平面直角坐标系中的平移变换 作业 2016-2017学年高中数学 苏教版 选修4-4
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同步侧控我夯基，我达标1.将图形F 按向量a ＝（h ，k ）（其中h ＞０，k ＞０）平移，就是将图形F( )A.向x 轴的正方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的正方向平移k 个单位长度B.向x 轴的负方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的负方向平移k 个单位长度C.向x 轴的正方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的负方向平移k 个单位长度D.向x 轴的负方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的正方向平移k 个单位长度解析：设图形F ：f(x,y)＝0，按向量a =(h,k)平移后的图形为F′：f(x-h,y-k)＝0，显然图形F′是由图形F 向x 轴的正方向平移h 个单位长度，同时向y 轴的正方向平移k 个单位长度所得到的.答案：Ａ2.已知点（１，3）按向量a 平移后得到点（４，１），那么点（2，１）按向量a 平移后的坐标是( )A.（５，１） B ．（－５，－１） C.（－５，１） D.（５，－１） 解析：a ＝（４，１）－（１，３）＝（３，－２），则点（２，１）平移后的坐标为（２＋３，１－２），即（５，－１）．答案：Ｄ3.将一个点按向量a 平移后，该点的横、纵坐标分别减少了4和2，则a 等于（ ）A.（４，2） B ．（2，４） C.（－４，－2） D.（－2，－４） 解析：设P(x,y)点按向量a =(h,k)平移后的对应点为P′(x′,y′)，则⎩⎨⎧-=-'=-=-'=⎩⎨⎧+='+=',2,4.,y y k x x h k y y h x x 所以即a ＝（－４，－２）． 答案：Ｃ4.将函数y=sin2x 按向量a ＝（－6π，１）平移后的函数解析式是( ) A.y=sin(2x+3π)+1 B.y=sin(2x-3π)+1 C.y=sin(2x+6π)+1 D.y=sin(2x-6π)+1 解析：函数y=sin2x 的图象按向量a=(－6π,1)平移,得y=sin ［2(x+6π)］＋１． 答案：A5.将抛物线y=x 2-4x ＋5按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量a 的坐标为( )A.（2，１） B ．（－2，－１） C.（－2，１） D.（2，－１） 解析：y=x 2-4x ＋５＝(x-2)2＋１，顶点为（２，１）,将顶点移至与原点重合，则a ＝（０，０）－（２，１）＝（－２，－１）．答案：Ｂ6.函数y=sin2x 的图象按向量a 平移后，所得函数解析式为y=cos2x+1，则a 可能等于( )A.（4π，１） B ．（－4π，１） C.（－2π，１） D.（2π，１） 解析：设a=(h,k)，则⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x ,代入y=sin2x,得y′-k=sin2(x′-h).整理得y′=sin2(x′-h)+k.∴cos2x′+1=sin(2x′-2h)+k ． 当⎪⎩⎪⎨⎧=-=1,4k h π时,sin(2x-2h)+k=cos2x+1.答案：B7.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位长度，再沿y 轴正方向平移１个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为( ) A.31- B ．－3 C.31 D.3 解析：设直线l 的方程为y=kx+b （此题k 必存在），则直线向左平移３个单位，向上平移１个单位后，直线方程应为 y=k(x+3)+b ＋１，即y=kx+3k+b ＋１．因为此直线与原直线重合，所以两方程相同，比较常数项得3k+b+1=b ．∴k=31-. 答案：A8.将函数y=3mx+n+m 的图象按向量a 平移后得到的图象的解析式为y=3mx+n ，则a 等于( )A.（－m n ，n-m ） B ．（m n ，n-m ） C.（－m n ,m-n) D.（mn ,m-n ） 解析：y=3mx +n+m ⇒y-m+n=)(3m n x m ++n ，令⎪⎩⎪⎨⎧'=+='=+,,y n m y x m n x 从而得向量a ＝（m n ,n-m ）． 答案：Ｂ我综合，我发展9.函数f(x)=x 2+mx+n 的图象按向量a =(4,3)平移后得到的图象恰与直线4x+y －８＝０相切于点T(1,4)，则原函数的解析式为( )A.f(x)=x 2+2x+1B.f(x)=x 2+2x+2C.f(x)=x 2+2x-2D.f(x)=x 2+2x解析：函数f(x)=x 2+mx+n 的导数y′=2x+m ，设原切点T′(x,y)，按向量a ＝（４，３）平移为T(1,4)，则T′(-3,1)，由切线的斜率为-４，切点T′(-3,1)在函数f(x)=x 2+mx+n 的图象上，故2×(-3)+m=-4，所以m=2.又(-3)2+(-3)×2+n=1,所以n=-2.从而原函数的解析式为f(x)=x 2+2x-2.答案：C10.将y=sin2x 的图象向右按a 作最小的平移,使得平移后的图象在[kπ+2π,kπ＋π](k ∈Z )上递减,则a ＝_____________．