2019高考数学文一轮分层演练：第10章 概率、统计和统计案例 第4讲

2019年高考数学文科一轮分层演练卷第10章【概率统计和统计案例】第5讲一、选择题1．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－5x ＋150，则下列结论正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右解析：选D ．由回归直线方程知，y 与x 具有负的线性相关关系，A 错，若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则|r |≤1，B 错．当销售价格为10元时，y ^＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C 错，故选D ．2．(2018·湖南湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3．841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为()P (K 2≥k 0)0．500．400．250．150．100．050．0250．0100．0050．001k 00．4550．7081．3232．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828A ．5%B ．75%C ．99．5%D ．95%解析：选D ．由图表中数据可得，当k >3．841时，有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D ．3．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x 23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为y ^＝10．2x ＋a ^，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为()A ．101．2万元B ．108．8万元C ．111．2万元D ．118．2万元解析：选C ．根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10．2x ＋a ^经过样本点的中心(4，50)，所以50＝10．2×4＋a ^，解得a ^＝9．2，所以回归方程为y ^＝10．2x ＋9．2，所以当x ＝10时，y ＝10．2×10＋9．2＝111．2，故选C ．4．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0．6x ＋1．2．若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%解析：选D ．因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0．6x ＋1．2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ^＝0．6×5＋1．2＝4．2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%．二、填空题5．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：y ^＝0．245x ＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：x 变为x ＋1，y ^＝0．245(x ＋1)＋0．321＝0．245x ＋0．321＋0．245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．答案：0．2456．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 99．5m 10．511销售量y11n865由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－3．2x ＋40，且m ＋n ＝20，则n ＝________．解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本中心(x －，y －)，即6＋n 5＝－3．28＋m5＋40，即3．2m ＋n ＝42．又因为m ＋n ＝20，即3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得m ＝10，n ＝10，故n ＝10．答案：10三、解答题7．某公司的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：x 24568y3040605070(1)画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；(2)根据表中提供的数据，求出y 与x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．解：(1)散点图如图．由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．(2)x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，∑5i ＝1x i y i ＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1380，∑5i ＝1x 2i ＝22＋42＋52＋62＋82＝145，b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1380－5×5×50145－5×52＝6．5，a ^＝y －－b ^x －＝50－6．5×5＝17．5．所以线性回归方程为y ^＝6．5x ＋17．5．(3)由题得y ＝115时，6．5x ＋17．5＝115，得x ＝15．故预测销售额为115万元时，大约需要15万元的广告费．8．(2018·郑州第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2．5指数的检测数据，统计结果如下：PM2．5指数[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空气优良轻微污轻度污中度污中度重重度质量染染染污染污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2．5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2．5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2．5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2．5指数大于300时造成的经济损失为2000元．(1)试写出S(x)的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100附：P(K2≥k0)0．250．150．100．050．0250．0100．0050．001 k01．3232．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828 K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d．解：(1)依题意，可得S(x)＝0，x∈[0，100]4x－100，x∈（100，300]. 2000，x∈（300，＋∞）(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A，由500<S≤900，得150<x≤250，频数为39，P(A)＝39100．(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K 2的观测值k ＝100×（63×8－22×7）285×15×30×70≈4．575>3．841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上合计支持不支持合计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽取2人，求至少有1人是45岁以上的概率．参考数据：P (K 2≥k 0)0．1000．0500．0100．001k 02．7063．8416．63510．828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)45岁以下45岁以上合计支持354580不支持15520合计5050100因为K 2＝100×（35×5－45×15）250×50×80×20＝6．25>3．841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休”的人中，45岁以下应抽6人，45岁以上应抽2人．记45岁以下的为1，2，3，4，5，6；45岁以上的为A ，B ，则有1→2，3，4，5，6，A ，B ，2→3，4，5，6，A ，B ，3→4，5，6，A ，B ，4→5，6，A ，B ，5→6，A ，B ，6→A ，B ，A →B ，故所求概率为1328．2．(2018·广东汕头模拟)二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x 234567售价y 201286．44．43z ＝ln y3．002．482．081．861．481．10下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(b ^、a ^小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2∑ni ＝1（y i －y －）2参考数据：∑6i ＝1x i y i ＝187．4，∑6i ＝1x i z i ＝47．64，∑6i ＝1x 2i ＝139，∑6i ＝1（x i －x －）2≈4．18，∑6i ＝1（y i －y －）2≈13．96，∑6i ＝1（z i －z －）2≈1．53，ln 1．