）：d （b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a﹣b）=（c+d）：（c﹣d）（b、d、a﹣b、c﹣d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．【解答】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，即=，=，故选项A、B正确；=，即=，故选项C正确；而=，故D选项答案错误．故选D．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行．5．如果，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】由，可知四边形ABCD是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断．【解答】解：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，A、与长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误；B、与长度相等且方向相同，相等，正确；C、与长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误；D、与长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质和相等向量的定义．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．6．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于O，F在BC延长线上，交CD于E，如果OE=EF，则BF：CF等于（）A．3：1 B．2：1 C．5：2 D．3：2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】过O作OH∥CD，交BC于点H，利用平行线的性质，可知H为BC的中点，C为HF的中点，可求得BF=3CF，可求得答案．【解答】解：如图，过O作OH∥CD，交BC于点H，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD中点，∴H为BC中点，∵OE=EF，∴E为OF的中点，∴C为HF的中点，∴BH=HC=CF，∴BF=3CF，∴BF：CF=3：1，故选A．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，由平行四边形的性质结合平行线分线段成比例的性质，求得H、C是BF的三等分点是解题的关键．二、填空题：7．已知线段a=2厘米，c=8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米．【考点】比例线段．【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2=ac=16，解得b=±4，又∵线段是正数，∴b=4．故答案为4．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．8．已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较长线段AC的长是2﹣2厘米（结果保留根号）．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC较长线段；则AC=4×=2﹣2．【解答】解：由于C为线段AB=4cm的黄金分割点，且AC较长线段；则AC=4×=2﹣2．故本题答案为：2﹣2厘米．【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．9．已知与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示=．【考点】*平面向量．【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【解答】解：∵的长度为2，向量是单位向量，∴a=2e，∵与单位向量的方向相反，∴=．故答案为：．【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．10．计算：=．【考点】*平面向量．【分析】根据向量的计算法则求解即可．首先去括号，再将同一向量的系数相加减即可求得答案．【解答】解：=2﹣2﹣3﹣=﹣﹣3．故答案为：﹣﹣3．【点评】此题考查了向量的运算．题目比较简单，先去括号，再加减运算即可．11．在比例尺为1：10000的地图上，相距4厘米的两地A、B的实际距离为400米．【考点】比例线段．【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x=1：10000，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x=1：10000，∴x=40000cm=400m．故答案为400．【点评】本题考查了比例线段：若线段a、b、c、d满足a：b=c：d，则a、b、c、d叫比例线段．也考查了比例尺．12．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1=3：5，BE、B1E1分别是它们的对应中线，则BE：B1E1=3：5．【考点】相似三角形的性质．【分析】相似三角形对应中线的比等于对应边的比．【解答】解：三角形对应中线的比等于其对应边的比，而题中三角形的对应边的比为3：5，所以三角形的中线之比也等于3：5．故答案为3：5．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够理解并熟练掌握．13．如图，已知AE∥BC，AC，BE交于点D，若，则=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由AE∥BC可知△AED∽△CBD，从而可求得，然后即可求得的值．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AED∽△CBD．∴．∴．∴．故答案为：．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．14．如图，已知AC∥BD，AE=1，AB=3，AC=2，则BD=4．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由AC∥BD易证△ACE∽△BDE，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出BD的长．【解答】解：∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴AE：BE=AC：BD，∵AE=1，AB=3，∴BE=2，∵AC=2，∴1：2=2：BD，∴BD=4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判断和性质，熟记相似三角形的各种判断方法是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC=2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为18．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF ∽△EBF ，∵EC=2BE ，∴BC=3BE ，即：AD=3BE ，∴S △AFD =9S △EFB =18．故答案为：18．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质，得到AD 与BC 平行且相等，得到相似三角形，然后用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方求出三角形的面积．16．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 交BD 于点O ．若S △AOD =4，S △AOB =6，则△COD 的面积是 6 ．【考点】梯形．