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第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。
第四章第四章 三角函数、解三角形第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式第一课时 三角函数公式的基本应用知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知 识 梳 理知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．sin 2α＝_________________；2．cos 2α＝________________＝__________－1＝1－__________；2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α2sin 2α知识点三 半角公式(不要求记忆)双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )√××(4)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )[解析] 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的．××题组二 走进教材2．(必修1P219例4改编)计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结A果等于( )A题组三 走向高考DD－2三角函数公式的直接应用——自主练透DBA名师点拨：1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.三角函数公式的逆用与变形用——多维探究角度1 公式的逆用C角度2 公式的变形应用BDA名师点拨：1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．2．熟记三角函数公式的2类变式(1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．(2)倍角公式变形：【变式训练】DBA．5 B．4 C．3 D．2角的变换与名的变换——师生共研BBCA．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1名师点拨：2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.A。
4．3.2 对数的运算1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝nlog a M(n ∈R )．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c>0，且c≠1，则log a b ＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0)． 3．由换底公式推导的重要结论 (1)log an b n＝log a b. (2)log an b m＝m n log a b.(3)log a b·log b a ＝1.(4)log a b·log b c·log c d ＝log a d.1．我们知道am ＋n＝a m ·a n，那么log a (M·N)＝log a M·log a N 正确吗？举例说明．[答案] 不正确，例如log 24＝log 2(2×2)＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2 2．你能推出log a (MN)(M>0，N>0)的表达式吗？ [答案] 能．令a m＝M ，a n＝N ，∴MN ＝am ＋n，由对数定义知，log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a (MN)＝m ＋n ， ∴log a (MN)＝log a M ＋log a N3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy)＝log a x·log a y.( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一对数运算性质的应用 【典例1】 求下列各式的值： (1)log 345－log 35； (2)log 24·log 28；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应． [解] (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 24·log 28＝log 222·log 223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0. (4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2 ＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[针对训练] 1．计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)log 2748＋log 212－12log 242－1； (3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [解] (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：原式＝lg 427－lg4＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.题型二对数换底公式的应用【典例2】 (1)计算：①log 29·log 34； ②log 52×log 79log 513×log 734.(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)； ②log an b n＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明． [解] (1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349＝lg 2lg 13·lg9lg 34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①log a b·log b a ＝lgb lga ·lgalgb＝1. ②log an b n＝lgb nlga n ＝nlgb nlga ＝lgblga＝log a b.[变式] (1)若本例(2)①改为“log a b·log b c·log c d ＝log a d”如何证明？ (2)若本例(2)②改为“log an b m＝m n log a b”如何证明？[证明] (1)log a b·log b c·log c d ＝lgb lga ·lgc lgb ·lgd lgc ＝lgdlga＝log a d. (2)log an bm＝lgb mlga n ＝mlgb nlga ＝mn log a b.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．[针对训练]2.·()log 227等于( )A.23B.32 C ．6 D ．－6[解析][答案] D3．log 2125·log 318·log 519＝________.[解析] 原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2lg3lg5＝－12.[答案] －12 题型三对数的综合应用【典例3】 (1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log 189＝a,18b＝5，用a 、b 表示log 3645. [思路导引] 应用换底公式化简求值．[解] (1)设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则： 经过1年，剩余量是y ＝0.75； 经过2年，剩余量是y ＝0.752；…经过x 年，剩余量是y ＝0.75x； 由题意得0.75x＝13，∴x＝log 0.7513＝lg 13lg 34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13.(2)解法一：由18b＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b2－a. 解法二：设log 3645＝x ，则36x＝45，即62x＝5×9， 从而有182x＝5×9x ＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189， 又18b＝5，所以b ＝log 185. 所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a .解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．[针对训练]4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于________． [解析] log 512＝lg12lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝b ＋2a1－a.