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§23.2.1 直接开平方法及因式分解法◆回顾归纳1．利用__________直接开平方求一元二次方程的根的方法，叫做直接开平方法，这种方法适合解左边是_______而右边是_______方程，即形如（x+a）2=b（b≥0）•的方程．2．方程的一边为_______，而另一边可以分解为_______，使每一个因式为零，•分别解两个一元一次方程，得到的解便是原一元二次方程的解，这种方法称为因式分解法，左边多项式因式分解有______，______及_______．◆课堂测控测试点1 直接开平方法1．（1）方程（x－1）2=4的解是______；（2）若（x－1）2－9=0，则x=_____．2．若方程x2=b有解，则b的取值范围是_______．3．某种药品经过两次降价，每盒药品的售价降低到原来的36%，若平均每次降价的百分比为x，则可列方程为（）A．（1－x）2=36% B．（1－x）2=1－36% C．2x=1－36% D．2x=36% 4．用直接开平方法解下列方程：（1）（3x+1）2=0；（2）13（x－1）2=3；（3）2（x+1）2－4=0；（4）x2－2x+1=49．5．用直接开平方法解一元二次方程4（2x－1）2－25（x+1）2=0．解：移项得4（2x－1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x－1）=5（x+1），②∴x=－7．③上述解题过程，有无错误？如有，错在第____步，原因是________，•请写出正确的解答过程．测试点2 因式分解法6．（1）若方程（x－2）（x－3）=0，则方程的根为_____．（2）若方程（x－4）2=0，则方程的根为_____．7．方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（）A．x=－1 B．x=3 C．x1=－1，x2=3 D．以上答案都不对8．已知关于x的方程x2－px+q=0的两个根分别是0和－2，则p和q的值分别是（）A．p=－2，q=0 B．p=2，q=0 C．p=12，q=0 D．p=－12，q=09．用因式分解法解下列方程．（1）（x+1）（x－2）=0；（2）x2－4=0；（3）x（x+3）=x+3；（4）x2－2x－8=0．10．先阅读材料，然后解答问题．聪聪和明明在解一元二次方程4（2x－1）2－36（x+1）2=0时，采用了不同的方法．聪聪：将方程移项得4（2x－1）2=36（x+1）2．直接开平方得2（2x－1）=±6（x+1），解得x1=－4，x2=－25．明明：4（2x－1）2－36（x+1）2=0 变形得[2（2x－1）] 2－[6（x+1）] 2=0 整理得__________．∴－2x－8=0或10x+4=0．∴x1=－4，x2=－25．（1）在空白处填上适当内容，聪聪解方程运用_______，明明运用_______．（2）解方程9（3x+1）2－4x2=0．◆课后测控1．（1）方程12（y+5）2=32的根为______．（2）方程（x+3）（x－4）=0的根为______．2．已知a，b+│b，则关于x的方程（a+2）x2+b2=a－1的解为_____．3．已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx－10=0的一个解，•则2222a ba b--的值是______．4．关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为1，则m的值为_______．5．方程x（x+3）=－x（x+3）的根为（）A．x1=0，x2=3 B．x1=0，x2=－3 C．x=0 D．x=－36．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或8 D．11和137．已知一元二次方程x2－2x=0，它的解是（）A．0 B．2 C．0，－2 D．0，28．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182 B．x（x－1）=182C．2x（x+1）=182 D．x（x－1）=182×29．用适当的方法解下列方程．（1）x2－14=0；（2）3x2－12x=0；（3）y2+6y+9=0；（4）（3x+1）2－4（3x+1）+4=0．10．已知等腰三角形的腰和底是方程x2－6x+8=0的两根，求这个三角形的周长．11．若养鸭专业户要在自家池塘边盖一个面积为150m2的长方形鸭舍，如图，鸭舍的一边靠着墙，墙长16m2，并且与墙平行的一边开一个1m宽的门，•现有能围成34m长的篱笆，求鸭舍的长和宽．12．读诗词解题．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？13．（新颖题）已知三角形的两边长分别为10cm和8cm，•第三边长的数值是一元二次方程x2－8x+12=0的根，试求此三角形的周长和面积．◆拓展创新已知关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程211xx+-=4的解相同．（1）求k的值;（2）求方程2x2－kx+1=0的另一个解．参考答案回顾归纳1．平方根的定义一个完全平方式一个非负数的2．零两个一次因式的积提公因式法十字相乘法分组分解法课堂测控1．（1）x1=3，x2=－1 （2）x1=4，x2=－22．b≥0 3．A4．（1）x1=x2=－13（2）x1=4，x2=－2（3）x1=－x2=－1（4）x1=8，x2=－6 5．②漏掉了2（2x－1）=－5（x+1）正确的解答过程如下：移项得4（2x－1）2=25（x+1）2，直接开平方得2（2x－1）=±5（x+1），即2（2x－1）=5（x+1）或2（2x－1）=－5（x+1）．∴x1=－7，x2=－13．6．（1）x1=2，x2=3 （2）x1=x2=47．C 8．A9．（1）x1=－1，x2=2 （2）x1=2，x2=－2 （3）x1=－3，x2=1 （4）x1=－2，x2=410．（1）（－2x－8）（10x+4）=0 直接开平方法因式分解法（2）x1=－37，x2=－311．