【分析】直接利用梯形的性质得出S △ABD =S △ADC ，进而得出△COD 的面积．【解答】解：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AD ，∴S △ABD =S △ADC ，∴S △AOB =S △DOC ，∵S △AOD =4，S △AOB =6，∴△COD 的面积是6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了梯形，正确得出S △ABD =S △ADC 是解题关键．17．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB=4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识．18．△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，G为△ABC的重心，则点G到AB中点的距离为．【考点】三角形的重心．【分析】如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线，那么三角形的重心G在线段CD 上，然后利用勾股定理和重心的性质即可求出△ABC的重心与斜边AB中点之间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线，∴三角形的重心G在线段CD上，∴CD=AB=5，∴GD=，即△ABC的重心与斜边AB中点之间的距离等于．故答案为：．【点评】此题分别考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质及三角形的重心的性质，有一定的综合性，解题时要求学生熟练掌握这些知识才能很好解决这类问题．三、解答题：（共78分）19．（10分）（2010秋•虹口区期中）已知：，且a+b+c=27，求a、b、c的值．【考点】比例的性质．【分析】根据题意，设a=2k，b=3k，c=4k．又因为a+b+c=27，则可得k的值，从而求得a、b、c的值．【解答】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k∵a+b+c=27∴2k+3k+4k=27∴k=3∴a=6，b=9，c=12．【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．20．（10分）（2016秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，D是AB 上一点，且=，E、F是AC上的点，且DE∥BC，DF∥BE，AF=9．求EC的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】由DF∥BE可知，故可求出FE的值，由因为=故可求出EC 的长度．【解答】解：∵DF∥BE，∴∵，AF=9，∴FE=6．∵DE∥BC，∴=∵AE=AF+FE=15，∴EC=10【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题中的给出的平行线列出比例式，本题属于基础题型．21．（10分）（2016秋•浦东新区月考）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB=6，BC=8，DF=21，求DE的长．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∵AB=6，BC=8，DF=21，∴，∴DE=9．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．22．（12分）（2010秋•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠BAD=∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，又有∠ABC=∠ADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似．【解答】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．（2）△ABD∽△ACE．证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，∴AB×AE=AC×AD，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．23．（10分）（2016秋•浦东新区月考）如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC，取AB中点F，边DF交AC于E，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先过点C作CM∥AB，得出CM BF，进而得出==，进而得出答案．【解答】解：过点C作CM∥AB，∵CD=BC，CM∥AB，∴CM BF，∵AB中点F，∴AF=BF，∴CM AF，∴△AFE∽△CME，∴==，∴=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出正确辅助线是解题关键．24．（12分）（2010秋•虹口区期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2=PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；（2）由题中已知线段的长度，结合（1）中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．【解答】（1）证明：法1：∵四边形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，又∵DP是公共边，∴△DAP≌△DCP，∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，由DC∥FA得，∠F=∠DCP，∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF∴△AEP∽△FAP，∴PA2=PE•PF∴PC2=PE•PF．法2：∵四边形ABCD是菱形∴DC∥AB，AD∥BC（1分）∴，∴∴PC2=PE•PF．（2）解：∵PE=2，EF=6，∴PF=8，∵PC2=PE•PF，∴PC2=16∴PC=4，∵DC∥FB∴，又DC=8，∴∴FB=16．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．25．（14分）（2016秋•浦东新区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．（1）当DF∥AB时，联结EF，求DE：DF值；（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，即可求出DE：DF值；（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．【解答】解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°，∴，∵DF∥AB，，∴，∴，∴在Rt△DEF中，==；（2）过点E作EH⊥AC于点，则，∴，根据∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD，∴，∴，∴；（3）∵，CD=3，∴CE＞CD，∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能：①当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①），可得：，即点E在AB中点，∴此时F与C重合，∴BF=6；②当ED=EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M（如图②），可证：△DFC∽△DEM，∴，∴，∴CF=1，∴BF=7，综上所述，BF为6或7．【点评】本题主要考查了是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．。

