高考数学总复习 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算(第一课时)同步练习 新人教A版必修1

必修 1 第一章 集合与函数概念〖 1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 （ 2）常用数集及其记法.表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集 N N或 N .表示自然数集， （ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a （ 4）集合的表示法M ，或者 a M ，两者必居其一 . ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 .③描述法： { x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素 . ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 （ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 ②含有无限个元素的集合叫做无限集 .. . ③不含有任何元素的集合叫做空集( ). 【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图(1)A AAA C ，则 A A ，则 (2)(3) AB A 中的任一BA B A若且C且BA(B)子集元 于 素 B都 属 B A（或 BA)B (4) 若 B 或A （ A 为非（1 ）A B B ，且A B空子集） 中至少有真子集B AA B(2) 若且一 元 素 不 属于 A（或 BA ）B C ，则 A CA 中的任一元 于 的 素 都 B ， B 任 一 属中 元 A集合 相等(1)A (2)B B AA(B)A B素都属于 2n 2n 2n A 有 n(n 1) 个元素，则它有 1 个真子集，它有 （ 7）已知集合 个子集，它有 1 个非空子集，它2n2 非空真子集 有.【1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集 名称记号意义性质A 示意图A A A A A A A A A （ 1） （ 2） （ 3） { x | x A, 且A B交集ABBB A ABA A ABx B} （ 1） （ 2） （ 3） { x | x A, 或A B并集BAB Bx B}（ 1） A (e A) U （ 2） A (e U A) U{ x | x U , 且xA}e U A补集（ 3） 痧( A B) ( A) (?U B) U （ 4） 痧( A B) ( A) (? B)U U U 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a} | x | a(a 0)x | xa 或 x a}把 ax b | x | a 看 成一 个 整 体 ， 化 成 ， | ax b | c,| ax b | c( c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（ 2）一元二次不等式的解法判别式0 0 02b4ac二次函数2y axbx c(a 0)O的图象2b2a 一元二次方程b 4acx 1,2b 2 a2axbx c 0(a 0)x 1x 2无实根（其中 x 1x 2 )的根2axbx c 0(a 0)b2a{ x | x x 1 或 x x 2}{ x | x} R的解集2axbx c 0(a 0){ x | x 1x x 2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念A 中任何一个数 x ，在集合B 中①设 A 、 B 是两个非空的数集， f ，对于集合 如果按照某种对应法则都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : AB ．②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （ 2）区间的概念及表示法①设 a, b 是两个实数， 且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间， 记做 [a, b] ；满足 ax b的实数 x 的集合叫做开区间，(a, b) ；满足 ax b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭记做 区 间 ， 分 别 记 做 [ a ,b )， (a,b] ； 满 足 x a, x a, x b, x b 的 实 数 x 的 集 合 分别 记 做 [ a, ),( a, ),( , b],( , b) ．a 可以大于或等于 注意： 对于集合 { x | a x b} 与区间 (a, b) ，前者b ，而后者必须a b ．（ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tan x 中，(k Z) ．x k2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．f ( x) 的定义域为[a,b] ，其复合函数 f [g (x)] 的⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知定义域应由不等式 a g (x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2a( y) x b( y) x c( y) 0 ，则在0 时，由于x, y 为实数，故必须有a( y)2b ( y) 4a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 唯一的元素和它对应， 那么这样的对应 （包括集合 的映射，记作 f : AB ．②给定一个集合 A 到集合 B 的映射， 且 a B ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫 A, b 做元素 a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 如果对于属于定义域 某个区间上的任意两个 I 内 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象 （在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 （ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象 （在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数y y=f(X)f(x 2 )自变量的值 x ．2．时，都有 那么就说 x 1、 x 2, 当 x ．1．<． f ．(．x ．1．)．<．f ．(x ．．2．)．， f(x)在这f(x )1 oxx x 1 2间上是 增．函．数．．如果对于属于定义域 某个区间上的任意两个 函数的 单调性I 内 yy=f(X)自变量的值 x 1、x 2，当 x ．1．<．f(x 1)x 时，都有 ) ， f(x )>f(x f(x 2)． 2 ．．．．．．．．． 1 2 ． ． ． 那么就说 f(x) 在这个区 oxx1x2间上是 减．函．数．．②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． y f [ g( x)] ，令 u g( x) ，若 y f (u) 为增， u g (x) 为增， 则 y f [ g ( x)] 为增；③对于复合函数 yf (u) ug (x) y f [ g ( x)] y f (u) u g( x) 若 为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则y f [ g ( x)] 为减；若 yf (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f [ g( x)] 为减．a(a x（ 2）打“√”函数 f ( x ) 0) 的图象与性质 x y(, a]、[ a, ) 上为增函数，分别在[ a,0) (0, a] 上为减函数．f ( x) 分别在、（3）最大（小）值定义f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ，都有①一般地，设函数yx 0I ，使得 f ( x) M Mf ( x) M ；（2）存在 f ( x) 的最大值，记作．那么，我们称是函数f max ( x) M ．y f (x) 的定义域为I ，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I ，都有②一般地，设函数x0I f (x0 ) m ．那么，我们称f ( x) m ；（2 ）存在m 是函数 f (x) 的最小值，记作，使得f max ( x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数域内任意一个定义（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）f(x)x ，都有．f．( －．x．．)=．－．f．(．x)．．,那么函数f(x) 叫做奇．函．数．．函数的奇偶性如果对于函数域内任意一个定义（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）f(x)x ，都有－．x．．)=．f．(．x)．．, 那么函数．f．(f(x) 叫做偶．函．数．．②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0 处有定义，则 f (0) 0 ．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．，两个偶函数（或〖补充知识〗函数的图象（ 1）作图利用描点法作图： ①确定函数的定义域；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性） 利用基本函数图象的变换作图：②化解函数解析式； ④画出函数的图象．；要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象． ①平移变换0,左移 h 个单位 0,右移| h|个单位 0,上移k 个单位 0,下移| k |个单位 h h k k y f (x)y f ( x h) y f ( x)y f ( x) k②伸缩变换1,伸1,缩y f (x) y f ( x)A 1,缩 0 yf (x)y Af (x)1,伸A ③对称变换x 轴 y轴f ( x ) f ( x ) y f (x) y f ( x) y y 原点直线 y x1y f (x) yf ( x)yf ( x) yf ( x)去掉 y 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于 yf (x)yf (| x|)y 轴对称图象保留 x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去yf (x)y | f ( x) | （ 2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第一章 集合与函数概念第一讲 集合★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型 1：集合元素的基本特征A B z| z xy, x A, y B [例 1]（ 2008 年江西理）定义集合运算：．设A 1,2 ,B 0,2 ，则集合 A B 的所有元素之和为（）A ． 0；B ． 2；C ． 3；D ． 6 [解题思路 ]根据 A B 的定义，让x 在 A 中逐一取值，让 y 在 B 中逐一取值， xy 在值就是 A B 的元素0,2,4 [解析 ]：正确解答本题 ,必需清楚集合 A B 中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知 A B = ，故应选择 D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分 理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