[答案]b ＋2a1－a5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足e v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000(e 为自然对数的底)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)[解] 由e v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000及M ＝2m ，得e v ＝32000，两边取以e 为底的对数，v ＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．∴火箭的最大速度为2198 m/s.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x·log a y ＝log a (x ＋y) B ．(log a x)n＝nlog a x C.log a x n＝log a nx D.log a xlog a y＝log a x －log a y [解析] 根据对数的运算性质知，C 正确． [答案] C2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12[解析] 12log 612－2log 62＝log 623－log 62＝log 6232＝log 6 3.故选C.[答案] C3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式可表示为( ) A ．a －b B.ab C ．abD ．a ＋b[解析] log 32＝ln2ln3＝ab .[答案] B4．计算log 916·log 881的值为________．[解析] log 916·log 881＝lg24lg32·lg34lg23＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.[答案] 835．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .[证明] 设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)， ∴x＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y.课后作业(三十)复习巩固一、选择题 1.log 29log 23＝( ) A.12B ．2 C.32 D.92[解析] 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.[答案] B2．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. [答案] C3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N D ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2[解析] 在A 中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M≠N，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．[答案] B4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a)2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1[解析] ∵a＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. [答案] A5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.[答案] D 二、填空题6．lg 5＋lg 20的值是________． [解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1. [答案] 17．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．[解析] log a b·log 3a ＝lgb lga ·lga lg3＝lgb lg3＝4，所以lgb ＝4lg3＝lg34，所以b ＝34＝81.[答案] 818．四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lgE 2－lgE 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹． [答案] 1000 三、解答题9．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.[解] (1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5) ＝12lg10＝12. (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2 ＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 10．(1)若lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)，求xy 的值；(2)设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y 的值(x>0，y>0)．[解] (1)因为lgx ＋lgy ＝2lg(x －2y)， 所以{ x>0，y>0，x －2y>0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y)2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y.又x>0，y>0且x －2y>0，所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y＝4. (2)解法一：∵3x ＝36,4y ＝36，∴x＝log 336，y ＝log 436.∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1. 解法二：对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636， 即xlog 63＝ylog 64＝2.∴2x ＝log 63，1y＝log 62. ∴2x ＋1y＝log 63＋log 62＝log 66＝1， 即2x ＋1y＝1. 综合运用11．若ab>0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga ＋lgb; ②lg a b＝lga －lgb ； ③12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab)＝1log ab 10. 其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③ [解析] ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab>0，∴a b>0，12lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b，∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab)＝0，但log ab 10无意义，∴④中等式不成立．故选D.[答案] D12．若2.5x ＝1000,0.25y ＝1000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3[解析] ∵x＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，∴1x ＝1log 2.51000＝log 10002.5，同理1y＝log 10000.25， ∴1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝lg10lg1000＝13. [答案] A13．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝________.[解析] log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b. [答案] a ＋b b 14．计算log 225·log 3116·log 519·ln e ＝________. [解析] 原式＝2lg5lg2×－4lg2lg3×－2lg3lg5×12＝8. [答案] 815．设a ，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，求 lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx ＋1＝0.设t ＝lgx ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lga ，t 2＝lgb ，即lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12. ∴lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)·⎝ ⎛⎭⎪⎫lgb lga ＋lga lgb ＝(lga ＋lgb)·(lgb )2＋(lga )2lga·lgb＝(lga ＋lgb)·(lga ＋lgb )2－2lga·lgb lga·lgb＝2×22－2×1212＝12， 即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.。
