卷积、相关、傅里叶级数

਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它

rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a

信号处理的数学方法
1. 傅里叶变换：将一个信号在时间域的表达转化为频率域的表达，是信号处理中最常用的数学方法之一。

2. 傅里叶级数：将一个周期函数分解为若干个谐波的叠加，在频域表示周期性信号的方法。

3. 小波变换：在时间和频率域中都能描述一个信号的局部性质，因此被广泛用于信号处理中。

4. 卷积：用于将一个信号与另一个函数进行卷积操作，从而得到输出信号。

5. 自相关：描述一个信号在时间上的相关性与稳定性，被广泛用于测量和诊断方面。

6. 采样和重构：用于将信号从连续时间转化为离散时间，以及在采集数据后，通过重构将离散数据转化为连续信号。

7. 奇异值分解：通过对信号进行矩阵分解，将其分解为对应的奇异值和向量，被广泛用于图像和音频信号处理中的压缩和去噪处理。

三、傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数 （正弦函数或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式， 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热 过程的解析分析的工具被提出的。
变换提出
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年在法国科学 学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有 争议性的决断： 任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审 查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉 普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此 后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号， 如 在方波中出现非连续变化斜率。 法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅 里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数为：
即傅里叶变换存在，且 Parseval 定理以及 Plancherel 定理 若函数 有： 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则

c2
c2 1
2 0.25 π
20
1
O
1
2 1
1
O
2 1
0.15π
X
化为指数形式
1 j 1t f (t ) 1 e e j 1t 2j


π π 2 j t 2 j n t 1 1 2 j 1t 1 j 1 t 4 4 e e e e 2 整理 2 π j 1 j 1t 1 j 1t 1 jπ 1 4 j 2 1 t 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2
1．复指数正交函数集 e j n 1 t 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性
f (t )
n


n 0 , 1, 2
j n 1 t F ( n ) e 1
4
F ( n )
1
T1
0 T1 0
f ( t ) e j n 1 t d t e j n 1 t e j n 1 t d t
1 T1 f (t )e j n1t d t T1 0
5
16
说明
f (t )
n
F ( n

1
)e
j n 1 t
4
5
1
1 T1 F n1 f (t ) e j n1t d t T1 0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号e jn t
• 指数信号与正弦信号具有相同的特性
• 由系统的组成来说：当输入为指数信号时， 系统的输出一定也是一个指数信号，只不 过指数信号幅值发生变化。