杭州中考 分类讨论思想
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第一讲 分类讨论思想一、 复习要点：分类讨论一般步骤：（1）确定分类对象；（2）恰当合理分类：、；（3）逐类进行讨论；（4）综合概括叙述。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
有关分类讨论思想的数学问题在数学学习过程中之所以占有重要位置，原因是它具有明显的逻辑性特点，能很好地训练一个的思想的条理性和概括性。
分类思想对于培养和发展学生思维的提高学生分析问题、解决问题的能力颇具意义，在数学教学中占有相当重要的位置。
二、热身练习 A 组题1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______． 4．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、例题分析例1．有一块直角三角形的绿地，量得BC 、AC 两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求扩充后所有可能的等腰三角形绿地的周长．(图2，图3备用)A C图1BA C图2BA C图3B例2．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图1，若P A=PB，则点P为△ABC的准外心。
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12AB，求∠APB的度数。
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究P A的长。
例3.已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP=S，用t表示运动时间．（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；（2）当t取何值时，S等于7（求出所有的t值）；（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP7<？四、思维提升 B 组题1． 如果关于x的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜12且k≠02．直线y=x+1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）A 、4个B 、5个C 、7个D 、8个3. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数42762-+-=x x y 的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ． 6C ． 7D ． 84．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ． 6个6. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2(1)4y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ∆=．（1）求点A 与点B 的坐标； （2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．OCDABC组题1、Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则P B的长为．2．在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．分类讨论思想A 组题1. 15°或105°；2. 2、－1、0、－2 ；3. 腰长6底边9或腰长8底边5 ；4.B例1．在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，，由勾股定理有：10AB =. 扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==，得ABD △的周长为32m ．②如图2，当10AB BD ==时，可求4CD =，由勾股定理得：AD =ABD △的周长为(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =，得ABD △的周长为80m 3．例2．解：应用：①若PB =PC ，连接PB ，则∠PCB =∠PBC ，∵CD 为等边三角形的高，∴AD =BD ，∠PCB =30°。
∴∠PBD =∠PBC =30°，∴PD 。
与已知PD =12AB 矛盾，∴PB ≠PC 。
②若P A =PC ，连接P A ，同理可得P A ≠PC 。
③若P A =PB ，由PD =12AB ，得PD =AD =BD ，∴∠APD =∠BPD =45°。
∴∠APB =90°。
探究：∵BC =5，AB =3，∴AC 4=。
①若PB =PC ，设P A =x ，则2223(4)x x +=-，∴78x =，即P A =78。
②若P A =PC ，则P A =2。
③若P A =PB ，由图知，在Rt △P AB 中，不可能。
∴P A =2或78。
例3．解：（1）如图，过点A 作BC 的高，则∵等边△ABC 的边长为3个单位 ∴AB =BC =3，BD =CD =32，AD。
又∵点P 的运动速度是每秒1个单位，∴BP =t ﹣3，DP =∣32－（t ﹣3）∣=∣92－t ∣。
∴在Rt △APD 中，根据勾股定理得S=)AP 3t 6==≤≤。
（2）当点P 在AB 上时，S =AP当点P 在BC 上时，由St 2﹣9t +27=7，解得t 1=4，t 2=5。
当点P 在CA 上时，S =AP =9－t，解得t =9综上所述，）当t4或5或9S。
（3）由（2）得当0t 4t 5,9t 9<<≤≤ 时，APB 组题1． D ；2.C ；3.C ；解：二次函数42762-+-=x x y 的图象与x 轴有两个交点（23，0），（29，0）．在23=x 与29=x 之间共有3个整数2，3，4．当x =2，4时，45=y ，满足0≤y ≤45的整数是0，1，整点有4个；当x =3时，49=y ，满足0≤y ≤49的整数是0，1，2，整点有3个．故共得7个整点．4．D 显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。
（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ； 当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ； 当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ； 当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .OCDAB故x 可取值的个数为6个.6．解：（1）由解析式可知，点A 的坐标为（0，4）．∵1462OAB S BO ∆=⨯⨯=，∴BO =3． ∴点B 的坐标为（-3，0）．（2）把点B 的坐标（-3，0）代入4)1(2+-+-=x k x y ，得2(3)(1)(3)40k --+-⨯-+=． 解得351-=-k ．∴所求二次函数的解析式为4352+--=x x y ． （3）因为△ABP 是等腰三角形，所以①当AB =AP 时，点P 的坐标为（3，0）． ②当AB =BP 时，点P 的坐标为（2，0）或（-8，0）．③当AP =BP 时，设点P 的坐标为（x ，0）．根据题意，得3422+=+x x ． 解得 67=x ．∴点P 的坐标为（67，0）．综上所述，点P 的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（67，0）． C 组题1．分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示： ∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。
又∵∠ABC=60°，∴△PCB 为等边三角形。
又∵BC=4，∴PB=4。
当∠ABC=30°时，（i ）当P 在A 的右边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。
又∠B=30°，BC=4， ∴BCcosB PB =，即2BC 4PB =cosB cos30=。
（ii ）当P 在A 的左边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B 。
∴CP=BP 。
在Rt △ABC 中，∠B=30°，BC=4，∴AC=12BC=2。
根据勾股定理得：AB∴AP=AB －PB=－PB 。
在Rt △APC 中，根据勾股定理得：AC 2＋AP 2=CP 2=BP 2，即22+（－PB ）2=BP 2，解得：综上所述，BP 的长为4 2．根据题意画出AB=AC ，AB=BC 和AC=BC 时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：（1）如图，当AB=AC 时，∵∠A=30°， ∴CD=12AC=12×8=4。
（2）如图，当AB=BC 时，则∠A=∠ACB=30°。
∴∠ACD=60°。
∴∠BCD=30°∴CD=cos ∠ （3）如图，当AC=BC 时，则AD=4。
∴CD=tan ∠综上所述，AB 边上的高CD 的长是43. 解：(1)将A (－1,0)，B (3,0)，C (0,3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)如图D59，连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ， 此时，△P AC 的周长最短(点A 与点B 关于l 对称)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (3,0)，c (0,3)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3.∴直线BC 的函数关系式y ＝x ＋3. 当x ＝1时，y ＝2，即点P 的坐标(1,2)．图D59(3)抛物线的对称轴为x ＝－b2a＝1，设M (1，m )，已知A (－1,0)，C (0,3)， 则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10. ①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得 m 2＋4＝m 2－6m ＋10，解得m ＝1； ②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得 m 2＋4＝10，解得m ＝±6； ③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得 m 2－6m ＋10＝10，解得m 1＝0，m 2＝6.当m ＝6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的点M 的坐标为(1，6)或(1，－6)或(1,1)或(1,0)．。