1．sin 1 620°等于( )A ．0B.12 C ．1 D ．－12．(2023·济南模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，则tan α等于( ) A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.333．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线2x ＋y ＋3＝0平行，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( ) A ．－2 B ．－14C ．2D ．3 4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α等于( ) A.825 B ．－825 C.1625 D ．－16255．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2 D ．cos(A ＋B )＝cos C6．(2022·郑州模拟)已知角α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且tan 2α－3tan αsin α－4sin 2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于( ) A.154 B.14 C ．－34 D ．－1547．已知sin θ＝13，则tan (2π－θ)cos ⎝⎛⎭⎫π2－θsin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝ . 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3的值为 ．9．(2023·长沙模拟)(1)若α是第二象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－13，求tan α的值； (2)已知f (α)＝sin (3π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (π－α)sin (－π－α)，化简f (α)，在(1)的条件下，求f (α)的值．10．已知角θ 的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，y . (1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)的值．11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．1 12．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，则sin ⎝⎛⎭⎫a π2＋π6等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－3213．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是 ． 14．已知sin(3π＋θ)＝13，则cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝ .15．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的有( ) A ．sin β＝154 B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155 16．(2022·上海模拟)在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的终边上分别有一点P 1，P 2，P 3，…，P 29，如果点P k 的坐标为(sin(15°－k °)，sin(75°＋k °))，1≤k ≤29，k ∈N ，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ29＝________.。
第四章 多组分系统热力学 主要公式及其适用条件1. 偏摩尔量：定义: C n p,T,n X X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=B B (1)其中X 为广延量，如V ﹑U ﹑S ......全微分式：d ⎛⎫∂∂⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑B B B B Bd d d p,n T,n X X X T p X n T p (2)总和： ∑=BB B X n X (3)2. 吉布斯-杜亥姆方程在T ﹑p 一定条件下，0d BB B =∑X n ， 或0d BBB =∑Xx 。
此处，x B 指B 的摩尔分数，X B 指B 的偏摩尔量。
3. 偏摩尔量间的关系广延热力学量间原有的关系，在它们取了偏摩尔量后，依然存在。
例：H = U + PV ⇒ H B = U B + PV B ； A = U - TS ⇒ A B = U B - TS B ； G = H – TS ⇒ G B = H B - TS B ；…...S T G ;S T G ;V p G V p Gn p,p n T,TB B B B BB -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4. 化学势定义 Cn p,T,n G G μB B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂==B5. 单相多组分系统的热力学公式∑+-=BBB d d d d n μV p S T U∑++=BBB d d d d n μp V S T H ∑+-=BBB d d d d n μV p T S -A∑++=BBB d d d d n μp V T S -GCCCCB B B B B n p,T,n V,T,n p,S,n V,S,n G n A n H n U μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂====但按定义，只有 CB n p,T,n G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂才是偏摩尔量，其余3个均不是偏摩尔量。
6. 化学势判据在d T = 0 , d p = 0 δW ’= 0 的条件下，⎪⎭⎫⎝⎛≤α=<∑∑平衡自发,,00α0 )()d (αBB B n μ 其中，∑α指有多相共存，)(αB μ指 α相内的B 物质。
第四章三角恒等变换4.2两角和与差的三角函数公式第2课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用1．能利用Cαβ±公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简，求值等．3．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．教学重点：两角和差的正弦、正切公式的推导及其应用．教学难点：两角和差的正弦、正切公式的灵活运用．PPT课件﹒一、导入新课问题1：变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？这就是本节要学习的内容．设计意图：借助情景引入新课—两角和差的正弦、正切公式及其应用（版书）．二、新知探究1．两角和差的正弦公式问题1：由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75︒的值吗？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：可以，因为sin 75cos15cos(4530)︒=︒=︒-︒﹒设计意图：通过正余弦之间的转化，为探究sin()αβ+的公式作铺垫． 问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 师生活动：学生独立思考，推导公式．预设答案：可以，sin(α＋β)＝cos[π2−(α+β)]＝cos 错误!＝sin αcos β＋cos αsin β﹒追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？ 师生活动：学生独立思考，推导公式﹒预设答案：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．★资源名称：【知识点解析】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．★使用说明：本资源为《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 知识点1：两角和差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（S α＋β）， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（S α－β）． 