46≈0．38，ln 0．7118≈－0．34．解：(1)由题意，知x －＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4．5，z －＝16×(3＋2．48＋2．08＋1．86＋1．48＋1．10)＝2，又∑6i ＝1x i z i ＝47．64，∑6i ＝1（x i －x －）2≈4．18，∑6i ＝1（z i －z －）2≈1．53，所以r ＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝－6.366.3954≈－0．99，所以z 与x 的相关系数大约为－0．99，说明z 与x 的线性相关程度很高．(2)b ^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0．36，所以a ^＝z －－b ^x －＝2＋0．36×4．5＝3．62，所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0．36x ＋3．62，又z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0．36x ＋3．62．令x ＝9，得y ^＝e －0．36×9＋3．62＝e 0．38，因为ln 1．46≈0．38，所以y ^＝1．46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为1．46万元．(3)当y ^≥0．7118，即e －0．36x ＋3．62≥0．7118＝e ln 0．7118＝e －0．34时，则有－0．36x ＋3．62≥－0．34，解得x ≤11，因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．。

[学生用书P277(单独成册)]一、选择题1．(2018·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)Error!第8行Error!第9行A ．07B ．25C ．42D ．52解析：选D ．依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52，选D ．2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．24解析：选A ．根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为×60＝10．90180＋270＋903．(2018·福州综合质量检测)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2．8 kgB ．8．9 kgC ．10 kgD ．28 kg 解析：选B ．由题意，可知抽到非优质品的概率为，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为5280500×≈8．9 kg ，故选B ．52804．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：选C ．由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝13，故抽取的样本的编号分别为5247，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，从而可知选C ．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C ．由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0，1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得≤k ≤，又k ∈N ，故k ＝15，16，…，24，共442307413010人．6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9解析：选B ．依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤，因此A 营区被抽中的人1034数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17．结合各选项1034知B 正确．二、填空题7．(2018·贵阳检测)某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________．解析：依题意得，＝，80120＋100＋80＋6016n 由此解得n ＝72．答案：728．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案：379．网络上流行一种“开心消消乐”游戏 ，为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为163，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57．答案：5710．(2018·云南省第一次统一检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意得3x －x ＝12，x ＝6，所以持“喜欢”态度的有6x ＝36人．答案：36三、解答题11．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373x y 男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19．(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)因为＝0．19，所以x ＝380．x2 000(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名)．482 00012．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n ．解：总体容量为 6＋12＋18＝36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为36n n36×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，n36n6n36n3n36n2所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6，12，18．当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n 只35n ＋135n ＋1能取6．即样本容量n ＝6．1．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；组别A B C D E 人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别A B C D E 人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝＝．418292．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42．数学人数优秀良好及格优秀7205良好9186地理及格a4b①若在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥7．求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199．(2)①×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17．7＋9＋a 100②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31．因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥7，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b ．事件A 包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件．所以P (A )＝＝，21417故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为．17。

• 2．“概率为0的事件”与“不可能事件”是两个不同 的概念，应区别．
• 3．计算古典概型和几何概型的概率时，一定要把握基 本事件的等可能性．
• 4．抽样方法要区分有无放回抽样，是否与顺序有关．
• 一、如何将实际问题转化为对应的概率模型
• 将实际问题转化为对应的概率模型是重要的基本功，要 通过练习学会选择恰当的数学模型(如编号、用平面直 角坐标系中的点及平面区域表示等)来实现实际问题向 数学问题的转化．
• x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，共3 种．
• 答∴案所：求C概率为P＝336＝112. • [点评] 注意细微差别，若把题目中的条件log2xy＝1改
为log2xy>1，则所求概率为________．
• 答案：A • 解析：抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果， • ∵log2xy>1，∴y>2x. • 当x＝1时，y有4种取法；当x＝2时，y有2种取法；当x
几何概型的概率P(A)＝
μA μΩ
，其中μA表示构成事件A的
区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区
域的长度(面积或体积)．
• 误区警示
• 1．弄清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异