2017-2018年上海市浦东新区九年级上学期期中数学试卷及答案2017-2018学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分）1.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A。

图形中线段的长度与角的大小都会改变B。

图形中线段的长度与角的大小都保持不变C。

图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D。

图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变2.已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC²=BC·AB，则下列式子成立的是（）A。

B。

C。

D。

3.在下列4×4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图中△ABC相似的三角形所在的网格图是（）A。

B。

C。

D。

4.如图，___为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了10米，到达点C，测得∠ACB=α，那么AB的长为（）A。

10cosα米B。

10sinα米C。

10cotα米D。

10tanα米5.下列判断不正确的是（）A。

如果 || =。

那么 || || =B。

+ = +C。

如果非零向量k ≠。

那么 || k || ≠ 0D。

+ = 06.如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么 S△DBE：S△EBC等于（）A。

1:2B。

1:3C。

1:4D。

2:3二、填空题（每题4分）7.如果。

那么 =。

8.如果两个相似三角形的面积之比是16:9，那么它们对应的角平分线之比是。

9.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且10.如图，AB与CD相交于点O，AD∥BC，11.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果。

那么△ADE与△___周长的比是。

12.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为。

上海市浦东新区2017-2018学年七年级数学上学期期中质量调研试题（考试时间90分钟，满分100分）一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1. y x 与的和的相反数，用代数式表示为……………………………………（ ）（A ）;1y x +（B ）;1y x + （C ）;1yx +- （D ）).(y x +- 2..下列各对单项式中，不是同类项的是……………………………………（ ）（A ）81与8 （B ）xy xy 21与- （C ）;2122b m mb 与（D ）.21)(4222y x xy -与 3.下列算式中错误的有……………………………………( )（1）;))((3322b a b ab a b a +=+++ （2）;))((3322b a b ab a b a -=++- （3）;3122)32(222b ab a b a +-=- （4）;2188)14(2122+-=-a a a （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4.下列多项式中，与x y --相乘的结果是22x y -的多项式是…………………（ ）（A ）y x - （B ）x y -（C ）x y +（D ）x y --5.当x ＝1时，代数式px 3＋qx ＋1的值为2017，则当x ＝－1时，代数式px 3＋qx ＋1的值为……………………………………（ ）． （A ）－2015（B ）－2016（C ）－2018（D ）20166.2101⨯0.5100的计算结果是……………………………………（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）0.5 （D ）10二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7.用代数式表示：y 的2次方与x 的和是________; 8.当2,1-==y x 时，代数式y x 72+的值是________;9. 72y x -是_____次单项式，它的系数是________;10.多项式722-+x x 按字母x 的降幂排列是_______________; 11. 已知单项式143n x y +与3212m x y -是同类项，则m n += 12. 5)2(-的底数是______;指数是______; 13. =32)(a ________; 14. =⋅x x 728________; 15.如果2,5,nmm na a a +===则___________,2n a =______．16.用平方差公式计算并填空()._____10189.71.8=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯17. 已知2a b +=，2ab =-，则2()a b -=________________18. 观察下列单项式 x ，22x -,34x ,48x -,…根据你发现的规律，第n 个单项式为 .三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）19.计算：)6(2)27(72y x y x x +---. 20.计算：2552432)()(x x x x x x ++⋅⋅⋅.21.计算：)1)(1)(1)(1)(1(842x x x x x ++++-.22. 计算：(23)(23)x y x y +--+.23．求211223x xy -+减去22233x xy -+-的差.四、解答题：（24、25,26题每题6分，27题4分，满分22分） 24．先化简，再求值：()()222112236133x x x x x x x ⎛⎫--++-+- ⎪⎝⎭，其中3x =-.25．观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52× = ×25；②×396=693× .（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2 ≤a+b ≤ 9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b）.26．开学初，学校组织开展了“创建温馨教室”活动，七（2）中队的班干部在布置教室时需要一些星形纸片，他们先把正方形的纸片剪去四个面积相等的扇形后所得的图形（如图去掉阴影部分），然后再涂上不同颜色而得到星形图片．(1)若正方形的边长为a，请用a的代数式表示一个星形图片的面积；(2)若正方形的边长为4厘米，布置教室共需50张这样的星形图片，一个同学涂1平方厘米需要2秒钟，现共有2位班干部给这50张星形图片涂色，需要多长时间？（ 取3．14）27. 如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格.…一层 二层四层三层数学调研试卷 参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．D ； 2．C ； 3．C ； 4.A ．； 5．