人教A版高中数学必修五同步检测第3章单元评估验收(三)

第三章 单元质量测评=本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (x 0，y 0)和点A (1，2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0＞0 B ．3x 0＋2y 0＜0 C ．3x 0＋2y 0＜8 D ．3x 0＋2y 0＞8 答案 D解析 ∵3×1＋2×2－8＝－1＜0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8＞0． 2．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝a ＋122＋34＞0，∴M ＞N ．3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ＜1＜a 2＋b 22 C ．ab ＜a 2＋b 22＜1 D ．a 2＋b 22＜ab ＜1 答案 B解析 ∵ab ≤a ＋b 22，a ≠b ，∴ab ＜1． 又∵a 2＋b 22＞a ＋b 2＞0，∴a 2＋b 22＞1，∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．若a >b >0，全集U ＝R ，A ＝{x |ab <x <a }，B ＝{ x | b <x <⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b 2，则(∁U A )∩B 为( ) A ．{}x | b <x ≤ab B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ab <x <a ＋b 2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪b <x <a ＋b 2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a ＋b 2或x ≥a答案 A解析 ∁U A ＝{x |x ≤ab 或x ≥a }， 又B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b <x <a ＋b 2且a >b >0， ∴ab >b ，a ＋b2<a ．∴(∁U A )∩B ＝{x |b <x ≤ab }．故选A ．5．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34 答案 C解析 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0， 可得A (1，1)， 又B (0，4)，C 0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×4－43×1＝43．故选C ．6．若x ∈0，12时总有log a 2－1(1－2x )＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．|a |＜2C ．|a |＞ 2D ．1＜|a |＜2 答案 D解析 ∵x ∈0，12，∴0＜1－2x ＜1． 又∵此时总有log a 2－1(1－2x )＞0， ∴0＜a 2－1＜1，∴1＜|a |＜2．7．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( ) A ．(5，10) B ．(6，6) C ．(10，5) D ．(7，2) 答案 A解析 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310． 当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时取等号．故选A ． 8．已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x ·12y的最小值为( )A ．1B ．1324C ．116D ．132 答案 C解析 由于z ＝4－x ·12y＝2－2x －y ，又不等式组表示的平面区域如图所示．易知m ＝－2x －y 经过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得A (1，2)，所以z min ＝2－2×1－2＝116．故选C ．9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC→)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1 答案 B解析 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·P D →＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32．故选B ．10．若ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )A ．f (5)<f (－1)<f (2)B ．f (2)<f (－1)<f (5)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (5)<f (2)<f (－1) 答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a ，且a <0．∴f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a (x －1)2－9a ， ∴其图象开口向下，对称轴为x ＝1， ∴f (－1)＝f (3)．∴f (5)<f (－1)<f (2)．故选A ．11．以原点为圆心的圆全部都在平面区域 ⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( ) A ．18π5 B ．9π5 C ．2π D ．π 答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离，即|0－0＋2|12＋(－1)2＝2，所以圆面积的最大值为π×(2)2＝2π．故选C ．12．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z 答案 D解析 令2x ＝3y ＝5z ＝k (k ＞1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8＞1，则2x ＞3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32＜1，则2x ＜5z ．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2．14．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎨⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________．答案 13解析 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．15．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 依题意得，当x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]时， 不等式xy ≤ax 2＋2y 2，即a ≥xy －2y 2x 2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18．在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到yx 可视为该区域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18的最大值是－1，因此满足题意的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．16．已知函数f (x )＝x ＋1x ＋b (b 为常数)．当x ∈[－1，2]时，f (x )>－1(x ＋b )2恒成立，则b 的取值范围为________．答案 b >1解析 ∵f (x )>－1(x ＋b )2， ∴x ＋1x ＋b >－1(x ＋b )2⇔(x ＋b )(x ＋1)>－1且x ＋b ≠0，(※) 易知当x ＝－1时，不等式(※)显然成立；当－1<x ≤2时， b >－1x ＋1－x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x ＋1， ∵x ＋1>0，∴1x ＋1＋(x ＋1)≥21x ＋1·(x ＋1)＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，故b >－1．而－b ∉[－1，2]，故b <－2或b >1． 综上所述，b >1．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2，不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)．(1)求a 的值； (2)解不等式4x ＋mf (x )－4x 2＞0．解 (1)∵函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2， 不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)， ∴－1＋2＝－a4，∴a ＝－4．(2)不等式转化为(4x ＋m )(－4x ＋2)＞0， 可得m ＝－2，不等式的解集为∅；m ＜－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜－m 4；m ＞－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－m4＜x ＜12．18．(本小题满分12分)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．解 由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2． Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0， ∴k 2≥12．∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2)＝6k 2－2≥6×12－2＝1．∴x 21＋x 22的最小值为1．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1，1)，C (1，3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．解 由两点式，得AB ，BC ，CA 的直线方程并化简为AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0，如图所示，可得不等式组为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a ＜0．解 ∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0＜a ≤1．综上，0≤a ≤1．由x 2－x －a 2＋a ＜0，得(x －a )[x －(1－a )]＜0． ∵0≤a ≤1，∴(1)当1－a ＞a ，即0≤a ＜12时，a ＜x ＜1－a ； (2)当1－a ＝a ，即a ＝12时，x －122＜0，不等式无解； (3)当1－a ＜a ，即12＜a ≤1时，1－a ＜x ＜a ．∴原不等式的解集为：当0≤a ＜12时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜1－a }； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12＜a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a ＜x ＜a }．21．