• “互斥事件”和“等可能事件”是意思不同的两个概念. 在一次试验中，由于某种对称性条件，使得若干个随机 事件中每一事件产生的可能性是完全相同的，则称这些 事件为等可能事件，在数目上，它可为2个或多个；而 互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件. 有些 等可能事件可能也是互斥事件，有些互斥事件也可能是 等可能事件. 例如：①粉笔盒有8支红粉笔，6支绿粉笔， 4支黄粉笔，现从中任取1支. “抽得红粉笔”，“抽得 绿粉笔”，

[学生用书P279(单独成册)]一、选择题1．(2018·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是()A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D．由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D．2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200，20B．100，20C．200，10 D．100，10解析：选A．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A ．3．(2017·高考山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7解析：选A ．根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋（60＋y ）＋785，解得x ＝3．故选A ．4．某高校从参加今年自主招生考试的1 000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图．若规定60分及以上为合格，则估计这1 000 名学生中合格的人数是( )A ．600B ．650C ．700D ．750解析：选C ．样本中合格的频率是1－0．1－0．2＝0．7，故估计这1 000名学生中合格的人数是1 000×0．7＝700．故选C ．5．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169B ．367C ．36D ．677解析：选B ．根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， 所以x ＝4．所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367．6．若正数2，3，4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B ．4105C ．3D ．215解析：选B ．由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16．其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325，所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105．故选B ．二、填空题7．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n ＝2x －＋1＝2×5＋1＝11．答案：118．(2018·湖南长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146．答案：1469．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1， 所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝1，所以a 1＝115，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a 1＝160． 答案：16010．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0．3，0．9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0．4，0．7)内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间[0．4，0．7)内的频率为2．5×0．1＋3．0×0．1＋2．0×0．1＝0．75，所以消费金额在区间[0．4，0．7)内的购物者的人数为0．75×5 000＝3 750．答案：3 750 三、解答题11．(2018·西安模拟)随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄约为多少岁？(2)若从年龄在[15，25)，[45，55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄x －＝4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×604＋6＋8＋4＋9≈42．6(岁)．(2)设年龄在[15，25)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，持不赞成态度的1人为a ，设年龄在[45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B 1，B 2，B 3，B 4，持不赞成态度的1人为b ．基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，b )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，b )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，b )，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，b )，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，B 3)，(a ，B 4)，(a ，b )，共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个，所以恰有1人持不赞成态度的概率为825．12．(2018·惠州第一次调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0．005 0×20＝0．1，需求量在[120，140)内的频率为0．010 0×20＝0．2， 需求量在[140，160)内的频率为0．015 0×20＝0．3， 需求量在[160，180)内的频率为0．012 5×20＝0．25， 需求量在[180，200]内的频率为0．007 5×20＝0．15．则平均数x －＝110×0．1＋130×0．2＋150×0．3＋170×0．25＋190×0．15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x <160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x <160时，由40x －1 600≥4 000，解得160>x ≥140．当160≤x ≤200时，y ＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0．1－0．2＝0．7．1．(2018·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0．000 1×1 000×2 000＋0．000 1×1 000×3 000＋0．000 2×1 000×4 000＋0．000 3×1 000×5 000＋0．000 2×1 000×6 000＋0．000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽取比为5100＝120，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0．1＋0．1＋0．2)×120＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0．3＋0．2＋0．1)×120＝3人，设这三位员工分别为A ，B ，C ．从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110．因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．2．(2018·佛山模拟)某市户籍人口约有400万，其中老年人(年龄60岁及以上)约有66万，为了了解老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表．(1)若采用分层抽样的方法再从样本中不能自理的老年人中抽取16人，进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(2)估算该市80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比；(3)政府计划为80岁及以上老年人或生活不能自理的老年人每人购买1 000元/年的医疗保险，为其余老年人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．解：(1)数据整理如下表：从图表中知不能自理的80岁及以上老年人的占比为1515＋25＝38．抽取的16人中不能自理的80岁及以上老年人的人数为16×38＝6．抽取的80岁以下的老年人的人数为16－6＝10．(2)在600人中80岁及以上老年人在老年人中的占比为15＋20＋45＋20600＝16．用样本估计总体，该市80岁及以上老年人共有66×16＝11万．所以80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比为11400×100%＝2．75%．(3)先计算抽样的600人的预算，其中享受1 000元/年的人数为15＋25＋20＋45＋20＝125．享受600元/年的人数为600－125＝475人．抽样的600人的预算为125×1 000＋475×600＝4．1×105元．用样本估计总体，全市老年人的总预算为4．1×105×6.6×105600＝4．51×108元．故政府执行此计划的年度预算约为4．51亿元．。