A 6. B 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7. ;2x y + 8. ;12- 9. ;71,3-10. ;722-+x x 11. 8 ；12. ;5,2- 13. ;6a 14. ;7162x 15.10,4;. 16.;99.631009963,1018或- 17. 12; 18. ()n n x 12-- . 三、解答题：19．原式=. y x y x x 12214492--+- ------------------2分=()()y x 12142492-+-- -----------------2分 =y x 249+- --------------------2分20. 原式10104321x x x++=+++ ------------------3分 10102x x +=------------------------------------------1分103x = -------------------- ---------------------------2分21. 原式)1)(1)(1)(1(8422x x x x +++-=-----------1分)1)(1)(1(844x x x ++-=------------------2分 )1)(1(88x x +-=---------------------------2分161x -=--------------------------------------1分22. 原式[][]2(3)2(3)x y x y =+-⋅--………………2分 22(2)(3)x y =-- ……………………………1分 224(69)x y y =--+…………………………2分 22469x y y =-+-…………………………1分23.解：22112222333x xy x xy ⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭…………………………2分 =22112222333x xy x xy -++-+…………………………………2分 =27316x xy -+ ……………………………………………………2分 四、解答题：24.解：原式=3223224233x xx x x x x --++--+ …………………2分 =24x -+ …………………………………………………1分把3x =-代入上式得， ()234--+ …………………………………2分=5-……………………………………………1分25. 解：（1）① 275 ； 572 ；………………………………………………………… (2分) ② 63 ；36 ； ………………………………………………………………(2分) （2）()()[]()[]()a b b b a a a b a b b a +⨯+++=+++⨯+10101001010010……………(2分)26．解：(1) 22)2(a a π-或22)2(360904a a π⨯-或422a a ⋅-π等符合题意均得2分(2)当4=a ，14.3=π时原式=22)24(14.34⨯-……………………………………1分=3．44（平方厘米）………………………………1分 3．44×50=172（秒）…………………………………1分 答：两个同学涂这50张星形图片需要172秒．……1分27. （每空1分）。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各组图形一定相似的是（）A. 所有等腰三角形都相似B. 所有等边三角形都相似C. 所有菱形都相似D. 所有矩形都相似2.甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（）A. 40cmB. 400cmC. 0.4cmD. 4cm3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB＝23，则S△ADE：S△ABC等于（）A. 4：25B. 2：5C. 4：9D. 4：214.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③ACCD=ABBC；④AC2=AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（）A. 325B. 403C. 9D. 106.如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD的值是（）A. 35B. 12C. 34D. 45二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若xy=23，则为x+yy=______．8.化简：-3（2a-b）+2（a+2b）=______．9.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是______cm．10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB=4，那么AP=______．11.如图，DE∥BC，DE：BC=3：4，那么AE：CE=______．12.如图，AD∥BE∥CF，AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，则EF=______cm．13.如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF=______．14.如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：EF=______．15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=6，BC=3，那么∠BCD的正切值是______．16.已知直角三角形两边长分别为3和4，那么较小锐角的正弦值是______．17.如果梯形两底分别为12和20，高为1，那么两腰延长线的交点到较大边的距离是______．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tan A=34，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在直线CD上的点B′处，那么线段DB′的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30°．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，CO=25AC．（1）求：CDAB的值；（2）若AC=a，BC=b，用向量a与b表示DC．21.在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D、E两点，连接CD，如果AD=2，求tan∠BCD的值．22.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=45°，求证：AB2=BE•CD．23.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=4，CD=2，CE⊥BC交边AD于点E．（1）当点E与A恰好重合时（如图1），求AD的长；（2）问：是否可能使△ABE、△CDE和△BCE都相似？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由（如图2）．24.已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）当S△BDM=13S△ABC时，求S△BED：S△MED的值；（3）在（2）的条件下，求cos∠ABC的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，点D为BC边上一个动点，过点D作∠BDE=∠B交边AB点E，过点E作射线EF⊥AB交AC边于点F，交射线BC于点G，连接DF，设BE两点的距离为x，CG两点的距离为y．