(本小题满分12分)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的往返营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设应配备A 型车、B 型车分别为x 辆，y 辆，营运成本为z 元；则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ∈N ，y ∈N ；z ＝1600x ＋2400y ；作平面区域如图，故联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋7，y ＝15－0.6x ，解得x ＝5，y ＝12； 此时，z ＝1600x ＋2400y 有最小值1600×5＋2400×12＝36800元．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，g (x )＝f (x )x ．(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |a <x <1}，求a 的值；(2)若x <0，a ＝4，求函数g (x )的最大值；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式g (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)根据题意，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根分别为a 和1，将1代入得a ＝－3．(2)由a ＝4，则g (x )＝f (x )x ＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2， 因为x <0，所以－x ＋4－x ≥2－x ·4－x ＝4， 所以g (x )≤－4＋2＝－2．当且仅当x ＝4x ，即x ＝－2(舍去正值)时，等号成立．所以g (x )的最大值为－2．(3)依题意当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以a >－(x 2＋2x )，令t ＝－(x 2＋2x )，x ∈[1，＋∞)，则t ＝－(x 2＋2x )＝1－(x ＋1)2，所以当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3，所以a>－3．。

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单元质量评估（三）（第三章）(120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.（2016 •德州高二检测）若a<l,b>l,那么下列命题中正确的是B.->1 aD. ab<a+bC. a2<b2【解析】选D.取a=-3, b=2,显然A, B, C均错,D正确.2.不等式-X2+2X-3>0的解集为（）A.{x|x>3 或x〈l}B. {x|x<3 或x〉l}C.RD.0【解析】选D.原不等式O X2—2X+3〈O O(X—1)2+2〈OO X E0.(x — y < 0/3.(2015 •北京高考)若x, y满足jx + y < 1,则z二x+2y的最大值为(x > 0,()A. 0B. 1C.-D. 22【解析】选D.作出可行域及/o：x+2y=O如图所示，把（1, 0）代入/0,可知/o的右上方为正，所以向上平移/0,过点（0, 1）时z二x+2y取最大值2.込一y _ 2玉0, 【补偿训练】（2015诠国卷I ）若x, y满足约束条件卜- 2y + 1 < 0., （2x-y+ 2 > 0, 则z二3x+y的最大值为_______【解析】画出可行域如图所示,目标函数y二-3x+z,当z取到最大值时，y二-3x+z的纵截距最大，即将直线移到点C时，由號：yL*2U懈得C（―），所以z”『3 X 1 +1 =4.答案：44.已知a>0, b>0且3a+2b二2,则ab的最大值为（）B4A•占D.1【解析】选C. ab^X3aX2b^X （进兰『冷，当且仅当3a=2b时，即a g b 二!时等号成立，所以ab的最大值为；5.（2016 •哈尔滨高二检测）小王从屮地到乙地往返的时速分别为a和b （a<b）,其全程的平均吋速为v,则（）A. a<v<\ab C.低3〈呼B. v^Vab时bD. v= ---2【解析】选A.设甲、乙两地之间的距离为s・因为a<b,亡匕“ 2s 2sab 2ab. :r所以午岳二石莎勺苗円£b.又v_a二空｝a」匕所以v>a.a+b a+b a+b6.不等式ax2+5x+c>0的解集为• x|扌< x <寻，则a, c的值为（）A. a二6, c二1B. a=~6, c二一1C. a=l, c=6D. a=-l, c=-6【解析】选B.因为不等式ax2+5x+c>0的解集为lx|扌<x <器所以方程ax2+5x+c=0的两个实数根为:丄，且a<0.2 3厂,1\2 13 （"） + 5 X 7 + C = 0,所以冶十5中解得霊二<a * ary 一1 处 67.（2016 •天水高二检测）若x,y满足2x-y- 1 > 0,若冃标函数lx + y £ m,z二x-y的最小值为-2,则实数m的值为（）【解析】选C.不等式组对应的可行域为直线y=l, 2x-y-l=0, x+y二m围成的三角形及内部，当z=x-y过直线2x-y-l=0, x+y二m的交点三卫）时取得最小值-2,所以呼-空$二-2,所以沪8.A. 0B. 2C. 8D.-l8.(2016 •杭州高二检测)如果不等式:f l对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是()A. (1,3)B. (—>,3)C. (-8, 1) U ⑵ +°°)D. (-°°, +°°)【解析】选A•因为4x?+6x+3二@ + |)'+|>0,所以原不等式o2x2+2mx+m<4x2+6x+3<=>2x2+ (6-2m) x+ (3-m) >0, xER 恒成立o△二(6-2m) -8 (3-m) <0,所以1 <m<3.(X + y —11 王a,9•设不等式组3x-y+3>0,表示的平面区域为D,若指数函数(5x — 3y + 9 玉0尸分的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+8)【解析】选A.作出区域D的图象，联系指数函数y二分的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点⑵9)时，3可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点，故a的取值范围为(1,3].10•当X>1时，不等式x+占恒成立，则实数a的取值范围是()A. (-8,2]B. [2,+8)C. [3,+8)D. (-8,3]【解析】选D.因为x>l,所以x-l>0,则x三二x-1+±+1$2+1二3,当且仅当x=2时取等号，所以aW3.11.(2016 •恩施高二检测)已知函数y=ax2+bx+c (a^O)的图象经过点(-1, 3)和(1, 1)两点，若0<c<l,则a的取值范围是()A. (1,3)B. (1,2)C. [2, 3)D. [1,3]【解题指南】由函数图象经过两点，将两点的坐标代入，可得a,b,c的关系，又因为0<c<1,由此确定a的取值范围.【解析】选B. f _ J + C =中a+c二2, c二2—a, 0<2~a<1, 1 <a<2.(a + b + c = 1.12.(2016 •铁岭高二检测)某加工厂用某原料由屮车间加工出A产品, 由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工岀7千克A产品,每千克A产品获利40元乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，屮、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.屮车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】选B.设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱•则(X + y 玉70,jlQx + 6y < 48Q,目标函数z=280x+200y,结合图象可得：当x二15, y二55时z最大，本题也可以将答案逐项代入检验. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上)13•已知a, b, c, d均为实数，有下列命题：⑴ 若ab>0, bc-ad>0,则空〉0.a b(2)若ab>0,竺>0,则bc-ad>0.a D(3)若bc-ad>0, -4>0,则ab〉0・a b其中正确命题是_________ ・【解析】因为ab>0, bc~ad>0,所以故(1)正确；a b ab同理⑵(3)亦正确.答案：⑴⑵(3)14.(2016 •长春高二检测)如果关于x的不等式2kx'+kx-弓〈0对一切8实数X都成立，那么k的取值范围是_________ ・【解析】当k二0时满足条件；fk < 0,当k#=0 时满足{ } 2 A ni f A(△ = Q-4x 2kx (-才 < ①解得-3<k<0.综上所述，k的取值范围是-3〈kW0・答案：-3〈kW015.要制作一个容积为4m3,高为lm的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是____________ ・【解题指南】建立关系式利用基本不等式求解，可以考虑设两变量, 也可以考虑设一变量.【解析】由容器体积为4,高为1可知，容器的底面积为4•设底面长为x,则宽为二总造价为W.X由题意，W 二（2・x・ 1 + • 10+4X20二20（X + =）+80 $20 X 2V4+80=160,当且仅当X）,即x=2时取“二”.X答案：160元16.（2015 •山东高考）定义运算“®” :x®y二％（x, y WR, xyHO）,当xyx>0, y>0时，x®y+（2y）®x的最小值为・【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法. 【解析】x>0, y>0时，x®y+（2y）纵二三+亡二土空$电"2当xy 2yx 2xy 且仅当x=V2y时取等号，所以所求的最小值为湮・答案：湮三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知a, b为正实数，试比较耳+丄与爲+祁的大小.XD ya【解析】G+法）-（憑+個=爲_同吃_同_自-b | b-a_ r>a-叭&£・（丫耳+ 耳⑥（佰■、⑥乂= 匸+ L_ ------ -------- = -------- = -------- •xb ya vab vab因为a, b为正实数，所以飞喘+\阳>0, V'gb>0,（v'a-Vb）2^O. 于是有:启乜「W o.当且仅当a二b时，等号成立.Vab所以当且仅当a二b时取等号.xb v'a18.(12分)(2016 •福州高二检测)已知不等式Hix2+nx--<0的解集为m{x|x V —右或x >(1)求m, n的值.(2)解关于x的不等式：(2a-l-x) (x+m)>0,其中a是实数.【解析】(1)依题意,得m=-1, ng2(2)原不等式为(2a-1 -x) (x-1) >0即[x-(2a-1)] (x-1)<0.①当2a-1<1即a<1时，原不等式的解集为{x|2a-1<x<1}:②当2a-1=1即ah时，原不等式的解集为D ;③当2a-1>1即a>1时，原不等式的解集为{x|Kx<2a-1}・19.(12分)(2016 •西安高二检测)某糖果厂生产A, B两种糖果,A种糖果每箱可获利润40元,B种糖果每箱可获利润50元•其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间 (单位：min)・混合烹调包装A 1 5 3B 2 4 1每种糖果的生产过程中，混合的设备最多只能用机器12h,烹调的设备最多只能用机器30h,包装的设备最多只能用机器15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？【解析】设生产A 种糖果x 箱，生产B 种糖果y 箱，可获利润z 元，即 求 z 二40x+50yp + 2y < 72 0,+ 4y < 1 8g在约束条件" 90Q,下的最大值•作出可行域，如图.X > Q, y> 0 & y e N/o ：4Ox+5O尸 0作直线/°:40x+50y 二0,平移/。

新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。

