1.3.2球的表面积和体积2

1.3.2球的体积和表面积[学习目标]1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．2．能解决与球有关的组合体的计算问题．[知识链接]1．长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，体积V＝13πr2h.[预习导引]球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)(2)球的表面积公式S＝4πR2要点一球的表面积和体积例1(1)已知球的表面积为64π，求它的体积．(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝43πR3＝43π·(4)3＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积． 2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径． 跟踪演练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.323π 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.要点二 球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π答案 B 解析如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝ 3.即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.规律方法 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．跟踪演练2 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．答案 1或7解析 若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.要点三 球的组合体与三视图例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为： V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．跟踪演练3已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案12π解析由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝23，∴R＝ 3.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144π B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π答案 B解析球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝43π·33＝36π.2．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的() A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案 C解析设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝43πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．答案3 2解析设大球的半径为R，则有43πR3＝2×43π×13，R3＝2，∴R＝3 2.4．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．答案14π解析长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案3π解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．一、基础达标1．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.43π B.8π3C．43π D．323π答案 C解析由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )A ．8B ．8 2C ．8 3D ．4 2答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，则有3a 2＝4，即a 2＝43.∴正方体的表面积为6a 2＝6×43＝8.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V ＝32×2＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝18＋92π. 4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求的比为1∶3 3.5．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3答案 C解析根据球的截面性质，有R＝r2＋d2＝32＋42＝5，∴V球＝43πR3＝5003π(cm3)．6．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．答案 3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，则43πR3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a＝ 3.7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3×⎝⎛⎭⎪⎫523＝125π3(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.二、能力提升8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3答案 A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝43π×53＝5003π(cm3)．9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2 C.113πa2D．5πa2答案 B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.10.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．11．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.因球心O 到截面△ABC 的射影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)．设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ， 在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴r R ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，①又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3. ∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V＝43πR3＝43π(103)3＝4 0003π.三、探究与创新12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)解如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R，∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝112πR2＋32πR2＝11＋32πR2.故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR2.13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解设圆锥形杯子的高为h cm，要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，而V半球＝12×43πr3＝12×4π3×43，V圆锥＝13Sh＝13πr2h＝π3×42×h.依题意：π3×42×h≥12×4π3×43，解得h≥8，即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S圆锥侧＝πrl＝πr h2＋r2，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．。