（1）求证：BD=DG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点D在运动过程中，△DEF能否构成等腰三角形？如果能，请直接写出BE 的长，如果不能，请简要说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；故选：B．根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：20千米=2000000厘米，2000000×=4（cm）．故选：D．根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可．本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键．求出AD：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△ADE∞△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【解答】解：∵=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=，即S△ADE：S△ABC等于4：25，故选A．4.【答案】C【解析】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．5.【答案】C【解析】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：6，10；当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；则这个三角形的边长不可能是9，故选：C．题干中另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则其可能与与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例，也可能也边长为4的对应成比例，亦有可能与边长为5的成比例，所以应分开讨论．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性质，求出DF的长，OF的长即可解决问题；本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．∵在△BCG与△ODG中，，∴△BCG≌△ODG，∴GO=GB，∴设GO=GB=x，则CG=GD=2-x，于是在Rt△CGB中，（2-x）2+12=x2；解得x=．GD=2-x=2-=；∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG=∠DFG，∵∠BGC=∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴=，∴DF=；又∵DO=1，∴OF==．∴cos∠DOC==．故选D．7.【答案】53【解析】解：∵=，∴可以假设x=2k，y=3k，∴===．故答案为．由=，可以假设x=2k，y=3k，代入计算即可解决问题．本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】-4a+7b【解析】解：-3（2-）+2（+2）=-6+3+2+4=-4+7，故答案为-4+7．根据平面向量的加法法则计算即可；本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是记住平面向量的加法法则，属于中考基础题．9.【答案】5【解析】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，∴3a：x=6a：10，∴x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10，即可求出x=5．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．10.【答案】25-2【解析】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB=×4=2-2．故答案为2-2．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．11.【答案】3【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∞△ABC，∴=，∵DE：BC=3：4，∴=，∴=，解AE：CE=3：1=3，故答案为：3．根据相似三角形的判定推出△ADE∞△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键．12.【答案】215【解析】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，又AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，即=，EF=．故答案为：．由于AD∥BE∥CF，即=，进而再由题干中的条件即可得出EF的长．本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．13.【答案】12【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴，∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．14.【答案】3：2【解析】解：∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=2：3，；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC，∵AB：EC=CD：EC=3：2，∴BF：FE=3：2，故答案为：3：2．由DE、EC的比例关系式，可求出EC、DC的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC、AB的比例关系，易证得△EFC∽△BFA，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF、EF的比例关系．此题主要考查的是平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质．15.【答案】12【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，∵AC=6，BC=3，∴tan∠BCD=tanA===，故答案为：．根据三角形内角和定理求出∠BCD=∠A，求出∠A的正切值即可．本题考查了三角形内角和定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．16.【答案】74或35【解析】解：分为两种情况：①当4为斜边时，直角三角形的另一直角边是=，∴较小锐角的正弦值为；②当4为直角边时，由勾股定理得：斜边为5，∴较小锐角的正弦值．∴该三角形中较小锐角的正弦值为或．故答案为或．分4为斜边与4为直角边两种情况分别求出另外一边，再根据正弦函数的定义求解即可．本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．17.