追问2：公式S α±β的适用条件是什么？ 师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．追问3：公式S α－β，S α＋β，可记为什么？ 师生活动：学生独立思考，小组讨论﹒ 预设答案：“异名相乘，符号同”． 设计意图：帮助学生熟记公式． 2．两角和差的正切公式问题3：前面学习的同角三角函数关系中，tan ,sin ,cos ααα的关系怎样？ 师生活动：学生回忆，举手回答﹒ 预设答案：sin tan cos ααα=﹒ 设计意图：为推导两角和差的正切公式作铺垫﹒追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？师生活动：学生思考、推导﹒ 预设答案：①tan(α＋β)＝++sin cos αβαβ()()＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β﹒②tan(α－β)＝()()sin cos αβαβ--＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β．知识点2：两角和差的正切公式 （1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，记作T α＋β．（2）tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，记作T α－β．追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？ 师生活动：学生观察公式，得出结论． 预设答案：不是的．①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2，(k ∈Z )；②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2，(k ∈Z )．追问3：如何计算1－tan15°1＋tan15°？师生活动：学生思考、计算，举手回答﹒预设答案：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33．设计意图：帮助学生熟记两角和差的正切公式．★资源名称：【例题讲解】利用两角和差的正余弦公式求角．★使用说明：本资源为《利用两角和差的正余弦公式求角》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 三、巩固练习 例1已知3sin 5α=-，α为第三象限角，求sin(),cos()44παπα-+的值﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师找学生板书解题过程．预设答案：因为3sin 5α=-，α为第三象限角，所以4cos 5α==-，43sin()sincos sin cos()()44455ααπαππ-=-=⨯---=43cos()coscos sin sin ()()44455ααπαππ+=-=---=．追问：本题中sin()cos()44ααππ-=+，这是一种巧合吗？预设答案：不是，因为()()442ππαπα-++=，所以sin()cos()44ααππ-=+﹒方法总结：这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．设计意图：巩固两角差的正弦与两角和的余弦公式的应用．例2已知1tan 2,tan ,3αβ==-其中0<α<π2<β<π﹒求：（1）tan()αβ-的值；（2）α+β﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师补充． 预设答案：（1）12()tan tan 3tan(===711tan tan 12()3αβαβαβ----++⨯-）； （2）因为0<α<π2<β<π，所以3+22παβπ<<， 而12()tan tan 3tan(===111tan tan 12()3αβαβαβ+-++--⨯-）， 故5+4παβ=． 方法总结：灵活选择适当求角的三角函数值方法．①如果角的取值范围是)20(π,，则选正弦函数、余弦函数均可；②如果角的取值范围是)22(ππ,-，则选正弦函数； ③如果角的取值范围是)0(π,，则选余弦函数． 设计意图：巩固两角和差余弦公式的逆用． 例3已知02πβαπ<<<<，且12cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭﹒求：（1）tan 2βα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）cos 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值． 师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程﹒ 预设答案： （1）因为02πβ<<，所以042πβ-<-<，所以42πβαπ<-<，故5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5tan 212βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）cos cos 222αββααβ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒由2παπ<<得，422παπ<<，又2πβ-<-<0，则422παπβ-<-<，则3cos 25αβ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 故1235416cos213513565αβ+⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭． 方法总结：这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．设计意图：巩固角的变换以及两角和差正弦、余弦、正切公式的运用． 【板书设计】四、归纳小结问题5：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳． （1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？ （2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设答案：（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． （2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生掌握利用两角和差公式解决求值问题的方法技巧．布置作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A 组第4，5，6题． 五、目标检测设计1﹒已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( ) A ．2 B ．1 C ﹒12D ．4设计意图：检查学生对两角和的正切公式掌握情况． 2﹒已知α∈）（ππ,2，)4sin(πα+＝35，则sin α等于( )A ﹒210 B ﹒7210 C ﹒－210或7210 D ﹒－7210设计意图：检查学生对两角和差公式的综合应用的掌握情况． 3﹒设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则cos θ=______；sin()4πθ+=______﹒ 设计意图：检查学生对两角和的余弦及两角和的正切公式的掌握情况．4﹒如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255﹒ (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．设计意图：检查学生对两角和、差的公式的掌握情况． 【参考答案】1．答案：C ﹒解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12﹒2．答案：B ﹒ 解析：由α∈）（ππ,2得，3π4<α＋π4<5π4， 所以)4cos(πα+＝)4(12πα+--sin ＝54)53(12-=--﹒ 所以sin α＝]4)4([ππα-sin +＝)4sin(πα+4cosπ－4s πin )4cos(πα+＝22×)5453(+＝7210﹒ 3．答案：，解析：1tan()tan11442tan tan()4431tan()tan 1444ππθππθθπππθ+--=+-===-+++．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩， 结合θ为第二象限角，则cos 0θ<， 可得cos 10θ=-，sin 10θ=﹒ 所以sin()sin )425πθθθ+=+=-﹒ 4．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12﹒(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3﹒(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(ɑ＋β)＋tanβ1－tan(ɑ＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，故可得α＋2β＝3π4．。