第三章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a ＋b <ab B.b a ＋ab >2 C ．ab <b 2D ．a 2<b 2解析 由1a <1b <0，可得b <a <0，∴a 2<b 2. 答案 D2．若a ，b >0，且P ＝a ＋b2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析 P 2－Q 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b ) ＝－(a －b )22≤0， 所以P 2≤Q 2，即P ≤Q . 答案 D3．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析 由a ∥b ，得x ＋y ＝1.∴t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋1＋y x ＋xy ＋1≥3＋2y x ·x y ＝5.当且仅当x ＝y ＝12时，t 取最小值5. 答案 B4．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x ∈N *|x ≤5}，则A ∩B 是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 因为集合A ＝{x |－12<x <3}，又集合B ＝{x ∈N *|x ≤5}，所以A ∩B ＝{1,2}，故选B.答案 B5．若m <n ，p <q 且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 从小到大排列顺序是( )A ．p <m <n <qB ．m <p <q <nC ．p <q <m <nD ．m <n <p <q解析 将p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n . 答案 B6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( )A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析 z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝232＋1＝7.答案 B 7.如图，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OEFG (含边界)，若点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45是目标函数的最优解，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－125，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫310，125 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，－310D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－512解析 k GF ＝－310，k EF ＝－125，由题意，知k EF ≤k ≤k GF . 答案 C8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >1)，－1(x ≤1)，则不等式xf (x )－x ≤2的解集为( )A.[]－2，2B.[]－1，2C.(]1，2D.[]－2，－1∪(]1，2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x 2－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，－x －x ≤2，解得－1≤x ≤2.答案 B9．某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放入左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析 设天平的两边臂长分别为a ，b ，两次所称黄金的重量分别为x g ，y g.则⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝xb ，ya ＝5b ，所以x ＋y ＝5a b ＋5b a >2 5a b ·5ba ＝10.答案 A10．对任意的a ∈[]－1，1，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(3，＋∞)解析 y ＝φ(a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，x ＝2时，y ＝0，所以x ≠2.只需⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)>0，φ(1)>0.答案 B11．设a >0，b >0，若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析 ∵a >0，b >0,3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.答案 B12．对于使－x 2＋2x ≤m 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做－x 2＋2x 的上确界．若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－3B ．－4C ．－14D ．－92解析 ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝a ＋b 2a ＋2(a ＋b )b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2 b 2a ·2a b ＝92，∴－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设a >b ，则①ac 2>bc 2；②2a >2b ；③1a <1b ；④a 3>b 3；⑤|a |>|b |.正确的结论有________．答案 ②④14．函数y ＝2x 2＋8x 2＋1的最小值是________．解析 y ＝2x 2＋8x 2＋1＝2(x 2＋1)＋8x 2＋1－2≥22(x 2＋1)8x 2＋1－2＝2×4－2＝6.当且仅当2(x 2＋1)＝8x 2＋1.即x ＝±1时，等号成立．答案 615．已知不等式x 2－ax －b <0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________．解析 依题意知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，根据韦达定理可求得a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．解析 设购买35kg 的x 袋，24kg 的y 袋，则35x ＋24y ≥106，x∈N ，y ∈N ，共花费z ＝140x ＋120y ，作出由⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，y ∈N ，对应的平面区域，则知目标函数在(1,3)点处取得最小值为500元．答案 500三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，x ，y >0且1a >1b ，x >y ， 求证：x x ＋a >yy ＋b.证明：x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).由1a >1b >0，可得b >a >0.又∵x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b . 18．(12分)设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为(32，3)，求m 的值． 解 (1)当m ＝1时，f (x )>0，即 2x 2－x >0⇒x (2x －1)>0⇒x <0，或x >12.∴此时不等式的解集为(－∞，0)∪(12，＋∞)． (2)由f (x )＋1>0，得(m ＋1)x 2－mx ＋m >0. ∵不等式的解集为(32，3)，∴32和3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两个根， 且m ＋1<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝m m ＋1，32×3＝m m ＋1，m ＋1<0，解得m ＝－97.19．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．解 (1)∵不等式kx 2－2x ＋6k <0的解集是{x |x <－3或x >－2}， ∴方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根为－3，－2，且k <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k .∴k ＝－25.(2)∵不等式kx 2－2x ＋6k <0的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ×6k <0.解得⎩⎨⎧k <0，k <－66或k >66.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.20．(12分)某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？解 设每盒盒饭需要面食x 百克，米食y 百克，所需费用为z ＝0.5x ＋0.4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥8，4x ＋7y ≥10，x ≥0，y ≥0，作出可行域，如图所示．由图可知，平行直线系y ＝－54x ＋52z 过点A 时，纵截距52z 最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝8，4x ＋7y ＝10，解得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，1415. 所以每盒盒饭为面食1315百克，米食1415百克时，既科学又费用最少． 21．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，若f (2)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2.解由f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2，得⎩⎪⎨⎪⎧f [x (x ＋3)]<2，x ＋3>0，x >0.即⎩⎨⎧f [x (x ＋3)]<2，x >0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42＝f (4)－f (2)，∴f (4)＝2f (2)＝2.∴⎩⎨⎧f [x (x ＋3)]<f (4)，x >0.∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x <4，x >0，解得0<x <1. 22．(12分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．解 (1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－98＝－2n 2＋40n －98. 由y >0，得n 2－20n ＋49<0， 解得10－51<n <10＋51(n ∈N )．则3≤n ≤17，故n ＝3.即捕捞3年后，开始盈利． (2)①平均盈利为y n ＝－2n －98n ＋40≤－22n ·98n ＋40＝12，当且仅当2n ＝98n ，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110万元．②∵y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当n ＝10时，y 的最大值为102.即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102＋8＝110万元． 综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．。