【答案】2.5【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===，解得AF=1.5，∴AG=2.5．故答案为2.5．根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，即可求得===，求得AF的值即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据DE、BC的比值求AF的值是解题的关键．18.【答案】12【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AB=5，tanA=，∴BC=3，∵点D是斜边AB的中点，∴DC=AB=∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，∴CB′=CB=3，∴DB′=CB′-CD=3-=．根据DB′=CB′-CD，求出CD，CB′即可解决问题；本题考查旋转变换、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：tan45°-3cot60°+2cos30°+2sin30°=1-3×33+2×32+1=1-3+3+1=2．【解析】直接例题特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：（1）∵CO=25AC，∴CO：OA=2：3，∵CD∥AB，∴CDAB=OCOA=23．（2）∵AB=AC+CB，AC=a，BC=b，∴AB=a-b∵DC=23AB，∴DC=23a-23b．【解析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）根据=+，，，可得=-再根据DC=AB，即可求出．本题考查平面向量、梯形的性质、平行线的性质、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=45°，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵AD=CD=2，∴AC=AB=22+22=22，∴BD=22-2，在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDDC=22−22=2-1．【解析】首先利用线段垂直平分线的性质得出∠A=∠ACD，求出AD=DC=2；根据AB=AC求出BD长即可求解．本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，同时考生需要注意三角函数的运用．22.【答案】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=12×（180°-∠BAC）=45°，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，∴∠ADC=∠EAB，∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB，∴ABCD=BEAC，∵AB=AC，∴AB2=BE•CD．【解析】求出∠B=∠C，∠ADC=∠EAB，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB是解此题的关键．23.【答案】解：（1）当点E与A重合时，∵CD∥AB∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°∴△ACD∽△ABC，∴ABAC=ACCD，∴AC=22，∴AD=AC2−CD2=(22)2−22=2．（2）若能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°在Rt△DEC中，tan∠DEC=DCDE=3∴DE=23=233在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=3∴EA=43=433∴AD=DE+AE=23【解析】（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；（2）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．此题考查了相似三角形的判定与性质．熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键．24.【答案】解：（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，∵∠ACB=∠MED=90°，∴△MED∽△BCA，（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，∴MB=MC=AM=12AB，∵MC=MD，∴MD=12AB，∴S△AMC=S△BNC=12S△ABC，∵△MED∽△BCA，∴S△MEDS△ABC=（DMAB）2=14，∵S△BDM=13S△ABC，∴S△MEDS△BDM=34，∴S△BED：S△MED=1：3；（3）∵S△MEDS△BDM=34，∴MEMB=34，∵MD=MB，∴MEMD=34，∴cos∠EMD=MEMD=34，∵∠DME=∠CBA，∴cos∠ABC=34．【解析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明MD=CM=MB=AB，从而证得S△AMC=S△BNC=S△ABC，由S△BDM=证得=，从而证得S△BED：S△MED=1：3；（3）由=，得到=，进一步得到=，证得cos∠EMD= =，由DME=∠CBA，证得cos∠ABC=．本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．25.【答案】（1）证明：如图1，Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°，∵∠BDE=∠B=60°，∴∠BED=60°，∴△BED是等边三角形，∴BD=ED，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∴∠DEG=30°，∵∠EDB=∠DEG+∠DGE，∴∠DGE=60°-30°=30°=∠DEF，∴DE=DG，∴BD=DG；（2）解：如图1，Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，∴BC=6，Rt△BEG中，∠G=30°，∴BG=2BE，∵BE两点的距离为x，CG两点的距离为y，∴6+y=2x，y=2x-6（3≤x≤12）；（3）解：分三种情况：①当ED=DF时，当F与C重合时，如图2，BE=12BC=3；②当ED=EF时，如图3，BE=ED=EF=x，∴AE=12-x，Rt△AEF中，tan∠A=EFAE，∵∠A=30°，∴33=x12−x，∴x=63-6，∴BE=63-6；③当EF=DF时，C与D重合，如图4，此时BE=BC=6；综上，当△DEF构成等腰三角形时，BE的长为3或63-6或6，【解析】（1）根据三角形的内角和定理先得∠B=60°，证明△BED是等边三角形，根据等角对等边分别证明DE=DG，BD=ED，可得结论；（2）先得BC=6，根据直角三角形30度角的性质可得结论；（3）分三种情况：①当ED=DF时，当F与C重合时，如图2，BE=BC=3；②当ED=EF时，如图3，根据直角三角形30度角的性质或三角函数列等式可得结论；③当EF=DF时，C与D重合，如图4，此时BE=BC=6；本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质及三角函数等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．。

