历年数学选修1-1复习题236
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历年数学选修1-1复习题
单选题（共5道）
1、设f（x）=3x3-4x2+10x-5，则f′（1）等于（）
A6
B8
C11
D13
2、若f（x）=-x2+blnx在[1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A[-1，+∞）
B（-1，+∞）
C（-∞，1]
D（-∞，-1）
3、函数y=2x3-12x在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为（）
A18，-8
B54，-12
C8，-8
D10，-8
4、函数f（x）=cos3x+sin2x-cosx上最大值等于（）
A
B
C
D
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
其中真命题的个数是
[]
A4
B3
C2
D1
简答题（共5道）
6、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。
7、已知函数g（x）=ax-2lnx
（I）若a＞0，求函数g（x）的最小值
（Ⅱ）若函数f（x）=g（x）-在其定义域内为单调函数，求实数a的取值
范围．
8、已知函数，求的单调区间
9、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。
10、如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y轴的距离之差为4k。
（1）求以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求的值。
填空题（共5道）
11、双曲线y2-4x2=64上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则P到它的另一个焦点的距离等于为______．
12、双曲线的焦点坐标是_____________.
13、抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线-y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a 等于______．
14、已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则P到直线l1：4x-3y+11=0和l2：x+1=0的距离之和的最小值是______．
15、老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性质．
甲：对于R，都有f(1+x)=f(1x)；
乙：f(x)在(,0]上是减函数；
丙：f(x)在(0,+)上是增函数；
丁：f(0)不是函数的最小值．
现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是（只需写出一个这样的函数即可）．
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1-答案：C
2-答案：tc
解：f′（x）=，所以：b≤0时，对于x∈（0，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；b＞0时，∵x＞0，∴解得x＞，即函数f（x）在[，+∞）上是减函数，∴，∴0＜b≤1．综上可得b的取值范围是（-∞，1]．故选C．
3-答案：tc
解：∵y=2x3-12x，x∈[-1，3]，∴y′=6x2-12，由y′=0，得x=，或x=-
（舍），∵f（-1）=2×（-1）3-12×（-1）=10，f（）=2×（）3-12
=-8，f（3）=2×33-12×3=18．∴函数y=2x3-12x在区间[-1，3]上的最大值是18，最小值是-8．故选：A．
4-答案：tc
解：f（x）=cos3x+sin2x-cosx=cos3x+1-cos2x-cosx，令t=cosx，则-1≤t≤1，
则函数f（x）等价为g（t）=t3+1-t2-t，-1≤t≤1函数的导数g′（t）=3t2-2t-1=（t-1）（3t+1），-1≤t≤1，当时，g′（t）≤0，函数单调递减，当-1≤t≤-时，g′（t）≥0，函数单调递增，则t=-，函数g（t）取得极大值，同时也是最大值g（-）=，故选：D．
5-答案：B
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1-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
2-答案：（I）求导函数，可得g′（x）=∵a＞0∴x∈（0，）时，g′（x）＜0；x∈（，+∞），g′（x）＞0∴函数的单调递减区间为（0，），单调递增
区间为（，+∞），∴函数在x=时，取得极小值，即为最小值，最小值为g（）=2-2ln；
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥=在（0，+∞）上恒成立，∵≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜=在（0，+∞）
上恒成立，∵＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；综上，a≥1或a≤0．
3-答案：略略
4-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
5-答案：解：（1）依题意，设AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py （p>0），且A（x1，y1），B（x2，y2），由题设知x1>0，x2＜0，∴|x1|-|x2|=4k，即x1+x2=4k，由消去y并整理，得x2-2pkx-2pm=0，∴x1+x2=2pk=4k，∴p=2故所求抛物线方程为x2=4y。
（2）由（1）得，求导数得设则过抛物线上C，D两点的切线方程分别为即
联立上述两个方程，得∴两条切线的交点M的坐
标为设CD所在直线方程为y=nx+1，代入x2=4y，得x2-4nx-4
=0∴x3x4=-4，∴M的坐标为故点M的轨迹方程为y=-1又∵
∴
而∴。
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1-答案：将双曲线4x2-y2+64=0化成标准形式：-=1∴a2=64，b2=16P
到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1∵|PF1-PF2|=2a=16∴PF2=PF1±16=17或-15（舍去）故答案为：17
2-答案：试题分析：由双曲线的标准方程可知，该双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以该双曲线的焦点坐标为.
3-答案：由题意可知：抛物线线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-4∴p=8则点M（1，4），双曲线-y2=1的左顶点为A（-，0），所以直线AM的斜率为k=，由题意可知：=∴a=故答案为：
4-答案：3
解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分
别为M，N．l2：x+1=0是抛物线y2=4x的准线方程．抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，过P作直线l1：4x-3y+11=0的垂线，垂足为M，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|==3．故答案为：3．
5-答案：y=|x-1|或y=a(x-1)2+b,a>0略。