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线ax ＋by ＋1＝0 ,假设ax ＋by ＋1>0表示的区域如选项中所示 ,其中正确的区域为( )【解析】 边界直线ax ＋by ＋1＝0上的点不满足ax ＋by ＋1>0 ,所以应画成虚线 ,故排除B 和D ,取原点(0,0)代入ax ＋by ＋1 ,因为a ×0＋b ×0＋1＝1>0 ,所以原点(0,0)在ax ＋by ＋1>0表示的平面区域内 ,排除A ,应选C.【答案】 C2．点A (－2 ,b )不在平面区域2x －3y ＋5≥0内 ,那么b 的取值范围是( ) A ．b ≤13 B ．b <1 C ．b >13D ．b >－9【解析】 由题意知2×(－2)－3b ＋5<0 , ∴b >13. 【答案】 C3．点(a,2a －1)既在直线y ＝3x －6的上方 ,又在y 轴的右侧 ,那么a 的取值范围是( )A ．(2 ,＋∞)B ．(5 ,＋∞)C ．(0,2)D ．(0,5)【解析】 ∵(a,2a －1)在直线y ＝3x －6的上方 , ∴3a －6－(2a －1)<0 ,即a <5. 又(a,2a －1)在y 轴右侧 ,∴a >0 , ∴0<a <5. 【答案】 D4．完成一项装修工程 ,木工和瓦工的比例为2∶3 ,请木工需付工资每人50元 ,请瓦工需付工资每人40元 ,现有工资预算2 000元 ,设木工x 人 ,瓦工y 人 ,x ,y 满足的条件是( )A.⎩⎨⎧2x ＋3y ≤5 x y ∈N *B.⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000 x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x y ∈N*D.⎩⎨⎧5x ＋6y <100 x y ＝23【解析】 ∵木工和瓦工各请x ,y 人 , ∴有x ∶y ＝2∶3 ,50x ＋40y ≤2 000 ,即5x ＋4y ≤200 ,且x ,y ∈N *. 【答案】 C5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0 x －y ＋5≥00≤x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0 x －y ＋5≤0 0≤x ≤3.分别画出其平面区域(略) ,可知选C. 【答案】 C 二、填空题6．表示图3-3-3中阴影局部所示平面区域的不等式组是________．图3-3-3【解析】 由所给的图形容易知道 ,点(3,1)在相应的平面区域内 ,将点(3,1)的坐标分别代入3x ＋2y －6、2x －3y －6、2x ＋3y －12中 ,分别使得3x ＋2y －6>0、2x －3y －6<0、2x ＋3y －12<0 ,再注意到包括各边界 ,故图中阴影局部所示平面区域的不等式组是⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －12≤02x －3y －6≤03x ＋2y －6≥0.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －12≤0 2x －3y －6≤0 3x ＋2y －6≥07．x ,y 为非负整数 ,那么满足x ＋y ≤2的点(x ,y )共有________个．【解析】 由题意点(x ,y )的坐标应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N y ∈N x ＋y ≤2由图可知整数点有(0,0) ,(1,0) ,(2,0) ,(0,1) ,(0,2) ,(1,1) ,共6个． 【答案】 68．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域为Ω ,那么当a 从－2连续变化到1时 ,动直线x ＋y －a ＝0扫过Ω中的那局部区域的面积为________.【解析】 如下列图 ,Ω为△BOE 所表示的区域 ,而动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那局部区域为四边形BOCD ,而B (－2,0) ,O (0,0) ,C (0,1) ,D⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 32 ,E (0,2) ,△CDE 为直角三角形 ,∴S 四边形BOCD ＝S △BOE －S △CDE ＝12×2×2－12×1×12＝74.【答案】 74 三、解答题9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最||低标准是240元 ,又知其他费用最||少需支出180元 ,而每月可用来支配的资金为500元 ,这名新员工可以如何使用这些钱 ?请用不等式(组)表示出来 ,并画出对应的平面区域.【解】 不妨设用餐费为x 元 ,其他费用为y 元 ,由题意知x 不小于240 ,y 不小于180 ,x 与y 的和不超过500 ,用不等式组表示就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤500 x ≥240y ≥180.对应的平面区域如图阴影局部所示．10．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域． 【解】 (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0 , 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0x －y ＋4＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0x －y ＋4＞0 ② 那么所求区域是①和②表示区域的并集．不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0右上方的点的集合 , 不等式x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0左上方的点的集合． 所以所求不等式表示区域如下列图．[能力提升]1．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0 y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形 ,那么a 的取值范围是( )A ．(5,7)B ．[5,7)C ．[5,7]D ．(5,7]【解析】 不等式组表示的平面区域如下列图 ,当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形 ,即△ABC ,当5<a <7时 ,表示的平面区域为三角形 ,综上 ,当5≤a <7时 ,表示的平面区域为三角形．【答案】 B2．假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0 x ＋2y －2≥0x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形 ,且其面积等于43 ,那么m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3【解析】 作出可行域 ,如图中阴影局部所示 ,易求A ,B ,C ,D 的坐标分别为A (2,0) ,B (1－m,1＋m ) ,C⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m 3 2＋2m 3 ,D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43 ,解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．【答案】 B3．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0所确定的平面区域 ,那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．【解析】 作出区域D 及圆x 2＋y 2＝4如下列图 ,图中阴影局部所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求 ,易知图中两直线的斜率分别为12 ,－13即tan α＝12 ,tan β＝13 ,tan θ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1 ,所以θ＝π4 ,故弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2. 【答案】 π24．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0 x ＋y ≥0x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)假设点M (t,1)在平面区域Q 内 ,求整数t 的取值集合．【解】 (1)作出平面区域Q ,它是一个等腰直角三角形(如下列图)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0 x ＝4 解得A (4 ,－4) , 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋8＝0 x ＝4 解得B (4,12) , 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0 x ＋y ＝0 解得C (－4,4)． 于是可得|AB |＝16 ,AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝12×16×8＝64.(2)由得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0t ＋1≥0t ≤4t ∈Z即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7t ≥－1t ≤4 t ∈Z亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4t ∈Z得t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新 课 标 高 一 数 学 同 步 测 试（必修5第三章）姓名______________学号______________成绩______________一、选择题：1．若a <b ,d <c,并且(c -a )(c -b )<0,(d -a )(d -b )>0,则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ） A ．d <a <c <b B .a <c <b <d C .a <d <b <c D .a <d <c <b2．若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 的最小值是 （ ）A ．18B ．6C ．23D ．2433．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤0 B ．a <-4 C ．-<<40a D ．-<≤40a4．在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是 （ ）A ．（－π，0）B ．（－π，π）C ．（－23π，2π） D ．（－π23，23π）6．设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221()7．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值8．设M=)11)(11)(11(---c b a ,且a+b+c=1，(a 、b 、c ∈R +)，则M 的取值范围是 （ ）A ．[0,81]B ．[81,1] C ．[1,8] D ．[8,+∞）二、填空题：11．设0<|x |≤3,1<|y |≤2005,是|x -y |的最大值与最小值的和是 ．12．设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．13．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数 a 的取值范围是__________________．14．f(x)的图象是如图两条线段，它的定义域是]1,0()0,1[ -，则不等式1)()(->--x f x f 的解集是 ．三、解答题：15．（1）设a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1；x yO 1－1 1 －1（2）已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3= a 2－b 2 求证：1< a +b <34．16．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．17．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板113每张钢板的面积,第一种为21m ,第二种为22m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？18．（1）求10522242+++=x x x y 的最小值；（2）若a b >>00，，且a b 2221+=，求a b 12+的最大值．19．（1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围； （2）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．。