高中数学 必修1知识点总结第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示● 什么是集合集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

● 常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集。

集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合。

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素。

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。

● 集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集。

②含有无限个元素的集合叫做无限集。

③不含有任何元素的集合叫做空集(∅)。

【1.1.2】集合间的基本关系● 已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集。

交集、并集、补集 名称 记号 意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>12{|}x x x x <<∅ ∅()()()UU U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念● 函数、区间的概念及其表示方法：函数：①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．区间及表示法：①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．● 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． ● 求函数的值域或最值：求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法● 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． ● 映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值● 函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义 图象 判定方法函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．● 打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． ● 最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1。

【讲评】
(1)这是两个方程的解集(或点集)，“交集”即
求它们对应的方程组的解． (2)此题结果不可 写成{2，－2}，因为{(2，－2)}表示以数组 ．． (2，－2)为元素的集合；而{2，－2}表示以2和－2两个数为元素 的集合(它有两个元素)． (3)本题中A∪B＝？
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第一章
1.1 1.1.3 第1课时
【解析】
∵A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，
∴B∩U＝{3,4,5}．∴A∪(B∩U)＝{1,2,3,4,5}．
【答案】 A
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第一章
1.1 1.1.3 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
探究2 两集合A，B的并集A∪B是把集合A，B中的元素并 在一起组成的，但两集合的公共元素只能出现一次，因此，在 由并集A∪B确定两集合A，B时，要注意对公共元素的处理． 思考题2 集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，C＝ 5 {x|x≤0或x≥2}，则A∪B＝____________， A∪B∪C＝__________.
(3)A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}
x＋y＝0， ＝{(x，y)| x－y＝4 x＋y＝0， 解方程组 x－y＝4，
}，
x＝2， 得 y＝－2.
∴A∩B＝{(2，－2)}．
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第一章
1.1 1.1.3 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
要点2 交集 (1)交集的三种语言 ①文字语言：由所有
属于集合A
且 属于集合B 的元素所
组成的集合，叫做A与B的交集． ②符号语言：A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ③图形语言：如图中阴影部分．

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3 集合的基本运算（第一课时）本节课是集合这一章的核心内容，高考常考考点之一，所以一定要掌握并集，补集,交集的概念。

集合的基本运算是在学习集合定义以及集合的性质之后学到的,它对日后学习研究函数的定义域、值域、单调区间等内容起到知识储备作用。

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教学重点：交集与并集,全集与补集的概念.2.教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系。

一、复习回顾：1：什么叫集合是集合的子集?2：关于子集、集合相等和空集,有哪些性质?（1) ；（2）若，且，则；(3) 若则；（4）．二、研探新知1、创设情景，引入新课问题1：我们知道,实数有加法运算,两个实数可以相加，例如5+3=8。

类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加"呢?【设计意图】引发学生的思考，大胆猜想。

2、探究新知观察集合A，B,C元素间的关系：(1)A=｛1，3，5} B=｛2，4，6} C={1，2,3,4,5，6}(2)A={x｜x是有理数} B= {x|x是无理数} C= {x|x是实数}你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？【师生互动】教师提问,引导学生讨论找出它们之间的关系【设计意图】这样提问目标比较明确，学生很容易找到重点，理解并集的概念，并总结并集的定义。