1.3 交集、并集1．理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．(重点)2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法．(重点)3．会借助Venn图理解集合的交、并集运算，培养数形结合的思想．(难点)[基础·初探]教材整理1 交集及其性质阅读教材P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．交集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图①②③图1312．交集的性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅.1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一个集合的元素都少．( )(2)A∩B＝A∩C，则B＝C.( )(3)两个集合A，B没有公共元素，记作A∩B＝∅.( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A∩B＝________.【解析】A，B的公共元素为3,4，故A∩B＝{3,4}．【答案】{3,4}教材整理2 并集及其性质阅读教材P11“思考”至P12“例3”完成下列问题．1．并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A 与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn图①②③图1322．并集的性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A⊆A∪B；(3)B⊆A∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪∅＝A.1．A∪∁U A＝________，A∩∁U A＝________.【答案】∪∅2．若集合A＝{a，b，c，d}，B＝{a，b，e，f }，则A∪B＝____________.【答案】{a，b，c，d，e，f }教材整理3 区间的概念与表示阅读教材P12，完成下列问题．1．区间的概念设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点．2．区间的数轴表示用空心点表示不包括在区间内的端点．“大于3小于等于5的数”用集合表示为__________，用区间表示为________．【答案】{x|3<x≤5}(3,5][小组合作型](1)已知集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)＝________.(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值.【精彩点拨】(1)可以先按集合的补集定义求出∁R B，再求交集．(2)由A∩B＝{9}可得9∈A，依次讨论a2,2a－1等于9的可能性来求解．【自主解答】(1)∵B＝{x|－1≤x≤3}．∴∁R B＝{x|x<－1，或x>3}．作出数轴表示集合A和∁R B，如图所示．由图可知A∩∁R B＝{x|3<x<4}．(2)∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．[再练一题]1．(1)已知集合A＝{x∈N|2≤x≤5}，B＝{x|1≤x<4}，则A∩B＝________.(2)设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝________.【解析】(1)A＝{2,3,4,5}，B＝{x|1≤x<4}，∴A∩B＝{2,3}．(2)集合A表示y＝x2的函数值组成的集合，故A＝{y|y≥0}．B表示y＝x＋2上的点组成的集合，是点集，故A∩B＝∅.【答案】(1){2,3} (2)∅(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝________.【精彩点拨】(1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.【自主解答】(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(2)用数轴表示出A，B，如图．∴A∪B＝{x|－1≤x<4}．两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．[再练一题]2．已知方程2x 2－px ＋q ＝0的解集为A ，方程6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0的解集为B ，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝________.【解析】 因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以12∈A ，12∈B ，故12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0，则联立方程，解方程组得p ＝－7，q ＝－4，则2x 2＋7x －4＝0,6x 2－5x ＋1＝0，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，则A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，试写出∁U A ，∁U B ，A ∩B ，A ∪B ，∁U (A ∩B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁U B )．【精彩点拨】 采用列举法逐一将上述各集合写出． 【自主解答】 ∁U A ＝{5,6,7,8}，∁U B ＝{1,2,7,8}，A ∩B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}．∁U (A ∩B )＝{1,2,5,6,7,8}，∁U (A ∪B )＝{7,8}． (∁U A )∩(∁U B )＝{7,8}，(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,5,6,7,8}．从上述解答中可以看出以下两个结论：∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁UB )．[再练一题]3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，求(∁U A )∩(∁U B )，(∁U A )∪(∁UB )．【解】 由题知A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪B ＝{x |1≤x ≤4}． ∴∁U (A ∩B )＝{x |x <2或x >3}，∁U (A ∪B )＝{x |x <1或x >4}． ∴(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{x |x <1或x >4}， (∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )＝{x |x <2或x >3}．