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a <0，－1<b <0，则( )A ．－a <ab <0B ．－a >ab >0C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 2解析：∵－1<b <0，a <0，∴－a >ab >0.答案：B2．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0，(1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b .综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D3．不等式1x <12的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：由1x <12得：1x －12＝2－x 2x <0，即x (2－x )<0，解得x >2或x <0.答案：D4．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a <2的解集为P ，若1∉P ，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：因为1∉P ，所以1＋11＋a ≥2或者a ＝－1⇔a a ＋1≤0或者a ＝－1⇔－1≤a ≤0. 答案：B5.已知点(x ，y )是如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界)的点，若目标函数z ＝x ＋ay 取最小值时，其最优解有无数个，则y x －a的最大值是( ) A.25B.13C.27D.23解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1a z ，由题意知，当a <0，且直线y ＝－1a x ＋1az 与直线AC 重合时，符合题意，此时k AC ＝2－04－2＝1，所以－1a ＝1，a ＝－1，而y x －a ＝y －0x ＋1表示过可行域内的点(x ，y )与点(－1,0)的直线的斜率，显然过点C (4,2)与点(－1,0)的直线的斜率最大，即错误!＝错误!.答案：A6．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 解析：根据定义得：x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以所求的实数x 的取值范围为(－2,1)．答案：B7．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c，则( ) A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D ．T ≥0解析：法一：取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0， 排除A 、C 、D ，可知选B.法二：由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＝错误!＝错误!.∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0.答案：B8．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b取最小值时，实数对(a ，b )是( ) A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)解析：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·130·30 ＝130(1a ＋1b )(4a ＋b )＝130(5＋b a ＋4a b ) ≥130(5＋2b a ·4a b )＝310. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝4a b 4a ＋b ＝30即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝10时取等号． 答案：A9．已知0<x <y <a <1，则有( )A ．log a (xy )<0B ．0<log a (xy )<1C ．1<log a (xy )<2D ．log a (xy )>2解析：0<x <y <a <1，即0<x <a,0<y <a,0<xy <a 2.又0<a <1，f (x )＝log a x 是减函数，log a (xy )>log a a 2＝2，即log a (xy )>2.答案：D10．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k1x，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x＋45x ≥220x ×45x ＝8，当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．不等式－3x 2－x ＋10<0的解集为________．解析：－3x 2－x ＋10<0，－(3x －5)(x ＋2)<0⇒x >53或x <－2， 此不等式的解集为{x |x >53或x <－2}． 答案：{x |x >53或x <－2} 12．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k ＜3，则k 的取值范围为________．解析：由题意得k ＋1＋k ＜3，即(k ＋2)(k －1)＜0，且k ＞0，因此k 的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)13．不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，显然不成立；若a ＋2≠0，则错误!⇔错误!⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>－2a<－3或a>2⇔a >2. 答案：(2，＋∞)14．(2011·陕西高考)如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则2x －y 的最小值为1.答案：1三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)(2012·苏州高二检测)已知函数f (x )＝x 2＋2x，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1. 解：由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1， 化简得错误!<0，即x (x －1)<0，解得0<x <1.所以原不等式的解集为{x |0<x <1}．16．(本小题满分12分)若x ，y 为正实数，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．解：由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1.∵x 、y 为正实数， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2(4y x ＋x y )≥10＋2×2× 4y x ·x y＝18， 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时，取等号． 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6.∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋a 2x ＋2b －a 3，当x∈(－2,6)时，其值为正，而当x ∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负．(1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的解析式；(2)设F (x )＝－k 4f (x )＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？ 解：(1)由题意可知－2和6是方程f (x )＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－2＋6＝4，2b －a3a＝－2×6＝－12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－8. ∴f (x )＝－4x 2＋16x ＋48.(2)F (x )＝－k 4(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2＋4x －2. 当k ＝0时，F (x )＝4x －2不恒为负值；当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，则有⎩⎪⎨⎪⎧k<0，16＋8k<0，解得k <－2. 18．(本小题满分14分)某餐馆一天中要购买A ，B 两种蔬菜，A 、B 蔬菜每斤的单价分别为2元和3元．根据需要，A 蔬菜至少要买6斤，B 蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．(1)写出一天中A 蔬菜购买的斤数x 和B 蔬菜购买的斤数y 之间的不等式组；(2)在给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表示)，并求出它的面积．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y≤60，x≥6，y≥4.(2)画出的平面区域如图，A (6,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝60，x ＝6， 求得C (6,16)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝60y ＝4 求得B (24,4)，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×18×12＝108.。