解析：设平移后的函数解析式为y=sin2(x-h)，由 2kπ+2π≤2(x -h)≤2kπ+23π(k ∈Z ),得 kπ+4π+h≤x≤kπ+43π+h(k ∈Z ).∵4π+h=2π,∴h=4π．∴a =(4π,0) 答案：（4π,0) 11.已知f(x+2 008)=4x 2+4x+3(x ∈R ），那么函数f(x)的最小值为____________解析：由f(x+2 008)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x+2 008)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的.由y=4x 2+4x+3=4(x+21)2+2,立即求得f(x)的最小值,即f(x+2 008)的最小值是２. 答案：２12.把函数y=32x-5的图象按向量a 平移后，解析式变为y=32x ，求向量a ．思路分析：关于图象平移，其关键是正确区分平移前后解析式中的（x,y ）、（x′,y′），并找到其关系，就可求出a ．解法一：设向量a ＝（h,k ），P （x,y ）是函数y=32x-5图象上任一点，平移后，函数y=32x 图象上的对应点为P ′(x′,y′)，由平移公式⎩⎨⎧+='+=',,k y y h x x 得y+k=32(x+h). 整理得y=32x+2h -k ，显然它与y=32x-5为同一函数，从而有⎩⎨⎧=--=,0,52k h 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=.0,25k h 所以a ＝（25-，０）. 解法二：设向量a =(h,k)，由平移公式⎩⎨⎧+='+=',,k y y h x x 得⎩⎨⎧-'=-'=.,k y y h x x 将它代入y=32x-5，得y′-k=32(x′-h)-5.整理，得y′=32x′-2h-5+k.显然它与y′=32x′为同一函数，∴⎩⎨⎧==--.0,052k h 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.0,25k h 所以a =25-,0)． 我创新，我超越13.已知抛物线y=x 2-2x-８,求（１）抛物线顶点的坐标；（2）将这个抛物线的顶点平移到点（2，－3）时的函数解析式；（3）将此抛物线按怎样的向量a =(h,k)平移，能使平移后的曲线的函数解析式为y=x 2． 思路分析：将抛物线方程进行配方，化为y=a(x-h)2+k 的形式．解：（1）将y=x 2-2x-8配方，得y=(x-1)2-9，故抛物线顶点O 的坐标为（１，－９）．(2)将抛物线y=(x-1)2-9的顶点平移到点（２，－３）时的函数解析式为y=(x-2)2-3,即y=x 2-4x+1.（3）将平移公式⎩⎨⎧+='+=',,k y y h x x 即⎩⎨⎧-'=-'=ky y h x x ,代入原抛物线的解析式,得y′-k=(x′-h)2-2(x′-h)-8.化简,得y′=x′2-2(h+1)x′+h 2+2h-8+k.与平移后的曲线解析式y′=x′2比较,可得⎩⎨⎧=+-+=+-,082,0)1(22k h h h 解得⎩⎨⎧=-=.9,1k h ∴所求平移向量a ＝（－１，９）．14.已知函数f(x)=log 2(2x-3)+4．（１）将函数f(x)的图象按向量a ＝（０，－４）平移后,求所得函数的解析式．（2）是否存在一个平移，能将函数f(x)化为对数函数形式？若存在，求出这一对数函数的解析式，并借化简的结果研究函数f(x)的单调性；若不存在，请说明原因．思路分析：问题（2）是一个探索型问题，可先利用待定系数法设出平移向量，再根据题意代入函数f(x)中，最后通过比较式子的结构，求出平移向量．（１）解：设P(x,y)为函数f(x)图象上任一点，按a ＝（０，－４）平移后对应点为P′(x′,y′), 则把平移公式⎩⎨⎧-='+='4,0y y x x 即⎩⎨⎧+'='=4,y y x x 代入y=log 2(2x-3)＋４，得y′+4=log 2(2x′-3)＋４，即y′=log 2(2x′-3).故平移后所得图象的函数解析式为y=log 2(2x-3)．(2)解法一：设存在向量a =(h,k)满足题设，并设P(x,y)为f(x)图象上任意一点，其按a =(h,k)平移后的对称点为P ′(x′,y′)，则⎩⎨⎧+='+=',,k y y h x x 即⎩⎨⎧-'=-'=ky y h x x ,代入原函数解析式,得y′-k=log 2\[2(x′-h)-3\]＋４，即 y′=log 2（2x′-2h-3）+4+k＝log 22(x′-232+h )+(4+k) ＝log 2(x′-232+h )+(5+k). 由题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,05,0232k h 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.5,23k h∴当a =(23-,-5)时，平移后的函数解析式y=log 2x 为对数函数，该函数在其定义域上为单调增函数，故函数f(x)在其定义域上也为单调增函数． 解法二：由已知f(x)=log 2[2(x-23)]+4， 令y=f(x),则y=log 22+log 2(x-23)+4, ∴y-5=log 2(x-23). 令⎪⎩⎪⎨⎧-='-=',5,23y y x x则按向量a =(23 ,-5)平移后，函数f(x)的解析式化为对数函数y=log 2x ，这一函数在其定义域上为单调增函数，∴函数f(x)在其定义域上也是单调增函数．。
