(七)概率与统计

压轴题命题区间(七)概率与统计
概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．
[典例](2016·兰州诊断)调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
(1)若该城市有200万常住人口，试估计该城市居民中居住满意度为三级的人数是多少？
(2)从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取2人，这2人的居住满意度指标ω均为4的概率是多少？
[方法点拨]
本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)．(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)．(3)明确题目所求内容．
[对点演练]
为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，求前两位均为B类市民的概率是多少．
[典例].
(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3项的概率；
(2)如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在汽车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA＝BD＝0.3 m，AB＝2.4 m，汽车宽度为1.8 m，
求学员甲能按教练要求完成任务的概率．
[方法点拨]
(1)解答本题首先应理解所给表格中各项表示什么．
(2)对于一些题目所给的直方图、茎叶图，要明白图中所给的信息．
[对点演练]
(2017·石家庄模拟)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：
(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；
(2)若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩(单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越运成绩越好)，并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．
[典例](2016·郑州质检)为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二孩放开”人数如下表：
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有差异；
(2)”的概率是多少？
附：
K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，n＝a＋b＋c＋d.
[方法点拨]
(1)本例在计算K2时应仔细，考生在计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示值．
(2)利用最小二乘法求“b”时，应注意避免计算出错．
[对点演练]
(2017·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：
(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．
1．(2017·重庆适应性测试)据我国西部各省(区，市)2015年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是()
A．0.3B．0.4
C．0.5 D．0.7
2．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()
A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B ．七月的平均温差比一月的平均温差大
C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
3．(2016·福建省毕业班质量检测)某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：
由表中数据，得线性回归方程l ：y ＝b x ＋a ，则下列结论错误的是( ) A.b ^＞0 B.a ^＞0
C ．直线l 过点(4,8)
D ．直线l 过点(2,5)
4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：
x
＝
7
2
，y ＝71，
∑=6
1
2i i
x
＝79，
∑=6
1
i i
x
y i ＝1 481.
则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)．
5．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图1所示：
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)； (2)甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．
6．(2017·合肥质检)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：
(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．
7．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
8．(2016·云南省统测)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80,100]的学生可取得A等(优秀)，在[60,80)的学生可取得B等(良好)，在[40,60)的学生可取得C等(合格)，不到40分的学生只能取得D等(不合格)．为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；
(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？
附：K2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d。