单元质量评估(三)第三章 不等式 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知a ＞b,则下列不等式：①a 2＞b 2;②11a b ＜;③11.a b a-＞其中不成立的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3)，则有（ ） (A)M ＞N (B)M ≥N (C)M ＜N (D)M ≤N3.设c>1,a b ==则有（ ）(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的关系与c 的值有关 4.当x ∈R 时，不等式kx 2-kx+1>0恒成立，则k 的取值范围是（ ） (A)(0,+∞) (B)［0,+∞) (C)［0,4) (D)(0,4)5.若1<a<4,1<b<2，则a b的范围是（ ）(A)(1,2) (B)(1,22) (C)(2,4) (D)(1,42)6.若不等式ax 2+bx+2>0的解集是11x |x 23⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a-b 的值为（ ） (A)-10 (B)-14 (C)10 (D)147.已知x,y 为正实数，且x+4y=1，则xy 的最大值为（ ）()()()()1111A B C D 4816328.设变量x,y 满足约束条件x y 20,x 5y 100,x y 80,-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=3x-4y 的最大值和最小值分别为（ ） (A)3，-11 (B)-3，-11 (C)11，-3 (D)11，39.若不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ）(A)（-∞,2］ (B)［-2,2］ (C)(-2,2］ (D)(-∞,2)10.设f(x)=3ax-2a+1,若存在x 0∈(-1,1)，使f(x 0)=0，则实数a 的取值范围 是（ ）()()()()111A 1aB a 1C a 1aD a 555-<<<- <-> >或 11.直角三角形的斜边长为m ，则其内切圆半径的最大值为（ ）(((())A B C D 1m12.设x 1,x 2是关于x 的二次方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，k 为实数，则2212x x +的最小值为（ ）(A)3 (B)0 (C)1 (D)2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）13.已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是________.14.设点P（x,y)在函数y=4-2x的图象上运动，则9x+3y的最小值为______.15.（2011·浙江高考）设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是____.16.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则11的最小值是________.a b三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知x,y为正实数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.18.（12分）不等式（m2-2m-3)x2-(m-3) x-1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.19.（12分）已知关于x的方程（m+1)x2+2(2m+1)x+1-3m=0的两根为x1,x2，若x1<1<x2<3，求实数m的取值范围.20.(12分）已知D是以点A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）.（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（-1，-6），C（-3，2）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a 的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y(k<0)的最小值为-k-6,求k的取值范围.21.(12分）解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.22.（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益为50万元. （1）问从第几年起开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总获利最大时，以8万元出售该船.问：哪种7.2=）答案解析1.【解析】选D.虽然已知a ＞b,但并不知道a,b 的正负，如2＞-3,但22＜（-3）2，故①错；1123,23-⇒-＞＞故②错；如a=1,b=-2,则11,3＜故③错.故选D.2.【解析】选A.∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3) =a 2-2a+3=(a-1)2+2>0,∴M>N. 故选A.3.【解析】选B.假设a>b,则(22, c.>>>>∴c 2-1>c 2,即-1>0,矛盾.又a ≠b. ∴a<b.故选B.4.【解析】选C.（1）当k=0时，不等式变为1>0成立；（2）当k≠0时，要使不等式kx 2-kx+1>0恒成立，则()2k 00k 4,k 4k 0,>⎧⎪<<⎨∆=--<⎪⎩即 ∴0≤k<4.故选C.5.【解析】选D.由1<b<2得111,2b<<又∵1<a<4,111 a14,2b∴⨯<<⨯即1a4.2b<<故选D.6.【解析】选A.∵不等式ax2+bx+2>0的解集是{11x|x23-<<},∴a<0且1,2-13是方程ax2+bx+2=0的两个根，11223a11b23a⎧-⨯=⎪⎪∴⎨⎪-+=-⎪⎩，解得a12.b2=-⎧⎨=-⎩∴a-b=-10.故选A.7.【解析】选C.∵x,y为正实数，211x4y1xy x4y().44216+∴=≤=当且仅当x=4y且x+4y=1时，即11x,y28==时取等号.故选C.8.【解析】选A.作出可行域如图所示.目标函数变形为31y x z,44=-则过B、A点时分别取到最大值与最小值.易求B（5，3），A（3，5）∴z max=3×5-4×3=3.∴z min=3×3-4×5=-11.9.【解析】选C.当a=2时，原不等式为-4<0,对一切x ∈R 成立；当a ≠2时，根据一元二次不等式，一元二次方程及二次函数关系可知需满足a 200-<⎧⎨∆<⎩，即a 22a 2<⎧⎨-<<⎩，得-2<a<2. 综上得-2<a ≤2,故选C.10.【解析】选C.由于f(x)=3ax-2a+1，故f(x)一定是一条直线，又由题意，存在x 0∈(-1,1),使得f(x 0)=0，故直线y=3ax-2a+1在x=-1和x=1时的函数值异号，即f(-1)f(1)<0，得（1-5a)(a+1) <0，解得a<-1或1a ,5>故选C.11.【解题提示】先根据有关圆的切线长的性质，分析直角三角形的边长与其内切圆半径的关系.再寻求定值条件，用基本不等式求最值. 【解析】选B.可设两直角边分别为a,b,内切圆半径为r,则a 2+b 2=m 2,()()22222max a b a b a b ,m ,22a b m a b r ,21r m. B.2+++≥∴≥+-∴+≤=∴=故选12.【解题提示】解答本题一方面利用根与系数的关系把2212x x +用k 表示出来.另一方面根据Δ≥0求出k 的取值范围.【解析】选C.∵x 1,x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，∴4k 2-4(1-k 2)≥0得21k .2≥∵x 1+x 2=2k,x 1x 2=1-k 2.()()22222121212x x x x 2x x 4k 21k ∴+=+-=--216k 2621.2=-≥⨯-=故选C.13.【解析】设2x-3y=m(x+y)+n(x-y), 即2x-3y=(m+n)x+(m-n)y,1m m n 22,.m n 35n 2⎧=-⎪+=⎧⎪∴∴⎨⎨-=-⎩⎪=⎪⎩ 由-1<x+y<4,知-2<12-(x+y)<12① 由2<x-y<3，知()5155x y 22<-<② ①+②得()()153x y x y 8,22<-++-< 即3<z<8. 答案：（3，8）14.【解析】∵点P （x,y)在y=4-2x 上， ∴2x+y=4,x y 2x y 933318.∴+=+≥==当且仅当x=1,y=2时取等号. 答案：1815.【解析】设2x+y=t,则y=t-2x.代入4x 2+y 2+xy=1,整理得6x 2-3tx+t 2-1=0. 关于x 的方程有根，因此Δ=（-3t)2-4×6×(t 2-1)≥0.解得t ≤≤所以2x+y答案：516.【解题提示】先根据题意分析出直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)过已知圆的圆心，找到关于a,b 的定值条件.再用“常值代换”的方法求11a b+的最小值.【解析】由题意知：直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)一定过圆心，而圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的圆心为（2，1）.∴2a+2b-2=0,即a+b=1.1111b a b a ()a b 222 4.a b a b a b a b∴+=++=++≥+=（） 当且仅当b a a b =且a+b=1时，即a=b=12时，等号成立，11a b∴+的最小值为4. 答案：417.【解析】由x,y 为正实数，且2x+8y-xy=0, 得2x+8y=xy,即281.yx+=()828y 2xx y x y ()10x y x y 4y x4y x102()102218.x yx y∴+=++=++=++≥+⨯=当且仅当4y x x y=，即x=2y 时取等号. 又2x+8y-xy=0，∴x=12,y=6. 故当x=12,y=6时，x+y 取最小值18.18.【解析】若m 2-2m-3=0，则m=-1或m=3. 当m=-1时，不合题意； 当m=3时，符合题意. 若m 2-2m-3≠0,设f(x)=(m 2-2m-3)x 2-(m-3)x-1, 则由题意，得()()222m 2m 30,m 34m 2m 30,⎧--<⎪⎨∆=--+--<⎪⎩［］ 解得：1m 3.5-<<综合以上讨论，得1m 3.5-<≤19.【解析】设f(x)=(m+1)x 2+2(2m+1)x+1-3m ，显然m+1≠0. (1)当m+1>0时，可画简图：则()()m 10,f 10,f 30,⎧+>⎪<⎨⎪>⎩即m 1,m 2,8m .9⎧⎪>-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩得m 无解.（2）当m+1<0时，可画简图：则()()m 10,f 10,f 30,⎧+<⎪>⎨⎪<⎩即m 1,m 2,8m ,9⎧⎪<-⎪>-⎨⎪⎪<-⎩得-2<m<-1. 由（1）、（2）知m 的取值范围是（-2，-1）.20.【解析】（1）直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x-5y-23=0，x+7y-11=0,4x+y+10 =0.原点（0，0）在区域D 内，表示区域D 的不等式组为7x 5y 230x 7y 110.4x y 100--≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩（2）将B ，C 的坐标代入直线方程4x-3y-a=0， 得（14-a)(-18-a)<0，得a 的取值范围是-18<a<14.（3）因为z=kx+y(k<0)的最小值-k-6正是将B （-1，-6）的坐标代入的结果，所以点B 是目标函数的最优解，故0<-k<k AB 或k BC <-k<0，得k 的范围是75-<k<0或0<k<4. 又∵k<0,7k 0.5∴-<<21.【解题提示】按字母a 分类讨论. 【解析】因为ax 2-(a+1)x+1<0⇔(ax-1)(x-1)<0(1)当a=0时,(ax-1)(x-1)<0⇔-x+1<0⇔x>1;(2)当a<0时，(ax-1)(x-1)<0⇔(x-1a)(x-1)>0⇔x<1a或x>1; (3)当a>0时，（ax-1)(x-1)<0⇔1(x )a -(x-1)<0 因为11a a 11aa a---==-①当a 1a--<0即a>1时， ()111,ax 1)x 10x 1.a a<--<⇔<<（ ②当a 10a --=，即当a=1时，不等式的解集为③当a 10a-->，即0<a<1时，()()111,ax 1x 101x ;a a<--<⇔<< 综上所述：原不等式的解集为：当a<0时为{x|1x a <或x>1};当a=0时为{x|x>1}；当0<a<1时为{x|1<x<1a };当a=1时为当a>1时为{x|1a <x<1}.【方法技巧】含参数的不等式的解法含参数问题的讨论是一个难点.关键是要弄清为何讨论、如何讨论.在解决这类问题时，应正确认识问题中的参数，从而形成解决参数问题的正确思维习惯与解题思想.由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应不等式的解题方法进行转化，即战略上藐视参数；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性的影响，若有不确定性则予以讨论，否则不予讨论，即战术上重视参数.22.【解析】（1）前n 年费用总和为()2n n 112n 42n 10n 2-+⨯=+(万元）， ∴n 年的总利润为y=50n-2n 2-10n-98=-2n 2+40n-98.令y>0,得n 2-20n+49<0.1051n 1051. 2.8n 17.2.∴<<+∴<<∵n∈N*,∴n=3,4,5, (17)故从第3年起开始获利.（2）方案一：年平均收入为y49=-+402(n)n n≤40-2×14=12(万元）.当且仅当49n=，即n=7时取“=”，此时获利7×12+26=110(万元）.n方案二：y=-2(n-10)2+102,∴当n=10时，y max=102.此时获利102+8=110(万元），比较两种方案，总收益均为110万元.但方案一中n=7，故方案一合算.。