课后测控1．（1）y1=3，y2=－13 （2）x1=－3，x2=42．x1x2=3．5 4．－4 5．B6．B（点拨：x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4，根据三角形边与边之间的关系，另一边长为4，则三角形周长为3+6+4=13）7．D（点拨：将它们代入方程，符合方程的则为它的解）8．B（点拨：全组有x名同学，每个同学收到（x－1）件标本，故全组互赠x（x－1）=182（件））9．（1）x1=12，x2=－12（2）x1=0，x2=4 （3）y1=y2=－3 （4）x1=x2=1310．1011．设鸭舍的宽为xm，则长为（35－2x）m，根据题意得x（35－2x）=150，解之得x1=7.5，x2=10．当x=7.5时，35－2x=20>16（舍去）；当x=10时，35－2x=15，符合题意．∴鸭舍的长为15m，宽为10m．12．设周瑜年龄个位数字为x，则十位数字为（x－3），根据题意得x2=10（x－3）+x，•解之得x1=5，x2=6，当个位数字为5，则十位数字为2，他的年龄为25岁，这与而立之年不符，舍去；当个位数字为6时，则十位数字为3，年龄为36岁，∴周瑜年龄为36岁．13．解方程x2－8x+12=0得x1=2，x2=6，因为2，8，10不能构成三角形，所以第三边为6，•周长为24，面积为24．拓展创新（1）k=3 （2）方程的另一个解为x=1。
《直接开平方法解一元二次方程》说课稿今天我说课的课题是《直接开平方法方法解一元二次方程》。
内容选自人教版教科书，数学九年级上册第22章一元一次方程第2节。
下面我从教材分析、教学目标的确定，教学重、难点的分析，教法、学法，教学过程几个方面对本节课的教学进行一个说明。
一、教材分析：一元二次方程的解法是本章的重点内容，直接开平方法一元二次方程解法的起始课，直接接开平方法是解一元二次方程的基础方法。
它的推导建立在平方根意义和开方运算的基础上，首先它配方法的基础，其次再求二次函数与X轴交点等问题中都必须用一元二次方程的解法。
同时，这一届教材的编写中突出体现了化归、类比等重要的数学思想方法。
因此这一届不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
为此，根据课标要求和学生实际情况，制定了如下的教学目标：二、教学目标：1．知识与技能（1）会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．2．过程与方法通过实例，使学生体会一元二次方程应用价值并意识到解一元二次方程的重要性，理解直接开平方法的数学依据，并能应用直接开平方法．让学生经历由简到繁过程，体验类比、化归、降次的数学思想方法，培养学生观察、分析、计算等思维能力及应用意识．3．情感态度与价值观通过学生对具体问题的思考、讨论、交流，最终得出结论的过程，培养学生的进取精神，让学生养成科学严谨的治学态度和应用所学知识解决问题的习惯．三、教学重点与教学难点的分析本节课是一元二次方程解法的起始课，教学重点是用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程。
难点是不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化归”的转化方法与技巧．四、教法学法分析：1、教法：本节课采用启发式和自主探究式与交流讨论相结合的教学方式。
在教学中以启发学生进行探究的形式展开，利用已有的知识，利用学生已有的知识，让学生多交流，主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位。
课题：人教版九年级数学21.2.1直接开平方课型：新授课主备人：教学目标1.理解一元二次方程降次的转化思想 .2．会利用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．3．能规范、熟练运用直接开平方法一元二次方程。
重点：运用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。
难点：将方程转化为形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，并且能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。
教学过程：一、课堂导入及出示学习目标（一）情境引入导语：上节课我们主要学习了一元二次方程和相关的概念，那么今天这节课我们一起来研究如何解一元二次方程。
师生活动：点题，板书课题设计意图：开门见山明确本节课内容。
（二）学习目标教师追问1：首先我们看一下本节课的学习目标。
（大屏幕展示）学习目标：1.理解一元二次方程降次的转化思想2.会利用直接开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p （p≥0）的一元二次方程．师生活动：学生代表朗读或齐读本节课的学习目标（心中有目标，效率才会高。
）设计意图：让学生明确本节课的学习内容，抓住学习重点，可以为本节课的学习起到事半功倍的效果。
二、知识回顾：1. 平方根的定义：如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根。
记作x= 即x= 或x= ，2.求下列各数的平方根1.21( )，5( )， ( )，8( )，0( )3.平方根的性质： 正数有 个平方根，它们是 ，0的平方根是 ， 负数 平方根。
师生活动：由学生独立完成，学生代表回答，教师及时订正。
设计意图：通过对平方根相关知识的回顾，主要为直接开平方法解一元二次方程的学习做好铺垫。
三、预习导学自学指导1认真阅读课本P5页问题1. 完成以下问题：解：设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为dm 2，根据一桶油漆可刷的面积，列方程为整理得 x 2=根据平方根的意义得，x=即x 1= ; x 2= ;94独立思考并完成上述问题，然后以小组为单位，组内互查互助，3分钟后比赛哪个组完成效果好。