2017-2018学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：812．（4分）如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2 3．（4分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．4．（4分）如图，已知向量，，，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=5．（4分）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB26．（4分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC 的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P 的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果：，那么：=．8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为cm．9．（4分）计算：2（﹣）+3=．10．（4分）点G是△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长是．11．（4分）在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD=1cm，AB=3cm，DE=4cm，那么BC=cm．12．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．13．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是．14．（4分）在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=3，那么sinB=．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是．16．（4分）如图，已知点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，DE ∥BC ，BD=2AD ，那么S △DEB ：S △EBC = ．17．（4分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点C 1处，如果AB=5，AC=4，那么sin ∠ADC 1的值是 ．18．（4分）新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，如果准外心P 在BC 边上，那么PC 的长为 ．三、简答题19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设=，=．（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ．（1）如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD 的长；（2）如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6，cos ∠ADC=，tanB=．（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．四、解答题：（本大题共3题，满分38分）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．24．（12分）如图所示，在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5．点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．（1）求证：P是线段EF的中点；（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；（3）如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．2017-2018学年上海市浦东新区第四教育署九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故选：D．2．（4分）如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC=2：3．故选：A．3．（4分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则AD=5，BD=5，∴AB===5，∴cos∠B===，故选：B．4．（4分）如图，已知向量，，，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：如图所示，+=﹣或+=﹣或+=﹣．故D选项符合题意．故选：D．5．（4分）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）A．AP2=AB•PB B．AB2=AP•PB C．PB2=AP•AB D．AP2+BP2=AB2【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，∴PB2=AP•AB．故选：C．6．（4分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC 的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P 的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APF∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．∵∠CPE不可能为60°，∴当∠CPE=60°时，相似的这种情形不存在．理由：连接PB，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，∴∠CPE不可能为60°，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果：，那么：=．【解答】解：∵，∴2a=3b，∴===．故答案为．8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．9．（4分）计算：2（﹣）+3=．【解答】解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．10．（4分）点G是△ABC的重心，如果AB=AC=13，BC=10，那么AG的长是8．【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=13，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×10=5，∴AD==12，∵点G是△ABC的重心，∴AG=AD=8，故答案为：8．11．（4分）在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD=1cm，AB=3cm，DE=4cm，那么BC=12cm．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴=，又∵AD=1cm，AB=3cm，DE=4cm，∴=，解得，BC=12cm．故答案为：12．12．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△ADF，∴===．故答案为：．13．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．14．（4分）在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=3，那么sinB=．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，∵S=3，△ABC∴BC•AD=3，∴AD=1，由勾股定理得：AB==，∴sinB===．故答案为：．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB ，∴当∠ADC=∠ACB 或∠ACD=∠B 或AC 2=AD•AB 时，均可得出△ADC ∽△ACB ．故答案为：∠ADC=∠ACB 或∠ACD=∠B 或AC 2=AD•AB16．（4分）如图，已知点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，DE ∥BC ，BD=2AD ，那么S △DEB ：S △EBC = ．【解答】解：∵BD=2AD ，∴AD ：AB=1：3，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，∴DE ：BC=1：3．∵△DBE 和△EBC 的高相同，设这个高为h ，∴S △DBE ：S △EBC ===， 故答案为：17．（4分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△BCD 沿着直线BD 折叠，点C 落在点C 1处，如果AB=5，AC=4，那么sin ∠ADC 1的值是 ．【解答】解：∵∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，∵将△BCD沿着直线BD折叠，∴C1点恰好在斜边AB上，∴∠DC1A=90°，∴∠ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，∴sin∠ADC1=．故答案为：．18．（4分）新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为4或．【解答】解：在Rt△ABC中，∵C=90°，AB=10，AC=6，∴BC===8，若PB=PA，连结PA，设PC=x，则PA=PB=8﹣x，在Rt△PAC中，∵PA2=CP2+AC2，∴（8﹣x）2=x2+62，∴x=，即PC=，若PB=PC，则PC=4，若PA=PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，故PC的长为：4或．故答案是：4或．三、简答题19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=．（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【解答】解：（1）∵=，=，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．21．（10分）如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．（1）如果CE=3，EB=9，DF=2，求AD的长；（2）如果BO：OE：EC=2：4：3，AB=3，求CD的长．【解答】解：（1）∵CE=3，EB=9，∴BC=CE+EB=12．∵AB∥EF，∴=，则=，又EF∥CD，∴=，则=，∴=，即=，∴AF=6，∴AD=AF+FD=6+2=8，即AD的长是8；（2）∵AB∥CD，∴BO：OE=AB：EF．又BO：OE=2：4，AB=3，∴EF=6．∵EF∥CD，∴=，又∵OE：EC=4：3，∴=，∴=∴CD=EF=10.5，即CD的长是10.5．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6，cos ∠ADC=，tanB=．（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【解答】解：（1）如图，在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，CD=6，cos∠ADC=，∴=，即=，则AD=10，∴由勾股定理知，AC===8．又∵tanB=，∴=，即=，则BC=12．∴在Rt△ABC中，利用勾股定理知，AB===4．综上所述，AC=8，AB=4；（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．由（1）易知，BD=6．∵tanB=，∴=．则BE=DE．则由勾股定理得到：62=DE2+DE2，解得DE=，∴sin∠BAD===．四、解答题：（本大题共3题，满分38分）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【解答】证明：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD，∴=，∴=，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）∵∠ABE=∠ACD，∠BGD=∠CGE，∴△BGD∽△CGE，∴=，∴=，又∵∠DGE=∠BGC，∴△DGE∽△BGC，∴∠GBC=∠GDE，∵BE平分∠ABC，∴∠GBC=∠ABE，∵∠ABE=∠ACD，∴∠GDE=∠ACD，∴DE=CE．24．（12分）如图所示，在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5．点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．（1）求证：P是线段EF的中点；（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；（3）如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．【解答】解：∵EF∥BC，∴=；=，∴．又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中点；（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，设EF=a，则AP=5﹣a，∴=，解得a=，∴EF=；（3）∵EF∥BC，EG∥FH，∴四边形EGHF是平行四边形．作PQ⊥BC，垂足为Q，则PQ=PD•sin∠ADC=（5﹣x），由（2）得，即=，EF=，∴y=EF•PQ=﹣x2+5x（0＜x＜5）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．【解答】解：（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D为AB边中点，AD=AC=．（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，有两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示．∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．AD=AC•cosA=3×=1.8；（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此时AD=AB=×5=2.5．综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．第24页（共24页）。