单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2【解析】选B.因为a2+a<0,所以a(a+1)<0,所以-1<a<0.取a=-,可知-a>a2>-a2>a.2.(2018·黄山高二检测)已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a 的取值范围是( )A.-7<a<24B.-24<a<7C.a<-1或a>24D.a<-24或a>7【解析】选A.根据题意,若点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则有(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.3.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )A.->0B.sin x-sin y>0C.-<0D.ln x+ln y>0【解析】选C.函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以<,即-<0,A错;函数y= sin x在(0,+∞)上不是单调函数,B错;函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以<,即-<0,所以C正确;ln x+ln y=ln xy,当x>y>0时,xy不一定大于1,即不一定有ln xy>0,D错.【方法技巧】比较大小的三种方法(1)作差(商)比较法.(2)在比较两个数(式)的大小时,利用函数的单调性是一种常用的方法.(3)利用中间值过渡:与0比较,区分正负.同正时可与1比较;同负时可与-1比较.4.关于x的方程=的解集为( )A.{0}B.{x|x≤0或x>1}C.{x|0≤x<1}D.(-∞,1)∪(1,+∞)【解题指南】利用绝对值的意义,即可得出方程的解集.【解析】选B.由题意,≥0,所以x≤0或x>1,所以方=的解集为{x|x≤0或x>1}.5.在等差数列{a n}中a n>0,且a1+a2+a3+…+a8=40,则a4·a5的最大值是( )A.5B.10C.25D.50【解析】选C.因为等差数列{a n}中a n>0,且a1+a2+a3+…+a8=40,所以a4+a5=10, 所以10=a4+a5≥2,所以a4·a5≤25,当且仅当a4=a5=5时取等号.所以a4·a5的最大值是25.【补偿训练】(2018·新乡高二检测)已知等比数列{a n}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)【解析】选D.设等比数列的公比为q.因为等比数列{a n}中,a2=1,所以S3=a1+a2+a3=a2=1+q+,所以当公比q>0时,S3=1+q+≥1+2=3;当公比q<0时,S3=1-≤1-2=-1.所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).6.若x,y满足则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.9【解析】选D.线性约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示,将z=x+2y转化为y=-x+,由直线l:y=-x平移可知,当直线y=-x+过点A时,z=x+2y的值最大,由解得A(3,3),所以z max=3+2×3=9.7.(2018·抚顺高二检测)若a<b,d<c,并且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d<a<c<bB.a<c<b<dC.a<d<b<cD.a<d<c<b【解题指南】由已知中a<b,d<c,并且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,结合同号两数积为正,异号两数积为负,可得答案.【解析】选A.因为a<b,(c-a)(c-b)<0,所以a<c<b,因为(d-a)(d-b)>0,所以d<a<b,或a<b<d,又因为d<c,所以d<a<b,综上可得:d<a<c<b.8.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( )A.a+<<log2(a+b)B.<log2<a+C.a+<log2<D.log2<a+<【解析】选B.方法一:a>1,0<b<1,所以<1,log2(a+b)>log22=1,>a+>a+b⇒a+>log2(a+b).方法二:特值法.令a=3,b=,可得a+>log2(a+b)> .9.设a>1,b>1且ab-(a+b)=1,那么( )A.a+b有最小值2(+1)B.a+b有最大值(+1)2C.ab有最大值+1D.ab有最小值2(+1)【解析】选A.因为ab-(a+b)=1,ab≤,所以-(a+b)≥1,它是关于a+b的一元二次不等式,解得a+b≥2(+1)或a+b≤2(1-)(舍去).所以a+b有最小值2(+1).又因为ab-(a+b)=1,a+b≥2,所以ab-2≥1,它是关于的一元二次不等式,解得≥+1,或≤1-(舍去),所以ab≥3+2,即ab有最小值3+2.10.如图所示,目标函数z=kx-y的可行域为四边形OABC,点B(3,2)是目标函数的最优解,则k的取值范围为 ( )A. B.C. D.【解析】选C.y=kx-z.若k>0,则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0,4),不符合题意.所以k<0,因为点(3,2)是目标函数的最优解.所以k AB≤k≤k BC,即-2≤k≤-.11.若不等式ax2+4x+a>1-2x2对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是( ) A.a≥2或a≤-3 B.a>2或a≤-3C.a>2D.-2<a<2【解析】选C.原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1>0,显然a=-2时不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的x均成立,必须有a+2>0,且Δ<0,即解得a>2.12.设点P(x,y)满足条件点Q(a,b)满足·≤1恒成立,其中O 是原点,a≤0,b≥0,则Q点的轨迹所围成图形的面积是 ( )A. B.1 C.2 D.4【解题指南】由·≤1求出点Q的坐标满足的不等式组,画出满足条件的图形,即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积.【解析】选A.因为·≤1,所以ax+by≤1,因为作出点P(x,y)满足条件的区域,如图阴影部分,且点Q(a,b)满足·≤1恒成立,只须点P(x,y)在可行域内点A(-1,0),B(0,2)处,ax+by≤1成立即可,所以即它表示一个长为1宽为的矩形,其面积为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.【解析】设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x,又f(0)=0,所以f(x)=当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5;当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故f(x)>x的解集为(-5,0)∪(5,+∞).答案:(-5,0)∪(5,+∞)14.(2018·濮阳高二检测)若实数x,y满足不等式组则z=的取值范围是__________.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分:因为z==1+,设k=,则k的几何意义为区域内的点到定点D(-1,-1)的斜率,由图象知BD的斜率最小,AD的斜率最大,如果A在可行域则k最大为: =2,最小为:=,即≤k<2,则≤k+1<3,故z=的取值范围是.答案:15.如果a>b,给出下列不等式:①<;②a3>b3;③>;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.【解析】①若a>0,b<0,则>,故①不一定成立;②因为y=x3在x∈R上单调递增,且a>b.所以a3>b3,故②成立;③取a=0,b=-1,知③不一定成立;④当c=0时,ac2=bc2=0,2ac2=2bc2,故④不一定成立;⑤取a=1,b=-1,知⑤不一定成立;⑥因为a2+b2+1-(ab+a+b)=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0,所以a2+b2+1>ab+a+b,故⑥成立.答案:②⑥【补偿训练】已知x∈R,且|x|≠1,则x6+1与x4+x2的大小关系是________. 【解析】x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1),因为|x|≠1,所以(x2-1)2>0,所以x6+1>x4+x2.答案:x6+1>x4+x216.(2018·吉安高二检测)某商品进货价每件50元,据市场调查,当销售价格(每件x元)在50<x≤80时,每天售出的件数P=,若想每天获得的利润最多,销售价格每件应定为________元.【解题指南】根据题意,所获利润=(销售价格-进货价格)×销售件数,根据所列函数关系,根据换元法和基本不等式,求函数的最值,即可求得答案.【解析】设销售价格定为每件x(50<x≤80)元,每天获得利润y元,则:y=(x-50)·P=,设x-50=t,则0<t≤30,所以y===≤=2 500, 当且仅当t=10,即x=60时,y max=2 500.答案:60【补偿训练】设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.【解题指南】先将z=x2-3xy+4y2代入,再用基本不等式求最大值,推出等号成立的条件,最后求+-的最大值.【解析】由正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,所以z=x2-3xy+4y2.所以==≤=1,当且仅当x=2y>0时取等号,此时z=2y2.所以+-=+-=-+1≤1,当且仅当y=1时取等号,即+-的最大值是1.答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2018·汉中高二检测)(1)解不等式≥1.(2)已知x>0,y>0,且x+y=1,求+的最小值.【解析】(1)原不等式转化为:解得≤x<3,所以原不等式的解集为.(2)因为x>0,y>0,x+y=1,所以+=(x+y)=13++≥13+2=25,当且仅当=时等号成立,由得所以当x=,y=时取等号,所以+的最小值为25.18.(12分)a,b,c∈R,证明不等式:a4+b4+c4≥abc(a+b+c).【证明】因为a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,所以2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.又因为a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc.所以2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).所以a4+b4+c4≥abc(a+b+c).19.(12分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元).(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.(2)约束条件为整理得目标函数为ω=2x+3y+300,作出可行域,如图所示,作初始直线l0:2x+3y=0,平移l0,当l0经过点A时,ω有最大值,由得所以最优解为A(50,50),此时ωmax=550元.故每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,且最大利润为550元.20.(12分)(2018·芜湖高二检测)已知函数f(x)=ax2+bx-a+2,(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a,b的值.