已知集合A ＝{x |2<x <4}，B ＝{x |a <x <3a }，若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．【精彩点拨】 先借助于数轴的直观性进行分析，然后列出参数a 的方程或不等式，进而求相应a 的取值范围．【自主解答】 有两类情况， 一类是B ≠∅⇒a >0.此时，又分两种情况：①B 在A 的左边，如图中B 所示； ②B 在A 的右边，如图中B ′所示．集合B 在图中B 或B ′位置均能使A ∩B ＝∅成立， 即0<3a ≤2或a ≥4， 解得0<a ≤23或a ≥4.另一类是B ＝∅，即a ≤0时，显然A ∩B ＝∅成立．综上所述，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤23或a ≥4.1．若A ∩B ＝∅，则A ，B 可能的情况为：(1)A ，B 非空但无公共元素；(2)A ，B 均为空集；(3)A 与B 中只有一个是空集．2．依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．[再练一题]4．已知A ＝[2a ，a ＋3]，B ＝(－∞，－1)∪[5，＋∞)，若A ∩B ≠∅，则a 的范围是________． 【解析】 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴2a <a ＋3，即a <3. 将B 标在数轴上，如图．欲使A ∩B ≠∅，则有2a <－1或a ＋3≥5成立， ∴a <－12或a ≥2.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[2,3)． 【答案】 a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[2,3)[探究共研型]探究1 若已知全集为U ，集合A ，则任何一个元素x ∈U 与A 的关系是什么？ 【提示】 元素x ∈A 或x ∉A ，但x ∉A 时，x ∈∁U A ，即x ∈A 或x ∈∁U A .探究2 若全集U 中的元素个数为m ，A 中有n 个元素，则∁U A 中的元素个数为多少？ 【提示】 ∁U A 中的元素个数为m －n .向50名学生调查对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？【精彩点拨】 把赞成A 和赞成B 的人分成两个集合，利用集合的交、并运算解决． 【自主解答】 赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33，如图．记50名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生全体为集合A ，赞成B 的学生全体为集合B .设对A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x3＋1＝50， 解得x ＝21.所以对A ，B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．集合中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数问题，先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题，运用集合知识进行求解，然后将数学问题翻译成实际问题的解进行检验，从而使问题得以解决，其中用Venn 图进行分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解．[再练一题]5．设集合U ＝{x ∈N *|x ≤10}，A U ，B U ，且A ∩B ＝{4,5}，∁U B ∩A ＝{1,2,3}，(∁U A )∩(∁UB )＝{6,7,8}，求集合A 和B .【解】 ∵A ∩B ＝{4,5}， ∴4∈A,5∈A,4∈B,5∈B .① ∵(∁U B )∩A ＝{1,2,3}，② ∴1∈A,2∈A,3∈A,1∉B,2∉B,3∉B . ∵(∁U A )∩(∁U B )＝{6,7,8}，③ ∴6,7,8都不属于A ，也都不属于B . ∵U ＝{x ∈N *|x ≤10}， ∴9,10不知所属．由②③可知，9,10均不属于∁U B . ∴9∈B,10∈B .④ 由④①可知，9∉A,10∉A .综上所述，A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,9,10}.1．设集合U ＝{0,1,2,3,4}，M ＝{1,2,4}，N ＝{2,3}，则(∁U M )∪N ＝________. 【解析】 由题意知，∁U M ＝{0,3}，所以(∁U M )∪N ＝{0,2,3}． 【答案】 {0,2,3}2．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝________.【解析】 由A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则可利用数轴(略)，知A ∩B ＝{x |1<x <2}． 【答案】 {x |1<x <2}3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＝0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，则M ∩N ＝________.【解析】 由题意可得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＝0＝{(0,2)}． 【答案】 {(0,2)}4．设M ＝{a ，b }，则满足M ∪N ⊆{a ，b ，c }的非空集合N 的个数为________． 【解析】 根据M ∪N ⊆{a ，b ，c }而M 中没有c 元素，所以N 集合中一定要有c 元素，可能有a ，b 元素且N 为非空集合，所以N 可以为{c }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }共4个． 【答案】 45．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{x |x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x |x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，求m ＋n 的值．【解】 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，得m＝6且A＝{2,3}，∴∁U A＝{1,4,5}．而(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.。