(2)若b=2,a>0,解关于x的不等式f(x)>0.【解析】(1)因为不等式f(x)>0的解集是(-1,3),所以-1,3是方程ax2+bx-a+2=0的两根,所以可得解得(2)当b=2时,f(x)=ax2+2x-a+2=(x+1)(ax-a+2),因为a>0,所以(x+1)(ax-a+2)>0可转化为(x+1)>0,①若-1=,即a=1时,解集为{x|x≠-1}.②若-1>,即0<a<1时,解集为.③若-1<,即a>1时,解集为.22.(12分)某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)=(560+48x)+=560+48x+(x≥10,x∈N*).所以f(x)=560+48x+≥560+2=2 000,当且仅当48x=,即x=15时,等号成立.因此,当x=15时,f(x)取最小值f(15)=2 000,即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.【补偿训练】小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)【解析】(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元, 则y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0<x≤10,x∈N),即y=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N),由-x2+20x-50>0,解得10-5<x<10+5.而2<10-5<3,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为[y+(25-x)]=(-x2+19x-25)=19-,而19-≤19-2=9,当且仅当x=5时等号成立,即小王应当在第5年年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.。

章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·石家庄高二检测)设，a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是 ( )． A ．ac >bdB ．a －c >b －dC ．a ＋c >b ＋dD.a d >bc解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 答案 C2．不等式1x <12的解集是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析 由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D. 答案 D3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( )．A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N解析 ∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3) ＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3 ＝(a －1)2＋2>0. ∴M >N . 答案 A4．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( )．A ．3x 0＋2y 0>0B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0<8D ．3x 0＋2y 0>8解析 设f (x ，y )＝3x ＋2y －8，则由题意，得f (x 0，y 0)·f (1,2)<0，得3x 0＋2y 0－8>0.答案 D5．(2011·江西卷)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝ ( )．A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． 答案 B6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )．A ．(－5，－4]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎨⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，f (2)>0，－m －22>2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5⇒－5<m ≤－4m <－2.，故选A.答案 A7．如果log 3m ＋log 3n ≥4，那么m ＋n 的最小值为 ( )．A ．4B ．4 3C ．9D ．18解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ≥4， ∴mn ≥34，又由已知条件隐含着m >0，n >0.故m ＋n ≥2mn ≥234＝18，当且仅当m ＝n ＝9时取到最小值． 所以m ＋n 的最小值为18. 答案 D8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( )．A ．6B ．7C ．8D ．23解析 作出可行域如图所示：由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点 A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 答案 B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0.则不等式f (x )≥x 2的解集是( )．A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0－x ＋2≥x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－x －2≤0或⎩⎨⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎨⎧ x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎨⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔－1≤x ≤1. 答案 A10．(2011·福建卷)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]解析 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最 小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0 ＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．(2011·汕头高二检测)若1a ＜1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ba ＋ab>2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b . 其中正确的不等式的序号为________．解析 ∵1a <1b <0.∴b <a <0，故③错，又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2，故②⑤错．答案 ①④⑥12．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0， ∴－1<a <3. 答案 (－1,3)13．已知0<x <6，则(6－x )·x 的最大值是________． 解析 ∵0<x <6，∴6－x >0. ∴(6－x )·x ≤⎝⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.当且仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 答案 914．若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 作出可行域如图所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，由图可知当l 平移到A 点时，z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝58，y ＝158，∴A (58，158)，∴z max ＝58＋158＝208＝52.答案 52三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意，知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a ＝－261－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.16．(10分)(1)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值；(2)已知：x >0，y >0且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 值． 解 (1)∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.(2)∵x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12. ∴xy ＝112(3x )·(4y )≤112⎝⎛⎭⎫3x ＋4y 22＝3.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 3.当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时等号成立．∴当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 取最大值lg 3.17．(10分)(2011·唐山高二检测)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A 、B 两种设备每月有效使用台数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大？ 解 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4002x ＋y ≤500x ≥0，y ≥0，目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值． 作出可行域，如图．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x＋a 2， 这是斜率为－32，随a 变化的一组直线．当直线与可行域相交且截距a2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200,100件时，可得最大收入800千元． 18．(12分)一服装厂生产某种风衣，月产量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1 300元？解 设该厂月获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0<x <80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1 300，解得：20≤x ≤45，所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得的利润不少于1 300元．19．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则其长A 1B 1为ax 米， ∴a 2x ＝4 000⇒a ＝2010x，∴S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)S ≥1 600＋4 160＝5 760(米2)(当且仅当2x ＝5x⇒x ＝2.5)，即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米．。